1、吉林省东北师范大学附属中学2016届高三第六次模拟考试数学一、选择题：共12题 1已知集合,则A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算,对数函数.,所以.选B.【备注】集合的基本运算为高考常考题型,要求熟练掌握.2已知复数为纯虚数,那么实数A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查复数的概念与运算.由题意知,因为复数为纯虚数,所以且,所以.选C. 3已知命题:“”,命题:“直线与直线互相垂直”,则命题是命题的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分不必要条件,两直线的位置关系.当时,直线与直线互相垂直;当
2、直线与直线互相垂直时,或.所以命题是命题的充分不必要条件.选A. 4我国古代数学名著数书九章中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送来米1536石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得224粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约A.134石B.169石C.192石D.338石【答案】C【解析】本题主要考查简单随机抽样.设这批米内夹谷约石,由题意得:,解得,.选C. 5执行如图所示的程序框图,若输出,则输入的值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】本题主要考查流程图.第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:,输出.因为,所以.选B. 6若展开式中含有常数项,则的最小值是A.3B.5C.8D.10【
3、答案】B【解析】本题主要考查二项式定理.由题意得=,而成立,所以,所以的最小值是5.选B.【备注】二项展开式的通项公式:.7一个多面体的三视图如图所示,正视图为等腰直角三角形,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该多面体的表面积为A.2B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查三视图,空间几何体的表面积.该多面体为横放的三棱柱(如图所示);所以其表面积.选D. 8已知是与的等比中项,若则有A.最小值10B.最小值C.最大值10D.最大值【答案】B【解析】本题主要考查等比中项和对数的运算,基本不等式.因为是与的等比中项,所以;而,所以,所以,即,所以(当且仅当时等号成立);所以有最小值.选B.【备注】
4、用均值不等式时,注意等号成立的条件.9在中, 为线段的三等分点,则A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查平面向量的数量积.因为,所以;因为为线段的三等分点,所以,所以()=.选C. 10已知点是双曲线的一个焦点,过点且斜率为的直线与圆相切,则双曲线的离心率为A.B.C.2D.3【答案】C【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,双曲线的几何性质.令,则直线,即;而直线与圆相切,所以,可得双曲线的离心率.选C.【备注】双曲线,离心率.11如图,棱长为1的正方体中,为线段上的动点,则下列结论正确的有三棱锥的体积为定值的最大值为90的最小值为2A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查空间
5、几何体的体积,线面平行与垂直,余弦定理.因为平面,所以三棱锥底面上的高为定值1,所以三棱锥的体积为定值,正确;因为,所以平面;而在平面内,所以,正确;当时,为钝角,错误;将面与面展开(如图所示),此时为的最小值,在三角形中,由余弦定理得,即的最小值为.即错误;所以结论正确的有.选A.【备注】体会数形结合思想.12已知曲线上一点,曲线上一点,当时,对于任意,都有恒成立,则的最小值为A.1B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.由题意得,而,由图可得;所以;所以恒成立;构造函数),而,可得;当单减,当单增;所以;所以,即,即的最小值为.【备注】体会数形结合思想,化归与转化
6、思想.二、填空题：共4题 13已知实数满足约束条件,则的最大值为 .【答案】6【解析】本题主要考查线性规划问题.画出可行域(如图所示),;当过点时,取得最大值. 14已知抛物线,过焦点,且倾斜角为60的直线与抛物线在第一象限交于点, 若,则抛物线方程为 .【答案】【解析】本题主要考查抛物线的标准方程.如图(画出图形),抛物线的焦点,准线;由题意得,即,即;而的倾斜角为60,所以;将点代入可得或4;所以,即抛物线方程为.【备注】体会数形结合思想、化归与转化思想.15将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则由函数与的图象所围成的封闭图形的面积为 .【答案】2【解析】本题主要考查三角函数的图象
7、,定积分.将的图象向右平移个单位后得到=;令,在上解得或;所以所围成的封闭图形的面积=2. 16已知各项均为正数的数列满足,若,则 .【答案】【解析】本题主要考查数列.因为,所以;由题意得,而,所以,解得(舍去负值);所以.三、解答题：共8题 17已知的内角的对边分别为,且满足.()求的值;()若的面积为,且求的值.【答案】(),;由正弦定理得,.(),所以,当时,.当时,.故或.【解析】本题主要考查和角公式,正余弦定理,三角形的面积公式.(),整理得,由正弦定理得,.()由三角形的面积公式可得,分类讨论可得或.【备注】正弦定理:;余弦定理:;三角形的面积公式:.182016年1月1日起全国统
