1、专题三 压轴解答题第三关 以解析几何中与抛物线相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，其次便是抛物线，如在14年中的14年江西卷理20题，文20题是中档题偏上，考查与直线的交汇、14年福建卷文21题，考查与抛物线有关的轨迹问题，14年浙江卷21题(14分)压轴题，难度中档偏上，考查与抛物线有关的最值问题的综合、14年全国大纲卷22题压轴题(14分)难度偏大，考查直线与抛物线、圆与抛物线有关的综合问题等等.预计在16年高考中解答题仍会重点考查直线与抛物线的位置关系，同时可能与平面向量、导数相
2、交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.且同学需对抛物线的两个基本问题弄扎实，1.抛物线的基本概念、标准方程、几何性质；2.直线与抛物线的位置关系所引申出来的定点、定值、最值、取值范围等问题.3.抛物
3、线与圆锥曲线的交汇问题类型一 中点问题典例1已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x0=，所以，由题设得，解得p=2（舍去）或p=2.所以C的方程为.【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉
4、及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求【举一反三】已知抛物线，过焦点且垂直轴的弦长为6，抛物线上的两个动点和，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点（1）求抛物线方程；（2）试证线段的垂直平分线经过定点，并求此定点；（3）求面积的最大值【答案】（1）；（2）详见解析；（3）【解析】（1）抛物线通经长为，抛物线方程为 ；（2）设线段的中点为，则 ，线段的垂直平分线的方程是，易知，是的一个解，定点为交点，且点坐标为；（3）由（1）知直线的方程为，即 ，将代入得，即，依题意，是方程的两个实根，且，定点到线段的距离， ，当且仅当，即，或，时等号成立，面积的最大值为类型二 垂直问题典例2 已知抛
5、物线C:的焦点为F，直线 交抛物线C于A、B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点（1）若直线AB过焦点F，求的值；（2）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）【解析】【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理【举一反三】如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线 连接而成，的公共点为，其中的离心率为.（）求的值；（）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.【答案】(); () .【解析】 ()
6、因为，若过点的直线斜率不存在时，不满足题意，所以直线斜率存在， 设直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立 ，所以，所以 联立 所以，所以 由 化简得，所以，所以直线的方程为即类型三 面积问题典例3 抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（1）若，求直线AB的斜率；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值【答案】（1）；（2）面积最小值是4【解析】【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键【举一反三】如图，已知抛物线的焦点为，椭圆
7、的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值【答案】（1）椭圆的标准方程为； （2）面积的最大值为【解析】（2）设点，则两式相减，得，即因为为线段的中点，则所以直线的斜率从而直线的方程为，即联立，得，则所以设点到直线的距离为，则所以由，得令，则设，则由，得从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为类型四 范围与定值问题典例4已知点为抛物线C:的焦点，过点的动直线与抛物线C交于,两点，如图当直线与轴垂直时，（1）求抛物线C的方程；（2）已知点,设直线PM的斜率为，直线PN
8、的斜率为请判断是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由【答案】（1）根据抛物线的性质可将的坐标用含的代数式表示出来，从而即可建立关于的方程；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理说明的值是常量即可【解析】当直线斜率不存在时，知直线与关于轴对称， 当直线斜率存在时，直线的方程设为，联立，得， 又，且， ，综上所述【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解【举一反三】抛物线的准线过双曲线的一个焦点（1）求抛物线的方程；（2）设为抛物线上任意一点设，
9、求到与距离之和的最小值；以为切点的抛物线的切线与交于点，试问轴上是否存在定点，使在以为直径的圆上若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在定点，其坐标为【解析】：，显然，则过的切线的方程：，令，即，设以为直径的圆与轴的交点为，存在定点，其坐标为【精选名校模拟】1. 已知抛物线与圆的两个交点之间的距离为4（1）求的值；（2）设过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，当时，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】 圆心到直线的距离为又，所以的取值范围为2已知抛物线，过点的直线交C于A，B两点，抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P（1）若直线的斜
10、率为1，求；（2）求面积的最小值【答案】（1）；（2）面积的最小值为2【解析】 消去y，整理得：，又，所以抛物线在点A，B处的切线方程分别为，得两切线的交点，所以点P到直线的距离又设的面积为S，所以（当时取得等号）所以面积的最小值为23 已知为抛物线的焦点，点为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且（1）求抛物线方程和N点坐标；（2）判断直线中，是否存在使得面积最小的直线，若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，说明理由。【答案】，【解析】4. 已知抛物线： ，过焦点F的直线与抛物线交于两点（在第一象限）XYOABF（1）当时，求直线的方程； （2
