1、易错类型一 知识性错误1.概念理解错误解题时，有时候对数学概念的理解不深入，在应用数学公式或定理时，忽视其成立的条件，例如，当时，集合有可能是空集；等比数列求和时，公比和的情况下分别是两个不同的求和公式；向量的数量积不满足结合律和消去律；导数等于零只是函数有极值的必要条件；平面几何的性质不能不加思考地类比到立体几何；对概率模型的识别要足够仔细等，这些稍有不慎就可能造成解题的失误.（1）在解含参数集合问题时忽视空集例1 已知，且，求的取值范围.【错解】由题意，解得，所以的取值范围为.【剖析】忽视的情况.【反思】由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果
2、错误.尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况.考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面.【针对训练1】 已知，求.【答案】【解析】因为表示数集，表示点集，所以.【针对训练2】函数的奇偶性是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数 【答案】C 【解析】为使函数有意义，须，即函数的定义域为，故函数是非奇非偶函数，选C.（2）判断函数奇偶性时忽视定义域例2判断函数的奇偶性.【错解】原函数即，为奇函数 【剖析】只关注解析式化简，忽略定义域.【反思】函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.如果不具
3、备这个条件，一定是非奇非偶函数.在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有，则为奇函数；如果对定义域内任意x都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如果对定义域内存在使，则不是偶函数.【针对训练】判断函数的奇偶性.【答案】既奇且偶函数.【解析】函数的定义域为且，则其定义域关于原点对称，且，所以原函数为既奇且偶函数.（3）误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系例3函数在x=1处有极值10，求的值.【错解】由题意，则，解得.【剖析】对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把为极值的必要条件当作充要条件.【反思】在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等
4、于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点.出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清.可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是在在两侧异号.【针对训练】如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为_【答案】1【解析】由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正【针对训练2】【2014高考山东卷第20题】设函数（为常数，是自然对数的底数）.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【分析】（I）函数的定义域为，,由可得，得到的单调递减区间为
5、，单调递增区间为.（II）分，时，讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.【解析】（I）函数的定义域为，由可得，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，得时，函数单调递减，时，函数单调递增，所以函数的最小值为，函数在内存在两个极值点；当且仅当，解得，综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.（4）等比数列求和时，未分类讨论公比和例4已知数列是等差数列，且（1） 求数列的通项公式；（2）令求数列前项和的公式.【错解】（1）易求得（2） 由（1）得令（）则（）用（）减去（）（注意错过一位再相减）得，所以【剖析】等比数列
6、求和要对公比按和进行讨论.综上可得：当；当时【反思】一般情况下对于数列有其中数列和分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例.【针对训练】已知当时，求数列的前n项和【答案】时当时.（5）平面向量中概念模糊例5下列五个命题：（1） 向量与共线，则P1、P2、O、A必在同一条直线上；（2） 如果向量与平行，则与方向相同或相反；（3） 四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是=；（4） 若=，则、的长度相等且方向相同或相反；（5） 由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行
7、.其中正确的命题有_个.【反思】平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等.在复习时不仅要理解这些概念，而且还要掌握向量与实数、向量运算与实数运算异同点.【针对训练】下列命题中，正确的是_(填序号)有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小【答案】（6）空间点、线、面位置关系不清例6给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面
8、经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是 A和 B和 C和 D和 【错解】A【剖析】空间想象能力欠缺，不会借助身边的几何体作出判断；空间线面关系模糊，定理不熟悉或定理用错.【正解】D【反思】空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型.解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用
9、准确，考虑问题全面细致.【针对训练】以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】中显然是正确的；中若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b、c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面，故只有正确（7）概率模型识别不清例7某城市有两种报纸甲报与乙报供居民们订阅.记A=“只订甲报”，B=“至少订一种报”，C=“至多订一种报”，D
10、=“不订甲报”，E=“一种报也不订”.判断下列事件是不是互斥事件？如果是互斥事件，再判断是不是对立事件.A与C；B与E；B与D；B与C；E与C【错解】选或或或【剖析】识记错误，两类事件的概念不清.【正解】是互斥事件，是对立事件【反思】“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是指事件A与事件B在一次实验中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B在一次实验中有且只有一个发生，因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.【针对训练】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券
