1、第四节指数与指数函数考纲要求1了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图象4体会指数函数是一类重要的函数模型突破点一指数幂的运算1根式(1)根式的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数(2)a的n次方根的表示xna2有理数指数幂幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义有理
2、数指数幂的性质arasars(a0，r，sQ)(ar)sars(a0，r，sQ)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)a.()(2)(a)(a).()(3)()na.()答案：(1)(2)(3)二、填空题1计算：022_.答案：2设a0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是_解析：a2aaa.答案：a3若，则实数a的取值范围为_解析：|2a1|，12a.因为|2a1|12a.故2a10，所以a.答案：指数幂的运算规律(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先
3、化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答典例(1)(a0)的值是()A1BaCa Da(2)022(0.01)0.5_.解析(1)aa.故选D.(2)原式111.答案(1)D(2) 方法技巧化简指数幂常用的技巧(1)pp(ab0)；(2)am，a(a)n(式子有意义)；(3)1的代换，如1a1a,1aa等；(4) 乘法公式的常见变形，如(ab)(ab)ab，(ab)2a2abb，(ab)(aabb)ab. 针对训练1化简(a0，b0)的结果是()Aa BabCa2b D.解析：选D原式ab.2(2019江西百校联盟
4、联考)已知14a7b4c2，则_.解析：由题设可得214,27,24，则22，22423，3.答案：33若x0，则(2x3)(2x3)4x (xx)_.解析：因为x0，所以原式(2x)2(3)24xx4xx4x34x4x4x334x4x027423.答案：23突破点二指数函数的图象及应用1指数函数的图象函数yax(a0，且a1)0a1图象图象特征在x轴上方，过定点(0,1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升2.画指数函数图象的三个关键点画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.3指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y
5、ax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)y2x1是指数函数()(2)yax1的图象恒过定点(1,1)()(3)要得到y3x2的图象只需将y3x的图象向左平移2个单位即可()答案：(1)(2)(3)二、填空题1函数yax33(a0，且a1)的图象过定点_解析：因为指数函数yax(a0，且a1)的图象过定点(0,1)，所以在函数yax33中，令x30，得x3，此时y134，即函数yax33的图象过定点(3,4)答案：(3,4)2
6、函数y2x1的图象是_(填序号)解析：由y2x的图象向左平移1个单位可得y2x1的图象答案：3已知函数yx的图象与指数函数yax的图象关于y轴对称，则实数a的值是_解析：由两函数的图象关于y轴对称，可知与a互为倒数，即1，解得a4.答案：4考法一与指数函数有关的图象辨析例1(2019河北武邑中学调研)函数ye|x1|的大致图象是()解析因为|x1|0，所以0e|x1|e0，即01的x的取值范围是_解析画出函数f(x)的大致图象如图所示，易知函数f(x)在(，)上单调递增又xx1，且x(x1)1，f(0)1，所以要使f(x)f(x1)1成立，结合函数f(x)的图象知只需x11，解得x0.故所求x
7、的取值范围是(0，)答案(0，)有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解1.函数f(x)1e|x|的图象大致是()解析：选A由f(x)1e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|1，所以f(x)的值域为(，0，排除C.2.函数yaxb(a0且a1)的图象经过第二、
8、三、四象限，则ab的取值范围为()A(1，)B(0，)C(0,1) D无法确定解析：选C因为函数yaxb的图象经过第二、三、四象限，所以函数yaxb单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上令x0，则ya0b1b，由题意得解得故ab(0,1)，故选C.3.若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析：曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1答案：1,1突破点三指数函数的性质及应用指数函数的性质函数yax(a0，且a1)0a1性质定义域R值域(0，)单调性在R上是减函数在R上是增函数函数值变化规律当x
