1、 基础题组练1若双曲线C1：1与C2：1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b()A2B4C6D8解析：选B.由题意得，2b2a，C2的焦距2c4c2b4，故选B.2已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|PF2|4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为()A.y21 B.1Cx21D.1解析：选A.由题意可得解得则该双曲线方程为y21.3(2019高考全国卷)已知F是双曲线C：1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点若|OP|OF|，则OPF的面积为()A. B.C. D.解析：选B.因为c2a2b29，所以|OP|OF|
2、3.设点P的坐标为(x，y)，则x2y29，把x29y2代入双曲线方程得|y|，所以SOPF|OF|yP|.故选B.4已知双曲线1(a0，b0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A(2，)B(1，2)C.D.解析：选A.由双曲线的性质可得|AF|，即以AB为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为ac，由题意可知ac，整理得c22a2ac0，两边同除以a2，则e2e20，解得e2或e2.5已知双曲线的焦距为6，其上一点P到两焦点的距离之差为4，则双曲线的标准方程为_解析：若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为
3、1.由题意得即又c2a2b2，故b25.所以双曲线的标准方程为1.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为1.同理可得所以b5.所以双曲线的标准方程为1.综上所述，双曲线的标准方程为1或1.答案：1或16若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_解析：由双曲线的渐近线过点(3，4)知，所以.又b2c2a2，所以，即e21，所以e2，所以e.答案：7已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解：椭圆D的两个焦点坐标为(5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线
4、G的方程为1(a0，b0)，所以渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r3.所以3，得a3，b4，所以双曲线G的方程为1.8已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围解：(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得：a2，c4，再由a2b2c2，得b24，所以双曲线C的方程为1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx2与1联立，得(13k2)x212kx360.由题意知解得k1.所以当kb0)和双曲线E：x2y21有相同的焦点F1，
5、F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则F1PF2的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定解析：选B.由题意可知，1ca，因为c，所以a2，b2a2c22，不妨设P与F2在y轴右侧，则，得|PF1|2|F1F2|2|PF2|2，所以F1PF2为直角三角形，故选B.2(2018高考全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A.B3C2D4解析：选B.法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为yx.设两渐近线夹角为2，则有tan ，所以30.所以MON260.又OMN为直角三角
6、形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在RtONF中，|OF|2，则|ON|.则在RtOMN中，|MN|ON|tan 2tan 603.故选B.法二：因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故选B.3(综合型)已知双曲线1，过点M(m，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A，B两点若AOB是锐角三角形(O为坐标原点)，则实数m的取值范围是_解析：由题意得A，B，所以，.
7、因为AOB是锐角三角形，所以AOB是锐角，即与的夹角为锐角，所以0，即m240，解得2m2.由过点M(m，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A，B两点可知m.故实数m的取值范围是(2，)(，2)答案：(2，)(，2)4(2019河北名校名师俱乐部二调)已知F1，F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线的右支于点B，则F1AB的面积等于_解析：由题意知a1，由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，所以|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.由题意知|AB|AF2|BF2|
8、2|BF2|，所以|BA|BF1|，所以BAF1为等腰三角形，因为F1AF245，所以ABF190，所以BAF1为等腰直角三角形所以|BA|BF1|AF1|42.所以SF1AB|BA|BF1|224.答案：45已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.解：(1)因为双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以解得c3，b，所以双曲线的方程为1.(2)双曲线1的右焦点为F2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线
9、的方程为y(x3)联立得5x26x270.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|AB| .6(综合型)设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，因为一条渐近线为yx，即bxay0.所以由焦点到渐近线的距离为，得.又因为c2a2b2，所以b23，所以双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x02.则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程yx2代入双曲线方程1得x216x840，则x1x216，y1y2(x1x2)412.所以解得所以t4，点D的坐标为(4，3)