1、20212022学年度第一学期期中调研测试高二数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 已知直线经过点，则的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用斜率的两点式求得，根据斜率与倾斜角的关系，即可求倾斜角的大小.【详解】由题设，若的倾斜角为，则，又,.故选：B2. 双曲线的焦点坐标为（ ）A. ，B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出的值，即可得解.【详解】在双曲线中，则.因此，双曲线的焦点坐标为、.故选：D.3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【
2、答案】B【解析】【分析】由题意可得，从而可求得实数的取值范围【详解】表示圆，则，故选：B4. 已知两圆和相交于两点，则直线的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把两个圆的方程相减，即可求出结果【详解】把两圆与的方程相减，可得，此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程.故选：D.5. 椭圆上点到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是（ ）A. 8，2B. 5，4C. 5，1D. 9，1【答案】D【解析】【分析】根据点到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是，选出正确答案.【详解】依题意，所以到椭圆左焦点的最大距离和最
3、小距离分别是.故选：D【点睛】本小题主要考查根据椭圆方程求，考查椭圆的几何性质，属于基础题.6. 已知三角形三个顶点为、，则边上的高所在直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率，可求得边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，因此，边上的高所在直线的方程为.故选：A.7. 已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为4，N是的中点，O为坐标原点，那么线段的长是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】连接，得到是三角形的中位线，故，再利用椭圆的定义求出，进而求出线段的长
4、.【详解】如图，不妨设焦点F为左焦点，右焦点为，连接，因为N是的中点，是的中点，故是三角形的中位线，故，由得：，由椭圆的定义可知：，因为，所以，故故选：C8. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】建立坐标系，利用已知条件求出双曲线的实轴长，虚轴长，然后求出半焦距，从而可求出离心率【详解】解：以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，不妨设，则该双曲线过点，且，所以，
5、解得，所以，得，所以双曲线的离心率为，故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A. xy+10B. x+y3C. 2xy0D. x+y+20【答案】AC【解析】【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.【详解】当直线过坐标原点时，设直线，代入，所以，所以直线方程为；当直线不过坐标原点时，设直线，代入，所以，所以直线方程为，故选：AC10. 已知圆，直线则下列结论正确的是（ ）A.
6、 当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1B. 对于任意实数m，直线l恒过定点（1，1）C. 若圆C与圆恰有三条公切线，则D. 若动点D在圆C上，点，则线段中点M的轨迹方程为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，通过计算圆心到直线距离进行分析即可，对于B，对直线方程变形求解即可，对于C，由两圆有3条公切线可得两圆相外切，从而可求出的值，对于D，设的中点为，则可得动点D的坐标为代入圆C方程中化简可得答案【详解】对于A，圆的圆心为，半径，当时，直线，则圆心到直线的距离为，因为，所以圆C上只有两个点到直线l的距离等于1，所以A错误，对于B，由，得，由于，所以，得，所以直线恒点，所以B正确，对于C，
7、因为圆C与圆恰有三条公切线，所以两圆相外切，由，得，所以，解得，所以C正确，对于D，设的中点为，则可得动点D的坐标为，因为动点D在圆C上，所以，化简得，所以线段中点M的轨迹方程为，所以D正确，故选：BCD11. 已知双曲线，双曲线与双曲线有相同渐近线，抛物线以双曲线的左焦点F为焦点 ，则下列判断正确的是（ ）A. 抛物线标准方程为B. 双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1C. 若双曲线焦点在轴，则双曲线的离心率为D. 若双曲线与抛物线交于A、B两点，则【答案】AB【解析】【分析】对于A，先求出双曲线的左焦点，进而求出抛物线标准方程，根据双曲线的焦点到渐进线的距离，可判断出B，根据双曲线与双曲
8、线有相同的渐近线，可得出中， 的关系，进而求出双曲线的离心率，将双曲线与抛物线的方程联立解出 进而可求得答案.【详解】因为双曲线，所以的左焦点F，将 由得，所以，抛物线标准方程为，故A正确；对于B，双曲线的焦点到渐进线的距离，由题可知，所以双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1，故B正确；对于C，因为双曲线，所以其渐近线为，又因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在轴上，设，则，所以，故C错误；对于D，联立 解得，所以，所以D错误.故选：AB12. 已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（ ）A. 的最小值为2B. 面积的最大值为C. 直线的斜率为
9、D. 为钝角【答案】BC【解析】【分析】A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值，A项错误； B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值； C项，由对称性，可设，则，则可得直线的斜率与k的关系； D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得，又由C项可知， 得，即，排除D项.【详解】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，则四边形为平行四边形，当且仅当时等号成立，A错误；对于B，由得，的面积，当且仅当时等号成立，B正确；对于C，设，则，故直线的斜率，C正确；对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，则，又点和点在椭圆上，得，易