11、）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】 5. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】由题意得，（1）直线的方程是，与联立，从而有所以由抛物线定义得从而抛物线方程为 6.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为（）求抛物线的方程；（）若点为抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点分别为，求证：直线恒过某一定点；（）分析（）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（）进行变式和推广请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本
12、小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）【答案】（）; （）直线恒过定点; （）详见解析.【解析】试题分析：（）依题意可设抛物线的方程为：（）由焦点为可知，所以即可求出抛物线的方程.（）方法一：设切点、坐标分别为，由（）知，则切线的斜率分别为，故切线的方程分别为， 联立以上两个方程，得的坐标为， 因为点在抛物线的准线上，所以，即设直线的方程为，代入抛物线方程，可得直线恒过定点 方法二：设切点、坐标分别为，设，易知直线斜率必存在，可设过点的切线方程为由，消去并整理得 因为切线与抛物线有且只有一个交点，所以， 可得， 假设存在一定点，使得直线恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在轴上，
13、设该定点为， 则又，可得，所以直线过定点 （）根据直线与抛物线的位置关系的性质即可得到结论.试题解析：解：（）依题意可设抛物线的方程为：（） 1分由焦点为可知，所以 2分所以所求的抛物线方程为 3分方法二：设切点、坐标分别为，设，易知直线斜率必存在，可设过点的切线方程为由，消去并整理得 因为切线与抛物线有且只有一个交点，所以，整理得， 所以直线斜率为方程的两个根，故， 4分另一方面，由可得方程的解为，所以 5分假设存在一定点，使得直线恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在轴上，设该定点为， 6分则所以，所以，整理得所以，所以 7分所以直线过定点 8分 7.经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹
14、为点、在轨迹上，且关于轴对称，过线段（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹在点处的切线平行，设直线与轨迹交于点，ABCDOxylE（）求轨迹的方程；（）证明：；（）若点到直线的距离等于，且的面积为20，求直线的方程【答案】（）；（）详见解析；（）直线的方程为【解析】（）由点到的距离等于，可知 7分不妨设点在上方（如图），即，直线的方程为： ABCDOxylE 8.已知抛物线，圆，过点作直线，自上而下依次与上述两曲线交于点（如图所示），（）求；（）作关于轴的对称点，求证： 三点共线；（）作关于轴的对称点，求到直线的距离的最大值【答案】（）；（）详见解析；（）到直线的距离的最大值为【解析】
15、（）由题意，由（1）， ，三点共线；（）将直线，代入圆方程，得.，点到直线的距离 .9.在平面直角坐标系中，已知抛物线：，在此抛物线上一点N到焦点的距离是3.（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与抛物线交于、两点是否存在这样的，使得抛物线上总存在点满足，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）;（2）.【解析】 11. 已知抛物线：与椭圆： 的一个交点为，点F是抛物线的焦点，且（1）求p，t，m的值；（2）设O为坐标原点，椭圆C2上是否存在点A（不考虑点A为的顶点），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线交于点B，直线AB交y轴于点E,满足OAEEO
16、B?若存在，求点A的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）点，【解析】（）当点A在第一象限时，如图7所示，此时点，且，设直线AB与x轴交于点D，即点D是线段AB的中点，即， 12.已知点是抛物线的焦点（1）求抛物线方程；（2）若点为圆上一动点，直线是圆在点处的切线，直线与抛物线相交于两点（在轴的两侧），求平面图形面积的最小值【答案】（1）；（2）【解析】 试题解析：（1）是抛物线的焦点，即抛物线方程为 2分；（2）由题意，可知直线的方程为，即，联立直线l与抛物线方程，可得，设，由题意可得且，故， 8分而，且， 10分， 12分， 14分当且仅当时等号成立， ， 15分即平面图形面积的最
17、小值为.13. 如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：相切于点QxyOFPQ（）当直线PQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（）当正数变化时，记S1 ，S2分别为FPQ，FOQ的面积，求的最小值【答案】（）；（）【解析】（）因为点P处的切线方程为：，即，根据切线又与圆相切，得，即，化简得， 14己知曲线与x袖交于A，B两点，点P为x轴上方的一个动点，点P与A,B连线的斜率之积为-4（1）求动点P的轨迹的方程；（2）过点B的直线与，分别交于点M ,Q（均异于点A，B），若以MQ为直径的圆经过点A，求AMQ的面积【答案】（1） ；（2）【解析】试题分析：（
18、1）由题意得，设动点，由已知条件列方程得，且点P为x轴上方的一个动点，故，从而轨迹的方程为；(Il)直线和圆锥曲线的综合问题要注意挖掘已知条件，善于利用韦达定理确定参数的值，本题可设直线的方程为，分别于的方程联立，且必然是方程的一个根，利用韦达定理可表示得点M ,Q的坐标，利用AMAQ列方程求参数的值，从而求得M ,Q的坐标，进而求AMQ的面积QxMABOy 15.已知抛物线的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P,Q且.（I）求点T的横坐标；（II）若以F1,F2为焦点的椭圆C过点.求椭圆C的标准方程；过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点，设，若的取值范围.【答案】（I）；（II）， 【解析】试题分析：（）由题意得，设，由已知得到关于的一个方程；又点在抛物线上得方程，联立方程解得；（II）由已知得椭圆的半焦距，设椭圆的标准方程为，由椭圆过点可得，又即，从而解得，；容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程得，设，利用根与系数的关系得，因为，所以，且将和平方除以积化简得，将所求的模平方通过坐标运算转化为关于k 的函数，解得。因为，所以，且.方法二：1）当直线的斜率不存在时，即时，又，所以又，故