1、模块素养评价(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则+等于()A.B.C.D.0【解析】选A.+=+=.2.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=1”是“点M在第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.因为复数z=(a-2i)(1+i)=a+2+(a-2)i,所以z在复平面内对应的点M的坐标是(a+2,a-2).若点M在第四象限,则a+20,a-20,所以-2a0)的最小正周期为,为了得到函数g(x)=cos x的图象
2、,只要将y=f(x)的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选A.由题知=2,所以f(x)=sin2x+=cos =cos 2x-=cos 2x-.6.已知点O,N在ABC所在平面内,且|=|=|,+=0,则点O,N依次是ABC的()A.重心外心B.重心内心C.外心重心D.外心内心【解析】选C.由|=|=|知,O为ABC的外心;由+=0,得=+,取BC边的中点D,则=+=2,知A,N,D三点共线,且AN=2ND,故点N是ABC的重心.7.数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问
3、题,数书九章中记录了秦九昭的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=,现有周长为10+2的ABC满足sin Csin Asin B=23,则用以上给出的公式求得ABC的面积为()A.6B.4C.8D.12【解析】选A.因为sin Csin Asin B=23,则cab=23,因为ABC的周长为10+2,即a+b+c=10+2,所以c=4,a=6,b=2,所以S=6.8
4、.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体.其上下、左右、前后完全对称,六根完全一样的正四棱柱分成三组,经90榫卯起来,若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为(容器壁的厚度忽略不计)() A.28B.30C.60D.120【解析】选B.由题意,该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个正四棱柱体对角线的一半,即为=,所以该球形容器的表面积的最小值为42=30. 二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知ab,|a|=2|b|=6,
5、则|a+b|的值可能为()A.3B.6C.8D.9【解析】选AD.因为ab,|a|=2|b|=6,则|a|=6,|b|=3.当a,b方向相同时,|a+b|=|a|+|b|=9;当a,b方向相反时,|a+b|=|a|-|b|=3.10.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,c=3,A+3C=,则下列结论正确的是()A.cos C=B.sin B= C.a=3D.SABC=【解析】选AD.A+3C=,故B=2C,根据正弦定理:=,即2sin C=32sin Ccos C,因为sin C0,故cos C=,sin C=,sin B=sin 2C=2sin Ccos C=.c2=a
6、2+b2-2abcos C,化简得到a2-4a+3=0,解得a=3或a=1,若a=3,则A=C=,故B=,不满足题意,故a=1.SABC=absin C=12=.11.函数f(x)=cos (x+)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是() A.=B.=C.x=是函数的一条对称轴D.是函数的对称中心【解析】选ACD.由题图知T=1,则T=2,即T=2,所以=,则A选项正确.由图象可得,f=cos =0, 所以+=2k+,kZ,即=2k+,kZ,再由c,b=,求的值.【解析】(1)因为a-2bsin A=0,所以sin A-2sin Bsin A=0,因为sin A0,所以sin B=,又B为锐
7、角,所以B=.(2)由(1)知,B=,b=,根据余弦定理得7=a2+c2-2accos ,整理得(a+c)2-3ac=7,又a+c=5.所以ac=6,又ac,所以a=3,c=2,于是cos A=,所以=|cos A=2=1.20.(12分)已知函数f(x)=sin(x+)0,-的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)若f=,求cos +的值.【解析】(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期T=.从而=2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2+=k+,kZ.由-得k=0,所以=-=-.(2)由(1)得f(x)=sin
8、2x-,所以f=sin2-=,所以sin-=.由,得0-,所以cos -=.因此cos +=sin =sin=sin-cos +cos -sin =+=.21.(12分)(2020全国卷)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,APC=90.(1)证明:平面PAB平面PAC;(2)设DO=,圆锥的侧面积为,求三棱锥P-ABC的体积.【解题指南】(1)根据已知可得PA=PB=PC,进而有PACPBC,可得APC=BPC=90,即PBPC,从而证得PB平面PAC,即可证得结论;(2)将已知条件转化为母线l和底面半径r的关系,进而求出底面半径,求出正三角
9、形ABC的边长,在等腰直角三角形APB中求出AP,结合PA=PB=PC即可求出结论.【解析】(1)由题设可知,PA=PB=PC.由于ABC是正三角形,故可得PACPAB.PACPBC.又APC =90,故APB=90,BPC=90.从而PBPA,PBPC,故PB平面PAC,因为PB在平面PAB内,所以平面PAB平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=,l2-r2=2.解得r=1,l=,从而AB=.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=.所以三棱锥P-ABC的体积为PAPBPC=.22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PB=PD,PA=PC=
10、4,底面是边长为2的菱形,且ABC=60,E,F,G分别是PA,PC,DC的中点. (1)求证:平面EFG平面PBD;(2)若M是线段AC上一点,求三棱锥M-EFG的体积.【解析】(1)因为E,F分别为PA,PC的中点,所以EFAC,又四边形ABCD为菱形,所以ACBD,所以EFBD.设AC与BD交于点O,连接OP,则OA=OC.因为PA=PC,所以OPAC,所以OPEF.因为OPBD=O,所以EF平面PBD.因为EF平面EFG,所以平面EFG平面PBD.(2)由(1)知EFAC.因为AC平面EFG,EF平面EFG,所以AC平面EFG,所以M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离,所以VM-EFG=VA-EFG=VG-AEF. 因为PB=PD,所以POBD,所以BD平面PAC,所以BD平面PEF,所以DO平面PEF.因为SAEF=SPAF=SPAC,ABC=60,所以BAD=120,因为AB=AD=2,所以BD=2,所以DO=.因为PO=,所以VG-AEF=VD-PAC=2=.所以三棱锥M-EFG的体积为.
