1、小题狂练（37）一单项选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】集合是的取值范围，是函数的值域，分别求出再求交集.【详解】解：，故选：A【点睛】考查求等式中变量的范围以及集合的交集运算；基础题.2.已知复数在复平面内对应的点在直线上，则实数（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】化简复数，求出对应点，代入直线方程求解即可.【详解】因为，所以对应的点为，代入直线可得，解得，故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.若（且），则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案
2、】B【解析】【分析】先由得，又由，可得，而，可得【详解】解：因为，所以，因为，所以，因为，所以，故选：B【点睛】此题考查的是指数不等式和对数不等式，属于基础题4.我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B. 春分和秋分两个节气的晷长相同C. 立冬的晷长为一丈五寸D. 立春的晷长比立
3、秋的晷长短【答案】D【解析】【分析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，可求出，利用等差数列知识即可判断各选项.【详解】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列,其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列,首项，末项，公差（单位都为寸）.故选项A正确；春分的晷长为，秋分的晷长为，所以B正确；立冬的晷长为，即立冬的晷长为一丈五寸，C正确；立春的晷长，立秋的晷长分别为，故D错误.故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列在实际问题中的应用，数学文化，属于中档题.5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包
4、装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（ ）A. 从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B. 从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C. 从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D. 从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签【答案】C【解析】【分析】若从贴有“柑子”或“苹果”标签的筐内拿出一个水果，无法判定剩余水果是一种还是两种，不能纠正所有标签，若从“混装”标签中取出一个，就能判断其余两个筐内水果.【详解】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法判断这筐装的
5、全是柑子，还是有苹果和柑子;同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.分两种情况:(1)如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就是苹果和柑子.(2)如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑子.故选：C【点睛】解决本题的关键在于，其中贴有混装的这筐肯定不是苹果和柑子混在一起，所以能判断不是苹果就是柑子，考查了逻辑推理能力，属于容易题.6.已知向量，将绕原点逆时针旋转到的位置，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设向量与轴的夹角为，结合三角函数的定义
6、和两角和与差的正弦、余弦函数公式，求得，得到点的坐标，进而求得.【详解】由题意，向量，则，设向量与轴的夹角为，则，所以，可得，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及三角函数的定义的应用和两角和与差的正弦、余弦函数的综合应用，着重考查推理与运算能力.7.已知函数对任意，都有，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用赋值法再结合条件，即可得答案；【详解】由所求式子可得，令可得：，令可得：，令可得：，令可得：，故选：B.【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求函数的解析式，等比数列求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解
7、时注意将抽象函数具体化.8.已知正四棱柱，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别在正四棱柱中找到和，将和放在同一个平面图形中找关系即可.【详解】作正四棱柱如下图：在正四棱柱中，平面， 底面是正方形又平面是直线与平面所成的角，即是直线与直线所成的角，即，平面故选：D【点睛】本题主要考查直线与平面和异面直线的夹角，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9. 下列说法正确的是（ ）A. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个
8、容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从一年级中抽取90名学生B. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为C. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得=3，=35，则由该观测数据算得线性回归方程可能是=0.4x+2.3D. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件【答案】ABC【解析】【分析】根据分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的概念分别进行判断【详解】A由分层抽样，应制取人数为，A正确；B恰好取到1件次品的概率为，B正确；C，直
9、线=0.4x+2.3过中心点，可能是回归直线方程，C正确；D一红球一黑球这个事件即是至少有一个红球，也是至少有一个黑球，因此它们不互斥，D错误故选：ABC【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需掌握分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的概念等知识，要求较高，属于中档题10. 已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】构造函数，然后利用导数和已知条件求出在()上单调递减，从而有，据此转化化简后即可得出结论.【详解】设，则，因为()时，所以()时，因此在()上单调递减，所以，即，.故选：CD.【点睛】本题考查利用导数
10、研究函数的单调性，考查构造函数比较大小，有一定难度.解题关键是构造合适的函数，一般从两方面着手：根据导函数的“形状”变换进行构造；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.11. 设函数g(x)=sinx(0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在0，2上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A. f(x)的图象关于直线对称B. f(x)在(0，2)上有且只有3个极大值点，f(x)在(0，2)上有且只有2个极小值点C. f(x)在上单调递增D. 的取值范围是)【答案】CD【解析】【分析】利用正弦函数的对称轴可知，不正确；由图可知在上还可能有3个极小值点，不正确；由解得的结
11、果可知，正确；根据在上递增，且，可知正确.【详解】依题意得， ，如图：对于，令，得，所以的图象关于直线对称，故不正确；对于，根据图象可知，在有3个极大值点，在有2个或3个极小值点，故不正确，对于，因为，所以，解得，所以正确；对于，因为，由图可知在上递增，因为，所以，所以在上单调递增，故正确；故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.12. 如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将AMB沿直线AM翻折成AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（
12、）A. 存在某个位置，使得CNAB1B. CN的长是定值C. 若AB=BM，则AMB1DD. 若AB=BM=1，当三棱锥B1AMD的体积最大时，三棱锥B1AMD的外接球的表面积是4【答案】BD【解析】【分析】中，取中点，连接交与，由题意判断三线，共面共点，得出不成立；中，利用余弦定理可得是定值，判断正确；中，取中点，连接，由题意判断不成立；中，当三棱锥的体积最大时，求出该三棱锥外接球的表面积即可【详解】解：对于：如图1，取中点，连接交与，则，如果，可得到，又，且三线，共面共点，不可能，则错误对于：如图1，可得由（定值），（定值），（定值），由余弦定理可得，所以是定值，则正确对于：如图2，取中点
13、，连接，由题意得面，即可得，从而，由题意不成立，可得错误对于：当平面平面时，三棱锥的体积最大，由题意得中点就是三棱锥的外接球的球心，球半径为1，表面积是，则正确故选：BD【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解题关键是正确理解线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，属于中档题三、填空题：本题共4小题13. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为
14、 _【答案】【解析】【分析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则所以第3小组的人数为人.故答案为18【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.14. 的展开式中x3的系数为_【答案】5【解析】【分析】利用二项式定理求解即可.【详解】的通项为令，此时的系数为令，此时的系数为则的系数为故答案为：【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于中档题.15. 已
15、知函数，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数解析式可得，进而计算得到答案.【详解】根据题意，当时，所以，当时，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题.16. 已知直线：，圆：，则圆的半径_；若在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】把圆方程配方后可得圆心坐标和半径，由作圆的两条切线，这两条切线的夹角不小于90，由此可得的取值范围【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，过作圆的两条切线（为切点），则，而当时，最大，只要此最大角即可，此时，圆心到直线的距离为所以，解得故答案为：；【点睛】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，解题关键是问题的转化，本题考查了等价转化思想，运算求解能力属于中档题