1、第四讲 与圆有关的比例线段教学目标知识与技能：证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。过程与方法：先猜后证，猜想的获得应用了“从特殊到一般”的思想方法。情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。教学难点相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。课时3课时一基础知识回顾1、如图15-44，点P为弦AB上一点，连结OP，过点P作PCOP，PC交O于C，若AP = 4，PB = 2，则PC的长是（ ）A B2 C2 D3答案:C.2、如图15-45，AB是O的直径，P是AB延
2、长线上一点，PC切O于点C，PC=3，PB=1，则O的半径为（ ）ABPC图15-45OOPCBA图15-44BCAP图15-46A B3 C4 DB图15-47PA答案:C.3、如图15-46，PA与圆切于点A，割线PBC交圆于点B、C，若PA=6，PB=4，AB的度数为60，则BC= ，PCA= ，PAB= 答案:5,30,30.4、如图15-47，两个同心圆间的圆环的面积为16，过小圆上任一点P作大圆的弦AB，则PAPB= 答案:16.二典型例题讲解例1如图15-48，已知O的半径为9cm，OP=7cm，弦AB过P点，且PA=2PB，求ABPBAOCD图15-48分析：这个图形比较容易联
3、想到相交弦定理的基本图形，因此可以将线段OP向两边延长解：作过P点的直径CD，则PC=97=2cm，PD=97=16cm 根据相交弦定理得：PAPB=PCPD PA=2PB， 2PB2=216 解得：PB= 4cm AB=PAPB=84=12cm评析：若设本题中O的半径为R，则PC=ROP，PD=ROP， 那么PAPB=PCPD=（ROP）（ROP），即PAPB=R2OP2. 事实上，若O的半径为R，如图所示，定点P到圆心的距离为d，过点P的直线与相交于A、B两点，则PAPB是一个定值，这个定值为R2-d2.OPBABAPOPEODCBAF图15-49例2如图所示，已知PA与O相切，A为切点，
4、PBC为割线，弦CDAP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EFEC.（1） 求证：P=EDF；（2） 求证：CEEB=EFEP；（3） 若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA的长.分析：由CDAP得C= P，因此要证明P=EDF，只要证明EDF=C，问题进一步可以转化为证明DEFCED 证明：（1）DE2=EFEC， DE : CE=EF: ED DEF是公共角， DEFCED EDF=C CDAP， C= P P=EDF（2）P=EDF， DEF=PEA， DEFPEA DE : PE=EF : EA 即EFEP=DEEA 弦AD、BC相交于点E，DEEA
5、=CEEB CEEB=EFEP（3）解：DE2=EFEC，DE=6，EF= 4， EC=9 CE : BE=3 : 2， BE=6 CEEB=EFEP，96=4EP解得：EP= PB=PEBE=， PC=PEEC= 由切割线定理得：PA2=PBPC， PA2= PA=评析：本题中DE2=EFEC这一条件是解决问题的突破口.当要证明成比例的线段在同一直线上时，往往寻找过渡乘积式来解决问题.应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的解决方法较多，常见的有：（1）找过渡乘积式证明等积式成立；（2）为三角形相似提供对应边成比例的条件；（3）利用等积式来证明有关线段相等.例3已知：O1与O2相交于点A、
6、B，AC切O2于点A，交O1于点C.直线EF过点B，交O1于点E，交O2于点F（1）设直线EF交线段AC于点D（如图15-50（1）若ED=12，BD=25，BF=11，求DA和DC的长； 求证：ADDE=CDDF（2）当直线EF绕点B旋转交线段AC的延长线于点D时（如图15-50（2），试问ADDE=CDDF是否仍然成立？证明你的结论分析：根据条件DA与O2相切，因此可以先通过切割线定理求出线段DA的长，再根据相交弦定理求出线段DC的长O2ABFDECO1图15-50（2）DO2O1FECBA图15-50（1）解：（1）在O2中，DA切O2于A，DBF交O2于B、F DA2=DBDF=25（
7、2511）， AD=30 在O1中，弦AC、BD交于D ， DEDB=ADCD 1225=30CD 解得CD=10（2）证明：方法一：连结AB、AF、EC DA和O2切于点A， DAB=F E=DAB， E=F ECAF DEDF=DCDA ADDE=DFDC 方法二：根据圆的切割线定理和相交弦定理得：AD2=DBDF，ADDC=DBDE ADDB=DFAD，ADDB=DEDC DFAD=DEDC ADDE=DFDC（2）仍然成立.证明：方法一：连结AB、AF、EC ACEB是O1的内接四边形， DEC=CAB DA是O2的切线， CAB=F CEAF， DCDA=DEDF 即： ADDE=D
