1、小题狂练（33）一、单项选择题1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再利用集合的交集运算即可得到结论【详解】，故选：【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础2. 已知复数满足，为虚数单位，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接根据复数代数形式的除法法则计算可得；【详解】解：因为，所以故选：A【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3. 若向量，满足：，则（ ）A. 2B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直数量积等于零即可求解.【详解】由，则，解得，
2、所以.故选：B【点睛】本题考查了向量垂直数量积的表示，求向量的模，属于基础题.4. 已知抛物线E：y2=2px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p=（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得，即可求出的值【详解】解：由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得，故选：B 【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生的计算能力，属于基础题5. 已知Sn是等差数列an的前n项和，则“Snnan对n2恒成立”是“a3a4”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
3、C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和前项和公式将等价转化为，将等价转化为，由此可得答案.【详解】设等差数列的公差为，当时，因为等价于等价于等价于等价于，等价于等价于，所以等价于，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了充分必要条件的概念，属于基础题.6. 函数（且）的图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，若实
4、数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合函数的解析式可得在区间，上为增函数，进而可得在上为增函数，且；据此可得，解可得的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，当，时，则在区间，上为增函数，且，又由为奇函数，则在区间，上为增函数，且；故在上为增函数，解可得：，即的取值范围为；故选：【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题8. 如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
5、解析】【分析】连接，取的中点，连接，根据异面直线所成角的定义，结合等腰三角形的性质、勾股定理、余弦定理进行求解即可.【详解】如图，连接，取的中点，连接，因为是中点，则，所以（或其补角）就是异面直线所成的角，因为AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，所以,因此有，同理，.故选：C【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，关键是根据定义作出异面直线所成的角，即平移其中一条直线与另一条相交，通过解三角形求出相交直线的夹角，可得异面直线所成角，要注意异面直线所成角的范围是二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全
6、部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则下列说法正确的是（ ）A. 此数列的第20项是200B. 此数列的第19项是182C. 此数列偶数项的通项公式为D. 此数列的前项和为【答案】AC【解析】分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可【详解】观察此数列，偶数项通项公式为，奇数项是后
7、一项减去后一项的项数，由此可得，A正确；，B错误；C正确；是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，不可能有，D错故选：AC【点睛】本题考查数列的通项公式，要求从数列的前几项归纳出数列的通项公式这里我们只能从常见的数列出发，寻找各项与项数之间的关系，归纳结论有时需要分奇数项与偶数项分别讨论归纳出结论，或者寻找两者的关系，从而得出结论10. 已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的是（ ）A. 双曲线的渐近线方程为B. 以为直径的圆的方程为C. 点的横坐标为D. 的面积为【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的标准方程求出渐
8、近线方程，以为直径的圆的方程，点坐标，的面积然后判断各选项【详解】由双曲线方程知，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；，以为直径的圆的方程是，B错；由得或，由对称性知点横坐标是，C正确；，D正确故选：ACD【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题时可根据双曲线方程确定，同时注意焦点据的轴，然后根据求解其他量11. 已知定义在上的函数满足，且对，当时，都有，则以下判断正确的是（ ）A. 函数是偶函数B. 函数在单调递增C. 是函数的对称轴D. 函数的最小正周期是12【答案】BCD【解析】【分析】由得函数为奇函数，判断选项；通过得函数的最小正周期，判断选项；通过题意得，进而得函数的对称轴，判断选项；化简
9、为得到函数在上的单调性，结合奇偶性、对称轴、周期得上的单调性，判断选项即可.【详解】解：因为，即，所以函数为奇函数，故选项错误；因为，而，所以，所以函数的对称轴为，故选项正确；因为，所以，即，所以的最小正周期是12，故选项正确；因为，当时，都有，由化简得，所以时，为减函数.因为函数为奇函数，所以时，为减函数，又因为函数关于对称，所以时，为增函数.因为的最小正周期是12，所以的单调性与时的单调性相同.故，时，单调递增，故选项正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性，奇偶性，对称轴和周期，属于中档题.12. 如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，点是的中点，则下
10、列结论正确的是（ ）A. 平面B. 与平面所成角的余弦值为C. 三棱锥的体积为D. 四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】【分析】取的中点，的中点，连接，则由已知可得平面 ，而底面为矩形，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴 ，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.【详解】解：取的中点，的中点，连接，因为三角形为等边三角形，所以,因为平面平面，所以平面 ，因为，所以两两垂直，所以，如下图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴 ，轴，建立空间直角坐标系，则，因为点是的中点，所以，平面的一个法向量为，显然 与不共线，所以与平面不垂直，所以A不正确；，设平面的法向
11、量为，则，令，则，所以，设与平面所成角为，则，所以，所以B正确；三棱锥的体积为，所以C不正确；设四棱锥外接球的球心为，则，所以，解得，即为矩形对角线的交点，所以四棱锥外接球的半径为3，设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为，所以，得，所以正四面体的表面积为，所以D正确.故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成_个三位正整数.【答案】100【解析】【分析】用
12、分步乘法原理计数【详解】用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成三位数的个数为故答案为：100【点睛】本题考查分步乘法原理，解题关键是确定完成这件事的方法，是分步还是分类14. 函数在上的最小值是_.【答案】【解析】【分析】利用三角恒等变换思想化简得出，由计算得出的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小值.【详解】，当时，所以当时，函数取得最小值，即.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数在区间上最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.15. 已知一袋中装有红，蓝，黄，绿小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回.当四种颜色的小球全
13、部取出时即停止，则恰好取6次停止的概率为_.【答案】【解析】【分析】事件“恰好取6次停止”是第4种颜色第6次才取到，前5次只出现3种颜色，求出它的方法数，再求出取6次球的总方法数，由概率公式可计算出概率【详解】取球6次，总的方法为，记“恰好取6次停止”为事件，事件的发生，前5次取球只出现3种颜色，第6次取出的是第4种颜色，而前5次出现3种颜色又可从3种颜色出现的次数分成两类，1、1、3和1、2、2，因此事件的方法数为，所以故答案为：【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定事件发生的过程，即怎样完成事件“恰好取6次停止”是分类还是分步，根据不同的方法选择不同的计数方法16. 已知圆：，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程为_.点是圆心轨迹上的动点，点的坐标是，则使取最小值时的点的坐标为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据直线与圆位置关系以及圆与圆位置关系列式，再化简得结果；根据两点间距离公式化简，再根据基本不等式确定最小值取法，即得结果.【详解】因为圆与直线相切且与圆外切，所以设当时，当时，舍综上，圆心的轨迹方程为设当时，当时，当且仅当时取等号综上，使取最小值时的点的坐标为故答案为：，【点睛】本题考查求动点轨迹方程、利用基本不等式求函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.