11、中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.A、B、C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖概率为.2.公式、法则应用错误数学公式、法则是解决数学问题的工具，是数学知识点的重要组成部分，数学中的公式、法则都由条件和结论组成要应用结论，必须首先注意能使结论成立的条件在数学的学习中，如果学生只局限于死记一些结论而不注意强调使结论成立的条件，往往会导致谬误因此对数学
12、中的各个公式，考生必须在理解的基础上掌握扎实，通过高考阅卷可以看出这一点并不是所有的考生都能做到的，因公式记错、用错、理解错误而出现的失分是非常普遍的例如常见的一些易混、易错、易忘公式有：指数函数与对数函数的求导公式易记混易遗忘；等比数列的前项和公式易忽视公式的情况；等差数列与等比数列的性质易混淆；数列的前项和与通项的关系易忽视其限制条件；双曲线的渐近线方程焦点在两个坐标轴上的不同形式易混淆；概率的各个公式由于忽略概率类型而错用公式；重要不等式忽视其应用的前提条件等，这些都是高考中的重要数学公式，其应用的频率非常高，也是我们易掉入的“陷阱”要达到准确地应用公式，只是死记硬背是远远达不到要求的，
13、只有准确地把握公式的内涵和公式的来龙去脉、使用范围，使用方法(正用、逆用、变用)，熟练运用它们进行推理、证明和运算，掌握它们的推导过程(有些公式的推导过程渗透着重要的数学思想或方法，对提高自身的解题能力是很有帮助的)，只有这样才能明确公式应用的前提条件及背景同时充分发挥错题本的作用，将易混淆的公式整理出来，时时警戒自己，这样错误重演的机率就会大大地降低了.（1）指数、对数函数的底数的范围了解不清致误例1【安徽省六校教育研究会2017届高三上学期第一次联考数学（理）试题4改编】设函数，且，则的值组成的集合为_.【错解】【剖析】指数函数的标准形式且，但并没有说是指数函数，并不能认为且.当也可以.【
14、反思】指数函数与对数函数的图像和性质受底数的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题，要先识别该函数是不是指数或对数函数，然后要看底数的范围.【针对训练】【2015山东卷】已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.【答案】【解析】当a1时，f(x)在1,0上单调递增，则无解当0a1时，f(x)在1,0上单调递减，则解得ab.（2）函数的求导公式不熟致误例2 求下列函数的导数：（1）y3xex2xe；（2）yln(2x5)【错解】（1）；（2）【剖析】函数求导，尤其是指数函数、对数函数的求导要相当熟悉，；复合函数求导要准确的按复合函数求导法则进行【正解】（1）y(l
15、n 31)(3e)x2xln 2；（2）y.【解析】（1）y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2 (ln 31)(3e)x2xln 2.（2）令u2x5，yln u，则y(ln u)u2，即y.【反思】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元【针对训练】已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f
16、2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 016(x)等于()Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x【答案】B（3）向量线性运算中的错误例3 如图1-2-3，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DECD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中.下列叙述正确的是()图1-2-3A满足2的点P必为BC的中点B满足1的点P有且只有一个C的最大值为3D的最小值不存在【错解】A【剖析】处易忽视0，0；处不能判断的最小值以及在何处取得最小值；处不能全面考虑各种可能情况而出现错误在
17、解决与向量线性运算相关的问题时，要特别注意各种可能的情况、全面考虑各种条件.【正解】C【解析】由题意可知，当时，取得最小值0，此时P点与A点重合，故D错误；当时，P点在D点处，故A错误；当1，0时，1，P点在B处；当P点在线段AD中点时，也有1，故B错误.则选C.【反思】(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来 (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用 (3)用几个基本向量表示某个向量问
18、题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.【针对训练】如图1231所示，A，B分别是射线OM，ON上的两点(不与O点重合)，给出下列向量：2；.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有()图1231A B C D【答案】B（4）由求时忽略对“”检验例4 已知数列的前n 项和，求.【错解】由解得.【剖析】考虑不全面，错误原因是忽略了成立的条件n2，实际上当n=1时就出现了S0，而S0是无意义的，所以使用求，只能表示第二项以后的各项，而第一项能否用这个表示，尚需检验.【正解】【反思】在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在
19、使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点.当题中给出数列的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证.解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验.【针对训练】已知数列an满足前n项和Snn21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性【答案】(1)bn(2)递减数列（5）不等式变形中扩大变量范围致误例5设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_【错解】由，得，而，则其取值范围为.【剖析】解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出的范围，再求的范围，导致变量范围扩大.方法二由得
