1、第六章单元质量评估一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在ABC中，已知M是BC的中点，设a，b，则(A)A.ab B.ab Cab Dab解析：ba，故选A.2已知下列四个等式：0；00.其中正确的个数为(C)A1 B2 C3 D4解析：因为0，()，00，所以正确的等式有，故选C.3若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为(A)A. B84 C1 D.解析：由(ab)2c24得(a2b2c2)2ab4.a2b2c22abcosC，方程可化为2ab(1cosC)4.因此，ab.又C6
2、0，ab.4已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，3asinAbsinBcsinC，则sinA的最大值为(C)A. B. C. D.解析：3asinAbsinBcsinC，由正弦定理可得3a2b2c2，由余弦定理可得cosA(当且仅当bc时，取“”号)，则sinA，即最大值为.故选C.5在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上，且满足2，则()等于(A)A B C. D.解析：M为BC中点，2，()|22.6已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|(C)A. B. C5 D25解析：a(2,1)，|a|.又|ab|5，|ab|2a2b22ab，(5)2()2|b|
3、2210，|b|225，|b|5.7已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为(C)A. B. C. D.解析：设a与b的夹角为，由题意，得a(2ab)2a2ab0，即ab2a2，所以cos，所以，故选C.8一船自西向东匀速航行，上午7时到达灯塔A的南偏西75方向且距灯塔80 n mile的M处，若这只船的航行速度为10 n mile/h，则到达这座灯塔东南方向的N处时是上午(D)A8时 B9时 C10时 D11时解析：如图，画出灯塔A与船航行的位置，则MAN7545120，MA80 n mile，AMN907515，ANM45.由正弦定理，得，则MN40 n mi
4、le，船从M处到N处需要的时间是4(h)，即到达这座灯塔东南方向的N处时是上午11时，故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9下列说法错误的是(ABD)A. B若a与b是共线向量，c与b是共线向量，则a与c是共线向量C|ab|ab|，则ab0 D若a与b是单位向量，则ab1解析：A中，分别是单位向量，但不一定相等，所以不正确；B中，b0时命题不正确；C项命题成立；D中只有两向量同向时结论才正确故选ABD.10如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中A30，且B，C，D三点共线，则下列结
5、论成立的是(ABC)A. B.0 C.与共线 D.解析：设BCDEm，A30，且B，C，D三点共线，则CDABm，ACEC2m，ACBCED60，ACE90， ，0，由ABBC，EDCD得，故选项A、B、C成立；对于D，|cos60|2，|cos30|2，D错误故选ABC.11在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则ABC可以是(BCD)A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形解析：由，得sinAcosBcosAsinB且cosB0，所以sinAcosBcosAsinB0，所以sin(AB)0，因为A，B是三角形的内角，所以AB0，即AB，所以ABC可以是等腰三
6、角形，等腰直角三角形或等边三角形故选BCD.12在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A3B，则的取值可以是(BCD)A1 B. C2 D.解析：A3B2cos2Bcos2B2cos2B1.即2cos2B1.又AB(0，)，即4B(0，)2Bcos2B(0,1)，(1,3)故选BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则_4_.解析：设i，j分别为水平方向向右和竖直方向向上的单位向量，则aij，b6i2j，ci3j，所以存在、R，使i3j(ij)(6i2j)，所以2，所以4.14在等腰梯形ABCD中，已知
7、ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的值为.解析：作COAB于点O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，所以E，F，所以.15如图，在ABC中，M为边BC上一点，4，AMC，AM2，AMC的面积为3，则CM_6_；cosBAC.解析：SAMCAMMCsin3，CM6.由4，得BM2.在ABM和AMC中，分别用余弦定理得AB212，AC228.在ABC中，利用余弦定理得cosBAC.16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则当取得最大值时，角A的值为.解析：由三角形的面积SaabcsinA，得a22bcsin
8、A，所以由余弦定理得a2b2c22bccosA2bcsinA，所以b2c22bcsinA2bccosA2bc(sinAcosA)，于是2(sinAcosA)4sin，当且仅当A时，取得最大值4.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题10分)解答下列各题：(1)在ABC中，已知C45，A60，b2，求此三角形最小边的长及a与B的值；(2)在ABC中，已知A30，B120，b5，求C及a与c的值解：(1)A60，C45，B180(AC)75.CAB.cab，即c边最小由正弦定理可得a3，c22.综上可知，最小边c的长为22，a3，B75.(2)A30，
9、B120，C180(AB)30.AC.ac.由正弦定理可得a.综上可知，C30，ac.18(本小题12分)已知A(1,2)，B(2,8)(1)若，求的坐标；(2)设G(0,5)，若，求E点坐标解：(1)(3,6)，(1,2)，(2，4)，(2,4)(1,2)(1,2)(2)设E(x，y)，则(x1，y2)，(x2，y8)，(2，3)，解得E点坐标为.19(本小题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，且点A(4,0)，C(1，)(1)求ABC的大小；(2)设点M是OA的中点，点P在线段BC上运动(包括端点)，求的取值范围解：(1)由题意得(4,0)，(1，)四边
10、形OABC是平行四边形，cosABCcosAOC，ABC.(2)(4,0)，点C坐标为 (1，)，B(5，)设P(t，)，其中1t5，则(t，)(2,0)(1，)(1，)，(t，)(1，)t3，故的取值范围是2,220(本小题12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C.(1)求sinC的值；(2)当a2,2sinAsinC时，求b及c的长解：(1)cos2C12sin2C，0C，sinC.(2)当a2,2sinAsinC时，由正弦定理，得c4.由cos2C2cos2C1及0C0)，解得b或2，或21(本小题12分)设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c
11、，且满足a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)若2bcosA(ccosAacosC)，BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积解：(1)由余弦定理得cosB，因为B是三角形的内角，所以B.(2)由正弦定理得，代入2bcosA(ccosAacosC)，可得2sinBcosA(sinCcosAsinAcosC)，即2sinBcosAsinB，因为sinB0，所以cosA，所以A，于是CAB.设ACm，则BCm，ABm，CMm，由余弦定理可知AM2CM2AC22CMACcos，即()2m2m22mm()m2，解得m2.于是SABCCACBsin22.22(本小题12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(2,1)，A(1,0)，B(cos，t)(1)若a，且|，求向量的坐标；(2)若a，求ycos2cos2的最小值解：(1)因为(cos1，t)，且a，所以cos12t.又因为|，所以(cos1)2t25.由得，5t25，所以t21，所以t1.当t1时，cos3(舍去)；当t1时，cos1.故B(1，1)，所以(1，1)(2)由a可知t22cos，所以ycos2coscos2cos2，所以当cos时，y取得最小值.