1、小题狂练（15）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式和分式不等式的解法求得集合，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，则.故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，以及一元二次不等式和分式不等式的解法，其中解答中根据一元二次不等式和分式不等式的解法求得集合是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2. 已知为虚数单位，复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算，可得，即可求解，
2、得到答案详解】由题意，复数，得，所以，故选B【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题3. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定形式书写.【详解】命题“”的否定是，.故选C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型.4. 已知向量，若，则（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得，再结合，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，因为，可得，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及共线向量的坐标表
3、示及应用，其中解答中熟记向量的共线的坐标表示，列出方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.5. 二项式的展开式中项的系数为10，则（）A. 8B. 6C. 5D. 10【答案】C【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数为3，即可求出的值【详解】由二项式的展开式的通项得：令 ，得，则 ，所以，解得，故选C【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指对函数的单调性，借助中间量0，1比较大小.【详解】，所以，故选：A.【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，
4、一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0，1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小7. 已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】圆关于直线对称即说明直线过圆心，即可求出，即可由中点弦求出弦长.【详解】依题意可知直线过圆心，即，故圆方程配方得，与圆心距离为1，故弦长为故选D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。8. 用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三
5、棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出正三棱柱内接于球的直观图，设底面边长，由球的体积公式得，再由勾股定理得正三棱柱的，代入体积公式，利用基本不等式可求得【详解】如图所示，正三棱柱内接于球的直观图，为底面的中心，因为设底面边长，则，等号成立当且仅当，故选D.【点睛】本题以实际问题为背景，本质考查正三棱柱内接于球，考查正三棱柱体积的最值，考查空间想象能力和运算求解能力，注意利用三元基本不等式求最值，使问题求解计算变得更简洁二、多项选择题（每小题5分，共20分）9. 下列命题正确的是（ ）A. 若角（），则B. 任意的向量，若，则C
6、. 已知数列的前项和（为常数），则为等差数列的充要条件是D. 函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于直线对称【答案】BC【解析】【分析】对于A选项：当时，当时，代入可判断A；对于B选项：设的夹角为，则，由向量的数量积的定义可判断B；对于C：验证必要性和充分性两个方面，可判断C；对于D选项：取函数，满足，求得函数的对称轴，可判断D.【详解】对于A选项：当时，当时，不满足，故A不正确；对于B选项：设的夹角为，则，所以，所以或，所以，故B正确；对于C：验证必要性：当n=1时，；当n2时，；由于，所以当n2时，是公差为2a等差数列.要使是等差数列，则，解得c= 0.即an 是等差数列的必要条
7、件是：c= 0.验证充分性：当c=0时，.当n=1时，；当n2时，显然当n=1时也满足上式，所以，进而可得，所以等差数列.所以为等差数列的充要条件是成立，故C正确；对于D选项：设函数，满足其定义域为，且对任意，都有，满足，而，则函数的图像关于直线对称，故D不正确，故选：BC.【点睛】本题综合考查正弦函数与余弦函数的性质，向量的数量积的定义，等差数列的定义，抽象函数的对称性，属于中档题.10. （多选题）函数（，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. B. 若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数C. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数D. ，若恒
8、成立，则的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据函数图像可得，进而求出，再利用最值与特殊值可求出解析式，即可判断A；利用图像的平移伸缩变换可判断B；通过函数的平移伸缩变换求出变换后的解析式，根据正弦函数的单调区间整体代入即可判断C；不等式化为，利用三角函数的性质求出即可判断D.【详解】如图所示：，所以，即，（），（），故A正确；把的图像向左平移个单位，则所得函数，是奇函数，故B正确；把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，在上不单调递增，故C错误；由可得，恒成立，令，则， ，的最小值为，故D正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了由三角函数的图像求解析式、三角函数的平移伸缩变换、
9、三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.11. 若，为正实数，则的充要条件为（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据充要条件的定义，寻求所给不等式的等价条件，满足与等价的即可.【详解】因为，故A选项错误；因为，为正实数，所以，故B选项正确；取，则，即不成立，故C选项错误；因为，当时，所以在上单调递增，即，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了充要条件，不等式的性质，函数的单调性，属于中档题.12. （多选题）已知函数，函数，下列选项正确的是（ ）A. 点是函数的零点B. ，使C. 函数的值域为D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是【答
10、案】BC【解析】【分析】根据零点的定义可判断A；利用导数判断出函数在、上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B；利用导数求出函数的最值即可判断C；利用导数求出函数的最值即可判断D.【详解】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误.对于选项B，当时，可得，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时， ，当时， 当时，单调递减；当时，单调递增； 图像 所以，当时， ，综上可得，选项B正确；对于选项C，选项C正确.对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有一个非零的实数根函数与有一个交点，且，当时，当变化时，变化情况如下：00极大值极小值极大值
11、，极小值，当时，当变化时，的变化情况如下： 12 0 极小值极小值， 图像综上可得，或，的取值范围是，D不正确.故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.三、填空题（每小题5分，共20分）13. 在等差数列中，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质可得的值.【详解】因为，故，故答案为：8.【点睛】本题考查等差数列的性质，关于等差数列的处理方法，一般有两类方法：（1）基本量法，即把问题归结为首项和公差的问题；（2）利用等差数列的性质来处理，本题属于基础题.14. 化简： _.【答案】1【解析】原式)(.故答案为 【点睛
12、】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.15. 2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为_.（用数字作答）【答案】900【解析】【分析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，按照先分组后排列最后得到150种不同分派方式，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村得到6种不同分派方式.最后按照分步乘法计数原理得到答案.【详解】解：由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到
13、三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有种不同分派方式；第二步：将3名医护人员分派到3个不同扶贫村，共有种不同情况.所以所有的不同分派方案有种.故答案为：900.【点睛】本题考查排列组合的综合应用、分步乘法计数原理、部分平均分组问题，是中档题.16. 已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围是_；若不等式有解，则的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据有两个不同极值点，可得两个不相等的正实数根，根据二次函数的性质即可求解；将不等式转化为，代入方程，化简整理，即可得结果.【详解】由题可得（），因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.若不等式有解，所以因为.设，故在上单调递增，故，所以，所以的取值范围是.【点睛】本题考查导函数的实际应用，重点在于将题干中“两个不同的极值点”转化为导函数等于0时，有两个不相等的实数根，然后进行求解，计算难度偏大，属中档题.