1、第一部分专题6 第2讲题型对应题号1.古典概型与几何概型4,5,11,122.相互独立事件和独立重复试验2,33.离散型随机变量的分布、期望与方差1,6,7,8,9,10,13 基础热身(建议用时：40分钟) 1(2019桂林模拟)在某项测试中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)，若P(01)0.4，则P(02)()A0.4 B0.8 C0.6 D0.2B解析 由正态分布的图象和性质得P(02)2P(01)20.40.8.故选B项2(2019湖北武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B
2、)()A B C DA解析 小赵独自去一个景点共有4333108(种)情况，即n(B)108,4个人去的景点不同的情况有A432124(种)，即n(AB)24，所以P(A|B).故选A项3(2019广东广州调研)已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率为()A B C DB解析 设事件A为“从甲袋中取出1个红球放入乙袋中，再从乙袋中取出1个红球”，事件B为“从甲袋中取出1个黄球放入乙袋中，再从乙袋中取出1个红球”，根据题意知所求概率为P(AB)P(A)P(B).故选B项4某公司安排甲
3、、乙、丙、丁4人到A，B，C三个城市出差，每人只去一个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲1人去的概率为()A B C DD解析 由题意知，其中一个城市必须有2人去，即把4人分成3组，每组分别有2人、1人、1人，共有C种分法，再将他们分到三个城市，共有CA种分法若A城市恰好只有甲1人，则把剩下的3人分成2组，每组分别有2人、1人，有C种分法，再将他们分到B，C两个城市，共有CA种分法，因此所求概率P.故选D项5某电视台每天11：3012：00播放“中国梦”主题的纪录片，在此期间会随机播出4分钟完整的有关中国梦的歌曲，小刘11：43开始观看该电视台，则他听到完整的有关中国梦歌曲的概率是
4、()A B C DD解析 由题意可知，该电视台开始播放有关中国梦的歌曲的时间是11：3011：56，时长26分钟，小刘能听到完整歌曲的时间为11：4311：56，共13分钟，所以所求概率为.故选D项6(2017浙江卷)已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1,2.若0p1p2，则()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)A解析 根据题意得i(i1,2)服从两点分布，所以E(i)pi，D(i)pi(1pi)，i1,2，因为0p1p2，所以E(1)E(2)令f(x)x(1x)，则f(x)在上单调递增，所以f(p1
5、)f(p2)，即D(1)D(2)故选A项7某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为_.解析 记不发芽的种子数为Y，则YB(1 000,0.1)，所以E(Y)1 0000.1100.又X2Y，所以E(X)E(2Y)2E(Y)200.答案 2008若离散型随机变量X的分布列为 X01P 则X的数学期望E(X)_.解析 因为分布列中概率和为1，所以1，即a2a20，解得a2(舍去)或a1，所以E(X).答案 9(2019湖南师大附中月考)在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手(1号至6号)登台演出，由
6、现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名(1)求甲同学选中3号且乙同学未选中3号选手的概率；(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列和数学期望解析 设A表示事件“甲同学选中3号选手”，B表示事件“乙同学选中3号选手”，C表示事件“丙同学选中3号选手”(1)由题意可得P(A)，P(B)，所以P(A)P(A)P().(2)由
7、题意可得P(C).X可能的取值为0,1,2,3，则P(X0)P( )，P(X1)P(A )P(B)P( C)，P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)，P(X3)P(ABC).所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望E(X)0123.10(2019北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如表所示 支付金额/元支付方式(0,1 000(1 000,2 000大于2 0
8、00仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人 (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由解析 (1)由题意知，样本中仅使用A的学生有189330(人)，仅使用B的学生有1014125(人)，A，B两种支付
9、方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有1003025540(人)所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为0.4.(2)X的所有可能取值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”由题设可知，事件C，D相互独立，且P(C)0.4，P(D)0.6，所以P(X2)P(CD)P(C)P(D)0.24，P(X1)P(CD)P(C)P()P()P(D)0.4(10.6)(10.4)0.60.52，P
10、(X0)P( )P()P()0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24数学期望E(X)00.2410.5220.241.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P(E).答案示例1：可以认为有变化理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有
11、可能发生的，所以无法确定有没有变化 能力提升(建议用时：25分钟) 11(2019广东六校联考)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形现在向该圆形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在阴影部分的概率是_.解析 因为阴影部分面积为12(23)R2，圆的面积为R2，所以飞镖落在阴影部分的概率为2.答案 212(2019福建适应性练习)关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的
12、实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x，y)；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；最后再根据统计数m估计的值假如统计结果是m34，那么可以估计的值约为_.解析 如图，由题意知点(x，y)在以OA，OB为邻边的正方形内部，即且正方形面积为S正1，又x，y,1能构成钝角三角形的三边，则如图阴影部分所示，面积为S阴，由题意可得，解得.答案 13(2019全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗
13、结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1，2，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)
14、，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8.证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性解析 (1)X的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)，所以X的分布列为X101P(1)(1)(1)(1)(2)证明：由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1)又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1，2，7)是公比为4，首项为p1的等比数列由可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p1.p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p40.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理