9、0时，y1当x1；当x0时，0y1当x0时，0y0时，y1提醒应用指数函数性质时应注意的两点(1)指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意分a1与0a0，且a1)，当x0时，y1.()(2)若指数函数yax(a0，且a1)在1,2上的最大值为2，则a为.()(3)若aman(a0，且a1)，则mn.()答案：(1)(2)(3)二、填空题1函数y1x的单调递增区间为_答案：(，)2若1x0，a2x，b2x，c0.2x，则a，b，c的大小关系是_解析：因为1x0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x1,0.2x1，又因为0.5x0.2x，所以bac.答案：bac3函数y3
10、x22x的值域为_解析：设ux22x，则y3u，ux22x(x1)211，所以y3u31，所以函数y3x22x的值域是.答案：考法一比较指数式大小或解不等式例1(1)已知f(x)2x2x，a，b，clog2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()Af(b)f(a)f(c)Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(c)f(a)(2)设函数f(x)若f(a)b0，clog2bc，所以f(c)f(b)f(a) (2)当a0时，不等式f(a)1可化为a71，即a8，即a3，因为03，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1可化为1，所以0a0，则函数f(x)4x2x13
11、(xA)的最小值为()A4B2C2 D4解析由题知集合Ax|2x2又f(x)(2x)222x3，设2xt，则t0，且a1)型函数最值问题多用换元法，即令tax转化为yt2btc的最值问题，注意根据指数函数求t的范围 考法三与指数函数有关的函数单调性问题例3(1)若函数f(x)a|2x4|(a0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2(2)若函数f(x)ax(ax3a21)(a0，且a1)在区间0，)上是增函数，则实数a的取值范围是()A. B.C(1， D.解析(1)由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4
12、|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减，故选B.(2)令tax(t0)，则原函数转化为yt2(3a21)t，其图象的对称轴为直线t.若a1，则tax1，由于原函数在区间0，)上是增函数，则1，解得a，与a1矛盾；若0a1，则0bc BbacCcba Dcab解析：选Da0.80.70.80.9b，a0.80.70.801，ba1.201，cab.2.函数y的值域是()A0，) B0,4C0,4) D(0,4)解析：选C函数y中，因为162x0，所以2x16.因为2x(0,16，所以162x0,16)故y0,4)故选C.3.函数f(x)的单调递增区间是()A
13、. B.C. D.解析：选D令xx20，得0x1，所以函数f(x)的定义域为0,1，因为yt是减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数yx2x在0,1上的减区间，故选D.4.已知函数f(x)a|x1|(a0，且a1)的值域为1，)，则f(4)与f(1)的大小关系是_解析：|x1|0，函数f(x)a|x1|(a0，且a1)的值域为1，)，a1.由于函数f(x)a|x1|在(1，)上是增函数，且它的图象关于直线x1对称，则函数在(，1)上是减函数，故f(1)f(3)，f(4)f(1)答案：f(4)f(1) 课时跟踪检测 A级基础题基稳才能楼高1(2019郑州一中开学考试)函数yln(2x1)的定义
14、域是()A0，)B1，)C(0，) D(1，)解析：选C由2x10，得x0，所以函数的定义域为(0，) 2.(2019菏泽联考)函数y2xx2的值域为()A. B.C. D(0,2解析：选A设t2xx2，则t1，所以yt，t1，所以y，故选A.3化简4ab的结果为()A BC D6ab解析：选C原式6ab6ab1.4(2019贵阳监测)已知函数f(x)42ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(1,6) B(1,5)C(0,5) D(5,0)解析：选A由于函数yax的图象过定点(0,1)，当x1时，f(x)426，故函数f(x)42ax1的图象恒过定点P(1,6)5已知a20.2，b0.
