1、4 电磁感应中的能量与动力学问题 第九章电 磁 感 应1.电磁感应中的动力学问题(2010池州市七校模拟)一个质量为m、直径为d、电阻为R的金属圆环，在范围足够大的磁场中竖直向下下落，磁场的分布情况如图941所示已知磁感应强度竖直方向分量By的大小只随高度y变化，其随高度y变化关系为By=B0(1+ky)(此处k为比例常数，且k0)，其中沿圆环轴线的磁场方向始终向上金属圆环在下落过程中的环面始终保持水平，速度越来越大，最终稳定为某一数值，称为收尾速度不计空气阻力，求：(1)圆环中感应电流的方向；(2)圆环收尾速度的大小图941()()()220201()21444mmyddFBSBBkyvDt
2、dBSB kvt根据楞次定律可知，感应电流的方向为顺时针 俯视观察 圆环下落高度为 时的磁通量为设收尾速度为，以此速度运动时间内磁通量的变化为解析：ppp=+DF=D=D22240202416mEGmGmEdEB kvmgRvtEPRPmgvPPk B d根据法拉第电磁感应定律有圆环中感应电流的电功率为重力做功的功率为根据能的转化和守恒定律有解得pp=DF=D=点评：E=DF/Dt是求整个回路的总电动势，并且求出的是Dt时间内的平均感应电动势，而公式E=BLv求出的只是切割磁感线的那部分导体中的感应电动势，不一定是回路中的总感应电动势，并且它一般用于求某一时刻的瞬时感应电动势如图9-4-2所示
3、，一金属杆弯成如图所示形状的固定导轨，左侧导轨处于水平面内，右侧导轨处在倾角=30的斜面上，导轨的间距处处都为l.质量为m、电阻为R的金属棒ab水平放置在倾斜的导轨上.整个装置处在方向垂直于斜面的匀强磁场中，磁感应强度为B.给棒一定的初速度，可使棒恰好沿斜面匀速下滑，然后再进入水平轨道滑行.不计整个导轨的电阻和摩擦，重力加速度为g.求：(1)金属棒沿斜面匀速下滑的速度v0.(2)金属棒在水平导轨滑行过程加速度的最大值.(设棒从倾斜导轨进入水平导轨过程速度大小保持不变)图9-4-2(1)金属棒下滑产生的感应电动势E=Blv0 回路中产生的感应电流棒匀速下滑，安培力等于重力沿斜面的分力F=IBl=
4、mgsin 可解得棒匀速下滑的速度EIR02 22mgRvB l(2)金属棒刚进入水平导轨时加速度最大，此时感应电动势E=Blv0cos 安培力大小为安培力方向与水平方向成角斜向右，此时金属棒做减速运动，加速度大小为am，则Fcos=mam 由解得2 20 cosB l vFI BlR 2m3sincos8agg2.电磁感应中的能量问题如图9-4-3所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里.线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进入磁场.整个运动过程
5、中始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转动.求：(1)线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度v2；(2)线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v1；(3)线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q.图9-4-3与线圈有关的电磁感应问题是高考复习的重点内容，其特点是：当线圈穿过有界磁场时，线框在磁场中的运动是典型的非匀变速直线运动，功能关系和能量守恒定律是解决此类问题的关键.(1)由于线框匀速进入磁场，则合力为零.有解得：222B a vmgfR222mgf RvB a(2)设线框离开磁场能上升的最大高度为h，则从刚离开磁场到刚落回磁场的过程中解得：2112mgf hmv2212mgf hmv212
6、22RmgfmgfmgfvvmgfB a(3)在线框向上刚进入磁场到刚离开磁场的过程中，根据能量守恒定律可得解得：2211112()22mvmvmg baQf ba2443()2m mgfmgf RQmg baf abB a点评:用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向；画出等效电路，求出回路中电阻消耗电功率表达式；分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的变化所满足的方程如图9-4-4所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成角固定，轨距为d.空间存在匀强磁场.磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B，P、M间接阻值为R的电阻.质量为m的金
7、属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r.现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离x时，达到最大速度.若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g.求：(1)金属杆ab运动的最大速度；(2)金属杆ab运动的加速度为时，电阻R上的电功率；(3)金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功.图9-4-41sin2 g(1)当杆达到最大速度时F=mgsin安培力F=Bid感应电流感应电动势E=Bdvm解得最大速度(2)当ab运动的加速度为根据牛顿第二定律EIRrm22sinmg RrvB d1sin2 g1sinsin2mgBI dmg电阻R上的电功率P=I2R解得(3)根据动能定理解得：2si
8、n()2mgPRBd2m1sin02FmgxWmv 232244sinsin2Fm gRrWmgxB d易错题：如图945所示，竖直平面内有足够长的金属导轨，轨距0.2m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4w，导轨电阻不计，导轨ab的质量为0.2g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为0.2T，且磁场区域足够大，当ab导体自由下落0.4s时，突然接通电键K，试说出K接通后，ab导体的运动情况(g取10m/s2)图945错解：K闭合后，ab受到竖直向下的重力和竖直向上的安培力作用合力竖直向下，ab仍处于竖直向下的加速运动状态随着向下速度的增大，安培力增大，ab受竖直向下的
9、合力减小，直至减为0时，ab处于匀速竖直下落状态错解分析：上述解法是受平常做题时总有安培力小于重力的影响，没有对初速度和加速度之间的关系做认真的分析不善于采用定量计算的方法分析问题正解：闭合K之前导体自由下落的末速度为v0=gt=4m/sK闭合瞬间，导体产生感应电动势，回路中产生感应电流ab立即受到一个竖直向上的安培力2202200.0160.002B L vFBILNmgNRB L vFmgagmmRabFmgab安安此刻导体棒所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向相反，加速度的表达式为所以，做竖直向下的加速度逐渐减小的变减速运动当速度减小至时，做竖直向下的匀速运动=-=-=点评：本题的最大的特点是电磁学知识与力学知识相结合这类综合题本质上是一道力学题，只不过在受力上多了一个感应电流受到的安培力分析问题的基本思路和力学问题一致在运用牛顿第二定律与运动学结合解题时，分析加速度与初速度的关系是解题的最关键的第一步因为加速度与初速度的关系决定了物体的运动