10、知，则，得，D错误.故选：BC.【点睛】椭圆常用结论：已知椭圆，AB为椭圆经过原点的一条弦，P是椭圆上异于A、B的任意一点，若都存在，则.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 抛物线的准线方程是_【答案】【解析】【详解】由题意可得p=4,所以准线方程为,填14. 与直线的斜率相等，且过点的直线方程为_【答案】【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线的斜率为，故所求直线方程为，即.故答案为：.15. 椭圆的左、右焦点分别为，C上存在一点P使得，则椭圆离心率的范围是_【答案】【解析】【分析】先根据椭圆定义得到，再利用余弦定理，求出，利用椭圆
11、的范围列出不等式求出离心率的范围.【详解】设，则，在中，由余弦定理得：，解得，因为，所以，即，且，所以，故椭圆的离心率的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法总结：考查了椭圆的应用，当点在短轴的端点时值最大.16. 已知平面上任意一点，直线，则点P到直线l的距离为；当点在函数图象上时，点P到直线l的距离为，请参考该公式求出的最小值为_【答案】#【解析】【分析】令，将问题转化为函数图象上的点到直线、的距离之和的倍，即可求得最小值【详解】令，表示函数图象上的点到直线的距离，表示函数图象上的点到直线的距离，目标式几何意义：半圆上的点到直线、的距离之和的倍，最小值为 故答案为：.四、解答题：本大题共6个
12、小题，满分70分解答须写出说明、证明过程和演算步骤17. 求符合下列条件直线的方程：（1）过点A（-3，-1），且倾斜角为（2）过点P（3，4），且两点到这直线距离相等【答案】（1） （2）或【解析】分析】（1）根据倾斜角得出直线斜率，利用点斜式求解即可；（2）分所求直线与MN平行，过MN中点两种情况求解即可.【小问1详解】倾斜角为斜率为由点斜式直线方程可得即.【小问2详解】与直线MN平行斜率由点斜式直线方程可得即 过MN中点可求MN中点是（3，2）又直线过P（3，4），则直线方程为x=3综上得直线方程为或18. 求符合下列条件圆的方程：（1）圆心为点，面积为.（2）与圆关于y轴对称【答案】（
13、1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意得到，求得，结合圆的标准方程，即可求解.（2）把圆化为，求得圆心关于轴的对称点，即可求得对称圆的方程.【小问1详解】解：设所求圆的半径为，因为圆的面积为，即，解得，又由圆心为，所以所求圆的方程为.【小问2详解】解：由圆可化为，可得圆心坐标为，可圆心关于轴的对称点为，所以圆关于轴的对称圆的方程为.19. 已知椭圆与双曲线具有共同的焦点、，点在椭圆上，_椭圆过点，椭圆的短轴长为，椭圆离心率为，（中选择一个）（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积【答案】（1）条件选择见解析，椭圆方程为 （2）【解析】【分析】（1）由已知可得，选：可求得的值，进而可求得的值，
14、即可确定椭圆的标准方程；选：求出的值，可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；选：根据离心率可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；（2）利用椭圆定义结合勾股定理可求得，再利用三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】解：设椭圆方程.因为椭圆与双曲线具有共同的焦点，则.选：由已知可得，则，椭圆方程为；选：由已知可得，则，椭圆方程为；选得，则，椭圆方程为.【小问2详解】解：由椭圆定义知， 又，由可得，解得，因此，.20. 早在一千年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击现设桥拱上有如图所示的个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且个溢流孔的轮廓线相
15、同根据图上尺寸，试分别求出桥拱所在的抛物线方程和溢流孔所在的抛物线方程，及溢流孔与桥拱交点的位置【答案】答案见解析【解析】【分析】设桥拱、以及所在溢流孔的抛物线方程，将点的坐标代入这两个抛物线的方程，求出对应的参数，可求得这两个抛物线的方程，同理可得出其余三个溢水孔所在抛物线的方程，联立桥拱、以及所在溢流孔的抛物线方程，可求得点的坐标.【详解】设桥拱所在抛物线的方程为，则，得，所以桥拱所在抛物线的方程.设所在溢流孔的抛物线方程为，则，解得，所以所在溢流孔的抛物线方程为. 由于个溢流孔的轮廓线相同，所以、所在溢流孔的抛物线方程为，同理得另两个溢流孔的抛物线方程为，联立方程的点坐标为.21. 光线
16、沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点（2，8）为圆心的圆C相切，（1）求圆C的方程（2）设k为实数，若直线与圆C相交于M、N两点，且，求的k取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出直线关于x轴的对称直线的方程，即反射光线所在直线的方程，再根据直线与圆相切求得半径即可得出答案；（2）利用圆的弦长公式求得，再根据即可得解.【小问1详解】解：在直线中，令，则，由题意可知，入射光线与反射光线所在的直线关于轴对称，则反射光线所在直线的斜率为，且过点，所以直线关于x轴的对称直线为，点（2，8）到直线距离，圆方程为；【小问2详解】设圆心到直线的距离为d， ，即.22. 已知椭圆E的方程
17、为，过点且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）点A是椭圆E与x轴正半轴的交点，不过点A的直线交椭圆E于B、C两点，且直线，的斜率分别是，若，证明直线l过定点R；求面积的最大值【答案】（1） （2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）由已知可得，从而可求出，进而可得椭圆E的方程，（2）设，直线，再将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系，由可得，结合前面的式子可求得，从而可证得结论，再利用基本不等可求得答案【小问1详解】由题意，解得，得，所以曲线E的方程为【小问2详解】设，直线，联立方程组得， 由，解得， 由知， 且，代入化简得，解得，直线l过定点 由知且，得， （当且仅当时取等号）综上，面积的最大值为