15、40.2，c0.40.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCcab Dbca解析：选A由0.20.6,0.41，并结合指数函数的图象可知0.40.20.40.6，即bc；因为a20.21，b0.40.21，所以ab.综上，abc.B级保分题准做快做达标1(2019衡水中学模拟)已知ab5，则ab 的值是()A2 B0C2 D2解析：选B由题意知ab0，a b a b a b ab0.故选B.2已知a21.2，b0.2，c2log52，则a，b，c的大小关系为()Abac BcabCcba Dbca解析：选Cb0.220.2b1.又c2log52log541，cb0，所以值域为(0
16、,1)(1，)，故选D.4(2019山西省45校第一次联考)函数yax(a0且a1)与函数y(a1)x22x1在同一个坐标系内的图象可能是()解析：选C两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，1)，故排除A、D；二次函数的对称轴为直线x，当0a1时，指数函数递减，1时，指数函数递增，0，B不符合题意，选C.5(2019河南六市一模)设x0，且1bxax，则()A0ba1 B0ab1C1ba D1ab解析：选C1bx，b00，b1，bx1，x0，1ab，1b0时，f(x)12x，f(x)2x1，此时x0，则f(x)2x1f(x)；当x0，则f(x)12(x)12xf(x)即函数f
17、(x)是奇函数，且单调递增，故选C.7(2019衡阳三中月考)当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是()A(2,1) B(4,3)C(3,4) D(1,2)解析：选D(m2m)4x2x0在(，1上恒成立(m2m)在x(，1上恒成立y在(，1上单调递减，当x(，1时，y2，m2m2，1m0，且a1)，下面给出五个命题，其中真命题是_(填序号)函数f(x)的图象关于原点对称；函数f(x)在R上不具有单调性；函数f(|x|)的图象关于y轴对称；当0a1时，函数f(|x|)的最大值是0.解析：f(x)f(x)，f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，是真命题；当a1
18、时，f(x)在R上为增函数，当0a1时，f(x)在R上为减函数，是假命题；yf(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，是真命题；当0a1时，f(|x|)在(，0)上为减函数，在0，)上为增函数，当x0时，yf(|x|)的最小值为0，是假命题综上，真命题是.答案：11已知函数f(x)2a4x2x1.(1)当a1时，求函数f(x)在x3,0上的值域；(2)若关于x的方程f(x)0有解，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)24x2x12(2x)22x1，令t2x，x3,0，则t.故y2t2t122，t，故值域为.(2)设2xm0，关于x的方程2a(2x)22x10有解，等价于方程2am2m10
19、在(0，)上有解，记g(m)2am2m1，当a0时，解为m10，不成立当a0时，开口向下，对称轴m0时，开口向上，对称轴m0，过点(0，1)，必有一个根为正，综上得a0.故a的取值范围为(0，)12(2019上海松江期末)已知函数f(x)a|xb|(a0，且a1，bR)(1)若f(x)为偶函数，求b的值；(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，试求a，b应满足的条件解：(1)f(x)为偶函数，对任意的xR，都有f(x)f(x)即a|xb|a|xb|，|xb|xb|，解得b0.(2)记h(x)|xb|当a1时，f(x)在区间2，)上是增函数，即h(x)在区间2，)上是增函数，b2，即b2.当0a
20、1且b2.C级难度题适情自主选做1(2019绵阳第一次诊断)已知0abb；ab；logalogb.则其中正确的结论个数是()A3个 B2个C1个 D0个解析：选B对于，函数yx为减函数，所以ab.又函数yxb为增函数，所以bb，因此ab，故正确；对于，函数yx为增函数，所以ab.又函数ybx为减函数，所以bb，所以alogb.又logblogb，因此logalogb，故正确综上可得正确故选B.2已知函数f(x)x4，x(0,4)，当xa时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)a|xb|的图象为()解析：选A因为x(0,4)，所以x11，所以f(x)x4x152 51，当且仅当x2时取等号，此时函数有最小值1，所以a2，b1，此时g(x)2|x1|此函数图象可以看作由函数y的图象向左平移1个单位得到结合指数函数的图象及选项可知A正确故选A.3已知a0，且a1，若函数y|ax2|与y3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是_解析：当0a1时，作出函数y|ax2|的图象如图(1)若直线y3a与函数y|ax2|(0a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a2，所以0a1时，作出函数y|ax2|的图象如图(2)，若直线y3a与函数y|ax2|(a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a2，此时无解所以实数a的取值范围是.答案：