1、小题狂练（26）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，然后再利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合，所以.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（ ）A. B. 3C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简复数的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，复数，因为复数为纯虚数，可得，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算
2、，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.3.己知，则下列各式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性和特殊值法，逐一对选项进行判断即可.【详解】解：对于选项：因为函数在上单调递增，所以时，故选项错误；对于选项：因为在单调递增函数，所以，故选项正确；对于选项：因为，可取，此时，所以，故选项错误；对于选项：因为，可取，此时，所以，故选项错误.故选：C.【点睛】本题主要考查利用对数函数与指数函数的单调性比较大小，属于基础题.4.易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，
3、被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，利用古典概型概率求法求解.【详解】阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有个，满足差的绝对值为5的有，共5个，则其差的绝对值为5的概率为.故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了分析求解问题
4、的能力，属于基础题.5.函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】，函数是奇函数，排除，时，时，排除，当时， 时，排除，符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.6.已知函数是定义在上的奇函数，当0时，则（ ）A. 3B. -3C. -2D. -1【答案】B【解析】【分析】由，可求，代入可求，然后结合奇函数的定义得，进而求得的值.【详解】是定义在上的奇函数，且时，则.故选：B.【点睛
5、】本题考查奇函数性质，即若函数为奇函数且在有定义，则，理解这一知识点是求解本题的关键7.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设双曲线的左、右焦点分别为，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得的坐标，设，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得，的方程，结合离心率公式可得所求值【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，与双曲线联立，可得，设，由三角形面积的等
6、积法可得，化简可得由双曲线的定义可得在三角形中，为直线的倾斜角），由，可得，可得，由化简可得，即为，可得，则故选：C.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题8.如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设大球半径为，小球半径为，根据题中条件，分别表示出，进而
7、可作差比较大小【详解】设大球半径为，小球半径为，根据题意，所以故选：D【点睛】本题主要考查球的体积的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期大致在8月C. 2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30
8、D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】ABD【解析】【分析】观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项.【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正确；在C中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C错误；在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查学生对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，属于基础题.1
9、0. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（ ）A. 线段上存在点E、F使得B. 平面ABCDC. 的面积与的面积相等D. 三棱锥A-BEF的体积为定值【答案】BD【解析】【分析】根据异面直线的定义可判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；根据三角形的面积公式可判断C；利用直线平行平面，直线上的点到面的距离相等以及椎体的体积公式可判断D.【详解】如图所示，AB与为异面直线，故AE与BF也为异面直线，A错误；，故平面ABCD，故B正确；由图可知，点A和点B到EF的距离是不相等的，C错误；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥A-BEF的高，三棱锥A-BEF的体积为
10、为定值，D正确；故选：BD.【点睛】本题考查了异面直线的定义、线面平行的判定定理、椎体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.11. 已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论，正确的是（ ）A. 的一个周期是B. 是非奇非偶函数C. 在单调递减D. 的最大值大于【答案】ABD【解析】【分析】先根据周期函数定义判断选项A，再根据函数的意义，转化为分段函数判断B选项，结合三角函数的图象与性质判断C，D选项.【详解】，的一个周期是，故A正确；，非奇非偶函数，B正确；对于C，时，不增不减，所以C错误；对于D，D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了
11、特例法求解选择题，属于中档题.12. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，（为自然对数的底数），则（ ）A. 在内单调递增；B. 和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；C. 和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；D. 和之间存在唯一的“隔离直线”.【答案】ABD【解析】【分析】令，利用导数可确定单调性，得到正确；设，的隔离直线为，根据隔离直线定义可得不等式组对任意恒成立；分别在和两种情况下讨论满足的条件，进而求得的范围，得到正确，错误；根据隔离直线过和的公共点，可假设隔离直线为；分别讨论、和时，是否满足恒成立，从而确
12、定，再令，利用导数可证得恒成立，由此可确定隔离直线，则正确.【详解】对于，当时，单调递增，在内单调递增，正确；对于，设，的隔离直线为，则对任意恒成立，即对任意恒成立.由对任意恒成立得：.若，则有符合题意；若则有对任意恒成立，的对称轴为，；又的对称轴为，；即，；同理可得：，；综上所述：，正确，错误；对于，函数和的图象在处有公共点，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，则恒成立，若，则不恒成立.若，令，对称轴为在上单调递增，又，故时，不恒成立.若，对称轴为，若恒成立，则，解得：.此时直线方程为：，下面证明，令，则，当时，；当时，；当时，；当时，取到极
13、小值，也是最小值，即，即，函数和存在唯一的隔离直线，正确.故选：.【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，则实数_【答案】【解析】 由，则， 所以， 又由，所以，解得14. 已知，则_【答案】180【解析】，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以
14、下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 函数的部分图象如图所示，则_；将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据图象求得周期，利用周期计算公式求得；根据，即可求得；再求得平移后的函数解析式，根据奇偶性，列出等式，则可得.【详解】根据函数的图象可得，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以.所以，将的图象沿x轴向右移个长度单位得函数的图象，因为函数是偶函数，所以，所以，因为，所以，.故答
15、案为：；.【点睛】本题考查由正弦型函数图像求解析式，涉及图象平移前后解析式的求解，以及根据正弦型函数的奇偶性求参数值，属综合基础题.16. 设集合，则集合A中满足条件：“”的元素个数为_.【答案】18.【解析】【分析】满足不等式的只有或4两种情况，分别确定每一类的元素组成从而求出可能的元素个数，两类元素个数相加即为所求.【详解】对于分以下几种情况：，此时集合A的元素含有一个2，或，两个0，2或从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有种；，此时集合A中元素含有两个2一个0；或两个，一个0；或一个2，一个，一个0.若是两个2或，一个0时，从三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或，这种情况有种；若是一个2，一个，一个0时，对这三个数全排列即得到种；集合A中满足条件“”的元素个数为.故答案为：18【点睛】本题考查分类加法计数原理、排列、集合的概念，属于中档题.