20、f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法三由确定的平面区域如图阴影部分，当f(2)4a2b过点A(，)时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，5f(2)10.【反思】(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围 (2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围【针对训练】已知1lgxy4，1lg2，则lg的取值范围是_.【答案】1,5（6）空间几何体体积计算错误例6如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕A
21、B旋转一周所形成的几何体的体积.【错解】由题意，梯形在旋转的时候边界形成一个圆台，故其体积为(cm3).【剖析】注意这里是旋转图中的阴影部分，不是旋转梯形.在旋转的时候边界形成一个圆台，并在上面挖去了一个“半球”，其体积应是圆台的体积减去半球的体积解本题易出现的错误是误以为旋转的是梯形，在计算时没有减掉半球的体积【正解】【解析】由图中数据，根据圆台和球的体积公式，得(cm3)，(cm3)所以旋转体的体积为(cm3)【反思】简单几何体的体积主要利用柱体、锥体、台体的体积公式来计算对于棱锥体积的计算要结合锥体的结构特征，充分利用锥体中的线面垂直关系，灵活选用顶点和底面对于不规则几何体体积的计算，则
22、要根据其结构特征，利用“割补”思想来处理，但要注意不能重复计算或遗漏 【针对训练】如图，在装有水的圆柱中，放置两个底面直径与圆柱直径相同的圆锥，若放入圆锥后水面上升了4 cm，且此时水面的高度恰好过上面圆锥的顶点，则圆锥的高为_.【答案】6【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，则可知两个圆锥的体积之和等于水面上升部分的体积，所以r2h2r24，即h6.（7）焦点位置考虑不全致误例7已知椭圆1的离心率等于，则m_.【错解】由方程，得a24，即a2.又e，所以c，mb2a2c222()21.【剖析】本题易出现的问题就是误以为给出的椭圆的焦点在x轴上，从而导致漏解该题虽然给出了椭圆的方程，但并没有确
23、定焦点所在的坐标轴，所以应该根据其焦点所在的坐标轴进行分类讨论 (2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为1.则由方程，得b24，即b2.又e，故，解得，即a2b，所以a4.故ma216.综上，m1或16.【反思】题目条件中椭圆的对称轴为坐标轴，应该包含两种情况：一是焦点在x轴上，二是焦点在y轴上如果焦点位置不明确，那么有两种方法来解决这类问题：一是分类讨论，全面考虑问题；二是设椭圆的一般式，即设所求椭圆方程为，进而求解【针对训练】设e是椭圆1的离心率，且e(，1)，则实数k的取值范围是()A(0,3) B(3，)C(0,3)(，) D(0,2)【答案】C【解析】当4k时，e(，1)，即114
24、k4，即0k3；当4k时，e(，1)，即1110k.【针对训练2】【2014高考广东卷理第4题】若实数满足，则曲线与曲线的（ ）A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D 3.定理、性质应用错误高中数学中有很多的定理以及相关的性质，在使用过程中，如果不能够对其条件有个更深的认识，很容易出现错误，也是考试失分的一大问题所在.所以，在学习定理、性质的过程中要注意其使用条件、易混部分等等.（1）函数零点定理使用不当例1若函数在区间-2,2上的图象是连续不断的曲线，且在（-2,2）内有一个零点，则的值 （ ）A 大于0 B 小于0 C 等于0 D 不能确定【错解】由函数
25、零点存在定理知，故选B【剖析】没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数在（-2,2）内有一个零点，且该零点为“变号零点”，则，否则.【正解】D【解析】如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点.但反过来不成立.【反思】函数零点定理是指如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点.解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法.函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力.【针对训练】【2016吉林实验中学】函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则
26、n_.【答案】2（2）用错了等差、等比数列的相关公式与性质例2已知等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.【错解一】170. 因为为等差数列，所以成等差数列，则【剖析】基础不实，记错性质，误以为成等差数列.【错解二】130 .因为为等差数列，所以【剖析】基础不实，误以为满足.【正解】210【解析】因为为等差数列，所以成等差数列，则，即.【反思】等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向.解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例
27、予以说明.【针对训练】一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则该数列的公差d_.【答案】5（3）解三角形忽视解的讨论而出错例3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，c.(1)若角C，则角A_；(2)若角A，则b_ _.【错解】（1）由正弦定理，得，所以sinA.得出角A或A；（2）由，得sinC，所以C，B，可得b2.【剖析】在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sinA后，得出角A或A；在第(2)问中没有考虑角C有两解，由sinC，只得出角C，所以角B，解得b2，这样就出现漏
28、解的错误【反思】已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否小于等于1，当正弦值小于1时，还应判断各角之和与180的关系；二是两边的大小关系【针对训练】在ABC中，若a3，cosC，SABC4，则b_.【答案】2【解析】由cosC，得sinC.SABCabsinC3b4.b2.（4）忽视平面向量基本定理的成立条件例4下列各组向量中，可以作为基底的是=（0，0），=（1，-2）; =（-1，2），=（5，7）;=（3，5），=（6，10）; =（2，-3），=（4，-6）;【错解】选或或【剖析】概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底.【正解】【反思】如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2，使=1+2.在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具.考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件.【针对训练】【2015北京东城模拟】如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_【答案】2
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