1、小题狂练（27）1. 已知全集为实数集，集合，则集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意首先求得集合A和集合B，然后结合集合运算的定义进行交集运算即可求得最终结果.详解：求解对数函数的定义域可得：，结合交集的定义可得：集合为.本题选择D选项.点睛：本题主要考查结合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 若复数，在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数（ ）A B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义得到，再根据复数的乘除法运算法则可得结果.【详解】依题意可得，所以，故选：C.【点睛】本题考查了复数的几何意义和
2、复数的乘除法运算，属于基础题.3. 已知直线：，直线：，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据直线的垂直，即可求出tan=3，再根据二倍角公式即可求出详解：因为l1l2，所以sin3cos=0，所以tan=3，所以sin2=2sincos=故选D点睛：本题考查了两直线的垂直，以及二倍角公式，本题利用了sin2+cos2=1巧妙的完成弦切互化常用的还有三姐妹的应用，一般，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.4. 泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登
3、泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）A. 甲走桃花峪登山线路B. 乙走红门盘道徒步线路C. 丙走桃花峪登山线路D. 甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均
4、错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.5. 已知直线与圆相交于A，B两点(O为坐标原点)，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D
5、. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】设，联立，化为，由，可得，根据韦达定理解出，进而可得结果.【详解】设，联立，化为，直线与圆相交于两点，为坐标原点），解得，解得，则“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义、直线与圆的位置关系，以及平面向量数量积公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.6. 如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】
6、由抛物线定义可得，从而的周长，确定点横坐标的范围，即可得到结论【详解】抛物线的准线，焦点，由抛物线定义可得，圆的圆心为，半径为4，的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，故选 C.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定点横坐标的范围是关键，属于中档题.7. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为,设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则（ ）A. 2B. C. 1D. 【
7、答案】A【解析】【分析】先求出酒杯下部分（半球）的表面积为，得到圆柱侧面积为，进一步得到酒杯上部分（圆柱）的高为，然后分别求出，得到答案.【详解】设酒杯上部分（圆柱）的高为球的半径为R，则酒杯下部分（半球）的表面积为酒杯内壁表面积为，得圆柱侧面积为，酒杯上部分（圆柱）的表面积为，解得酒杯下部分（半球）的体积酒杯上部分（圆柱）的体积所以.故选：A【点睛】本题考查球的表面积和体积、圆柱侧面积和体积，属于中档题.8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为左顶点，过点且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由，得
8、为直角，可得，即可得，然后利用直线斜率公式求解即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为，设点，因为，即为直角三角形，且为直角， 所以，则上，解得， 故，又，所以直线的斜率，所以，故该双曲线的离心率.故选：B【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，重点考查了双曲线渐近线方程及直线的斜率公式，属中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商
9、进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（ ）A. P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商B. 三家设备商的产品组合指标得分相同C. 在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商D. 除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商【答案】ABD【解析】【分析】根据雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知ABD均正确.【详解】雷达图中是越外面其指标值越优，P设备商的研发投入在最外边，即P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商，故A正确；三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B正确；R设备商的研发投入优于
10、Q设备商，故C错误；除产品组合外，P设备商其他4项指标均在最外边，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题主要考查对数表的综合观察能力，属于基础题.10.已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ）A. 该椭圆的焦距为6B. 的最小值为2C. 的值可以为D. 的值可以为【答案】ABC【解析】【分析】先由椭圆，得到焦距，判断A是否正确，椭圆上的动点，分析的取值范围，判断BCD是否正确，得到答案.【详解】由椭圆，得，故A正确；椭圆上的动点，即有，故的最小值为2，B正确；设，组成的等差数列为，公差，则，又，所以，所以，所以的最大值是，故C正确，D错误.故选：ABC.【点
11、睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题.11.对于四面体，下列命题正确的是（ ）A. 由顶点作四面体的高，其垂足是的垂心B. 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点C. 若分别作和的边上的高，则这两条高所在直线异面D. 最长棱必有某个端点，由它引出另两条棱的长度之和大于最长棱【答案】BD【解析】【分析】依题意画出图形，数形结合一一分析可得；【详解】解：如图取、的中点对于A.三角形的垂心是三条高线的交点，而点的位置可以任意变化，故A错误；对于B.，为平行四边形，同理也是平行四边形，的交点为平行四边形对角线的中点，的交点为平行四边形对角线的中点
12、，故三条线段交于一点，故B正确；若四面体为正四面体，则两条高线刚好相交于的中点，故C为错误；对于D.假设D错误，设最长，则，相加得，在，中，所以矛盾，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查异面直线，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，属于中档题12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.己知函数，则（ ）A. ，B. 是偶函数C. ，D. 若的值域为集合，使得，同时成立，则正整数的最大值是5【答案】ACD【解析】【分析】由取整函数的
13、定义判断.【详解】由定义得，故 A正确；因为.易知在上是增函数；，的值域为，故B错误.，故C正确；若，使得，同时成立，则，因为，若，则不存在同时满足，.只有时，存在故D正确；故答案为：ACD.【点睛】本题主要考查函数的新定义，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则_.【答案】【解析】【分析】利用商数关系，由得到代入求解.【详解】方法一：，则.方法二：分子分母同除，得.故答案为：【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知单位向量，满足，则向量与的夹角为_.【答案】【解析】【分析
14、】首先根据平面向量的运算律求出，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：由单位向量，满足，得，所以，所以，又,所以.故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律以及夹角的计算，属于基础题.15.设函数的最小值为，且，则_，_.【答案】 (1). 2 (2). 9【解析】【分析】化简函数，换元后利用的单调性求出最小值即可得出，将转化为，再利用展开式的通项即可得到答案.【详解】由，令，因为函数，为减函数，所以当时，即，所以，因为的展开式通项为：，所以当，即时，展开式的项为，又，所以.故答案为：2；9【点睛】本题主要考查了函数的单调性，二项展开式，项的系数，换元法，转化思想，属于中档题.16.已知
15、函数，将函数的图象向右平移个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，己知常数，且函数在内恰有2021个零点，则_.【答案】【解析】【分析】先求出，令，得，则关于的二次方程必有两不等实根，又，则、异号，再对、分四种情况讨论得解.【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到函数，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为，令，令，可得，令，得，则关于的二次方程必有两不等实根，又，则、异号，（）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在有偶数个根，不合题意；（）当且时，则方程在区间有偶数个根，无解，从而方
16、程在有偶数个根，不合题意；（）当，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有2020个根，在区间上有2022个根，不合题意；（）当时，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此关于的方程在区间上有2021个根，在区间上有2022个根，此时，得.所以.故答案为：1347.【点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换，考查正弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.