8、FDC方法二：根据圆的切割线定理及其推论得：DA2=DBDF，DCDA=DEDB， ADDB=DFAD，ADDB=DEDC DFAD=DEDCADDE=DFDC评析：这是一道关于相交两圆的问题，既可以通过连结两圆的公共弦，得到角的等量关系， 利用平行线的性质解题，也可以将圆的相交弦定理和切割线定理有机的结合在一起，通过等比代换证明.第（2）题的图形位置虽然发生了变化，但是使原结论成立的条件没有变化，因此结论仍然成立三精选试题演练1、O中，弦AB平分弦CD于点E，若CD=16，AEBE=31，则AB= 答案: ；.2、AB是O的直径，OA=2.5，C是圆上一点，CDAB，垂足为D，且CD=2，O
9、ABP图15-53CO图15-52DATBEC则AC= ABPO图15-51答案: 或2. 3、如图15-51，PAB是O的割线，AB=4，AP=5，O的半径为6，则PO= 答案: 9. 4、如图15-52，AEB、ADC是O的割线，AT切OY于T，若AD=4，DE=2，AE=3，AT=6，则DC= ，BC= 答案: 5，6.5、半径为5的O内有一点A，OA=2，过点A的弦CD被A分成两部分，则ACCD= MOABP图15-54答案: 21.6、如图15-53，PC切O于C，割线PAB过圆心O，ACP=30，O的半径为4，则P= ，PC= 答案: 30，4.7、如图15-54，过O的直径BA延
10、长线上一点P作PM切O于M，PM=OM，则PAPB= 答案:（）（）.8、如图15-55，O的弦CD与直径AB垂直，垂足为P，过B点的直线交O于M，交CD的延长线于F，AM交PD于E，且PC=6，PE=4，求EFOABP图15-55CFEDM提示：证EFMEAP，可得EFEP=EMEA，利用EMEA=ECED得EF=5；OABP图15-56CMD9、如图15-56，已知PC切O于C，M为PC中点，割线PAB交O于A、B两点，连结BM交O于D，求证：MPD=PBM提示：证MPDMBP； 图15-57ABPCEDF10、如图15-57，PC是ABC外接圆的切线，C是切点，PBD是割线，PEAB，与
11、AC、BC分别交于E、F，求证：PEPF=PBPD提示：证PCFPEC；11、如图15-58，已知PA是O的切线，A为切点，PBC是过O的割线，PA=10，PB=5，BAC的平分线BC和O分别交于点D、E，求（1）O的半径；（2）sinBAP的值；（3）ADAE的值答案:（1）7.5；（2）；（3）连结CE，证ADBACE，ADAE=90；A图15-58BPCEDOEO2O1TCABFD图15-5912、已知，如图15-59，O1和O2内切于点T，O2的弦CD切O1于点E，连结TC、TD分别交O1于点A、B，TE的延长线交O2与F，连结AB、FD求证：（1）ABCD； （2）CTF=DTF；
12、（3）DF2EF2 = CEDE提示：（1）过T作两圆的公切线MN.MN是两圆的公切线，MTC=ABT，MTC=CDTABT=CDT，ABCD（2）连结BECD切O1于E， DEB=DTEABCD， DEB=ABEABE=ATE， ATE=DTE 即：CTF=DTF（3）TF、CD是O2的两条相交弦， CEDE=EFTE=EF（TFEF）=EFTFEF2 FDE=CTF=DTF，F是公共角， FDEFTD EFDF=DFTF DF2=EFTF CEDE=DF2EF2 即DF2EF2= CEDE13、已知：如图15-60，O1与O2相交于A、B两点，O1在O2上，O2的弦BC切O1于B，延长BO
13、1、CA交于点P，PB与O1交于点D（1）求证：AC是O1的切线；O2O1图15-60APDBC（2）连结AD、O1C.求证：ADO1C；（3）如果PD=1，O1的半径为2，求BC的长提示：（1）连结O1A，证O1AC=90；（2）连结AB，利用弦切角证明PDA=ABD=ACO1；（3）利用切割线定理和切线长定理及AD与O1C的平行关系可求得BC=2四教学反思PABDCOPOCABD1、和圆有关的比例线段指的是相交弦定理及推论、切割线定理及推论.它们的基本图形、条件及结论如下：条件：弦AB和CD交于O内一点P 条件：CD是弦，AB是直径，CDAB于P结论：PAPB = PCPD 结论：PC2
14、= PAPBPBAODCTBAOP条件：PT切O于T，PA是割线， 条件：PA、PC是O的两条割线，分别交交O于A、B O于B、D结论：PT2 = PAPB 结论：PAPB = PCPD2、相交弦定理、切割线定理及它们的推论和前面的切线长定理一样，揭示了和圆有关的一些线段间的数量关系，这些定理的证明及应用又常常和相似三角形联系在一起，因此在解题中要善于观察图形，对复杂的图形进行分解，找出基本图形和结论，从而准确地解决问题.另外在和圆有关的比例线段的计算问题中，要注意方程的思想的运用.3、若O的半径为R，如图所示，定点P到圆心的距离为d，过点P的直线与相交于A、B两点，则PAPB是一个定值，这个定值为R2-d2.OPBABAPO4、在与圆和圆的位置关系相关的一些问题中，常常需要探求线段相等或倍分或成比例、角相等或倍分，其实质与探求一个圆中的对应问题基本类似，只不过在两个圆中，需要仔细观察图形，注意某些线段或角是两个圆的公共元素，解决问题时又常常通过这些公共元素将其他元素联系在一起.另外要注意分类讨论这一思想方法的应用.