8、一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取70后和80后作为调查对象,随机调查了100位,得到数据如下表:()以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且视频率为概率,若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为,求随机变量的分布列和数学期望;()根据调查数据,是否有90%的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由.参考公式:,其中.参考数据:【答案】()由已知得70后“生二胎”的概率为,并且,所以,其分布列如下:所以,.()=,所以有90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关” .【解析】本题主要考查二项分布,随机变量的分布列与数学期望,独立性检验.(),
9、求得分布列与.(),所以有90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关” . 19如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD底面ABCD,其中底面ABCD为等腰梯形,ADBC,PAABBCCD2,PD2,PAPD,Q为PD的中点.()证明:CQ平面PAB;()求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.【答案】()证明:如图所示,取PA的中点N,连接QN,BN.在PAD中,PNNA,PQQD,所以QNAD,且QNAD.在APD中,PA2,PD2,PAPD,所以AD,而BC2,所以BCAD.又BCAD,所以QNBC,且QNBC,故四边形BCQN为平行四边形,所以BNCQ.又BN平面PAB,且CQ平面PAB,所
10、以CQ平面PAB.()如图,取AD的中点M,连接BM;取BM的中点O,连接BO,PO.由(1)知PAAMPM2,所以APM为等边三角形,所以POAM.同理BOAM.因为平面PAD平面ABCD,所以POBO.以O为坐标原点,分别以OB,OD,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),D(0,3,0),A(0,-1,0),B(,0,0),P(0,0,),C(,2,0),则(,3,0).因为Q为DP的中点,故Q,所以.设平面AQC的法向量为m(x,y,z),则可得令y-,则x3,z5. 故平面AQC的一个法向量为m(3,-,5).设直线PD与平面AQC所成角为.则sin
11、= |cos,m|.从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.【解析】本题主要考查线面平行,空间角,空间向量的应用.()求得QNAD,BCAD,QNBC,且QNBC,故四边形BCQN为平行四边形,所以BNCQ.所以CQ平面PAB.()建立恰当的空间直角坐标系,求得平面AQC的法向量m(3,-,5).则sin = |cos,m|.所以直线PD与平面AQC所成角正弦值为. 20已知椭圆的离心率为为椭圆的一个顶点,直线交椭圆于(异于点)两点,.()求椭圆方程;()求面积的最大值.【答案】()依题意,解得,所以椭圆方程为.()方法1设代入得,由,得,整理得或(舍).直线过定点,=,此时.面积的最大值
12、为.解法2:设代入得,由,得,整理得或(舍).点到直线的距离为,设,则,当,即时,面积的最大值为.解法3:设直线方程为与联立,得, 同理,=,当,即时,面积的最大值为.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.()依题意得,所以椭圆方程为.()联立方程套用根与系数的关系得由,整理得.直线过定点=,即面积的最大值为. 21已知函数,其中为非零实数.()讨论的单调性;()若有两个极值点,且,求证:.(参考数据:)【答案】().当时,即时,在上单调递增;当时,由得,故在上单增,在上单减,在上单增;当时,由得,在上单调递减,在上单调递增.()解法1:由(1)知,且,所以.由得,.构
13、造函数,在上单调递增,又,所以在时恒成立,命题得证.解法2:由(1)知,且,所以.由得,.构造函数.,设,则,因为,所以,故在上单调递增,所以,即,所以在上单调递增,所以,故.【解析】本题主要考查导数在研究函数、不等式中的应用. ()求导分类讨论可得的单调性;()不等式转化为,构造函数,求导可得. 22如图,自圆外一点引圆的切线,切点为为的中点,过点引圆的割线交圆于两点,且.()求的大小;()记和的面积分别为和,求.【答案】()是圆的切线,是圆的割线,又为的中点,;, ,又,且,.()是圆的切线,在中, ,由正弦定理得:;,;.【解析】本题主要考查正弦定理,切割线定理,三角形相似.()由切割线
14、定理得,求得; ()证得,. 23在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),曲线.()在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求的极坐标方程;()射线与的异于极点的交点为,与的交点为,求.【答案】()曲线为参数)可化为普通方程:,由可得曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.()射线与曲线的交点的极径为,射线与曲线的交点的极径满足,解得;所以.【解析】本题主要考查极坐标与参数方程. ()将参数方程化为直角坐标方程,再化为极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.(),所以. 24已知函数.()若不等式的解集为,求实数的值;()在()的条件下,若,使得,求实数的取值范围.【答案】(),的解集为, ,.(),使得,即成立,即,解得或,实数的取值范围是.【解析】本题主要考查绝对值不等式,不等式恒成立问题.(),而的解集为,.()不等式转化为,解得或.