1、第一部分专题5 第3讲题型对应题号1.圆锥曲线中的定点与定值问题5,9,102.圆锥曲线中的最值与范围问题1,2,3,4,6,7,8,113.圆锥曲线中的存在性问题12 基础热身(建议用时：40分钟) 1F1，F2是椭圆y21的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是()A2 B1 C2 D4B解析 设P(x，y)，依题意得点F1(，0)，F2(，0)，(x)(x)y2x2y23x22，因为2x2，所以2x221，因此的最大值是1.故选B项2若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A2 B C DD解析 根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|d，又抛物
2、线的方程为y2x2，即x2y，所以其准线方程为y，所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min.故选D项3(2019北京西城区调研)过抛物线y24x的焦点且斜率为k的直线l与双曲线C：y21的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1x20，则k的取值范围是()ABCDD解析 易知双曲线两渐近线为yx，所以当k或k0.故选D项4(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)A解析 若焦点在x轴上，依题意得0m3，且tan，所以0m3且m1，则03，且t
3、an，所以m9.综上，m的取值范围是(0,19，)故选A项5在直线y2上任取一点Q，过Q作抛物线x24y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为()A(0,1) B(0,2)C(2,0) D(1,0)B解析 设Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为yx2，则yx，则在点A处的切线方程为yy1x1(xx1)，化简得yx1xy1，同理，在点B处的切线方程为yx2xy2，又点Q(t，2)的坐标适合这两个方程，代入得2x1ty1，2x2ty2，这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程2xty，即直线AB的方程为y2tx，因此直线AB恒过点(0,2)故选B
4、项6已知双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x24xy220相交，则双曲线的离心率的取值范围是_.解析 双曲线的渐近线方程为yx，即bxay0，圆x24xy220，可化为(x2)2y22，其圆心为(2,0)，半径为 .因为直线bxay0和圆(x2)2y22相交，所以，整理得b2a2.从而c2a2a2，即c22a2，所以e21，故双曲线的离心率的取值范围是(1，)答案 (1，)7已知抛物线C：x28y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则的最小值为_.解析 如图所示，在RtQPF中，|cosPFQ|2|21.由抛物线的定义知|d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物
5、线的顶点到准线的距离最短，所以|min2，所以的最小值为3.答案 38已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_.解析 不妨设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)则|AC|BD|y1x2y1.又y1y2p24.所以|AC|BD|(y20)设g(x)(xb0)，经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值解析 (1)由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a，
6、所以椭圆的方程为y21.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.故kAPkAQ为定值2. 能力提升(建议用时：25分钟) 10(2019福建适应性练习)设O为坐标原点，动圆P过定点M(4,0)，且被y轴截得的弦长是8.(1)求圆心P的轨迹C的方程；(2)设A，B是轨迹C上的动点，直线OA，OB的倾斜角之和为，求证：直线AB过定点解析 (1)
7、设动圆的圆心P的坐标为(x，y)，半径为r，则r2PM2(x4)2(y0)2，因为动圆被y轴截得的弦长是8，所以r2x242，消去r得y28x，故圆心P的轨迹C的方程为y28x.(2)证明：设直线AB的方程为xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去x得y28my8n0，则y1y28m，y1y28n.设直线OA，OB的倾斜角分别是，.因为，所以tan()1，即1，因为kOAtan ，同理kOBtan ，所以1，所以1，所以8(y1y2)y1y264，所以88m8n64，所以n88m.所以直线AB的方程为xm(y8)8，故直线AB过定点(8,8)11(2019河北武邑中学质检)已
8、知平面直角坐标系内的动点P到直线l1：x2的距离与到点F(1,0)的距离之比为 .(1)求动点P所在曲线E的方程；(2)设点Q为曲线E与y轴正半轴的交点，过坐标原点O作直线l，与曲线E相交于异于点Q的不同两点M，N，点C满足O2，直线MQ和NQ分别与以C为圆心，|CQ|为半径的圆相交于点A和点B，求QAC与QBC的面积之比 的取值范围解析 (1)设动点P(x，y)，由题意可得，整理得x22y22，即y21为所求曲线E的方程(2)由已知得Q(0,1)，C(0,2)，|CQ|1，即圆C的方程为x2(y2)21.由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0，设直线MQ的方程为yk1x1，与x2(y2)
9、21联立得(1k)x22k1x0，所以xA.设直线NQ的方程为yk2x1，与x2(y2)21联立得(1k)x22k2x0，所以xB，因此.由于直线l过坐标原点，所以点M与点N关于坐标原点对称设M(x0，y0)，N(x0，y0)，所以k1k2.又M(x0，y0)在曲线E上，所以y1，即k1k2，故，由于k0，所以b0)，点P1(1,1)，P2(0，)，P3(，)，P4(，)中恰有三点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设R(x0，y0)是椭圆C上的动点，由原点O向圆(xx0)2(yy0)22引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，试问OPQ的面积是否为定
10、值？若是，求出该值；若不是，请说明理由解析 (1)由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点因为1，所以P1不在曲线C上，所以椭圆C过点P2，P3，P4，故P2在椭圆上，所以1，1，解得a26，b23，故椭圆C的方程为1.(2)设直线OP的方程为yk1x，由题意知直线OP与圆R相切，所以圆心R(x0，y0)到直线OP的距离等于圆的半径，即，即有(x2)k2x0y0k1y20，同理，设直线OQ的方程为yk2x，且与圆R相切，可得(x2)k2x0y0k2y20，即k1，k2为方程(x2)k22x0y0ky20的两个不相等的实根，则k1k2，因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以1，所以k1k2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以|OP|x1|，点Q到直线OP的距离d，又因为P，Q在椭圆C上，所以所以|x1|，|x2|，所以OPQ的面积S|OP|d|x1|x1x2|k1k2|3.
