1、概率第三章31随机事件的概率31.3概率的基本性质课前自主预习 1了解事件的关系与运算2理解互斥事件、对立事件的概念3掌握概率的基本性质，并能运用这些性质求一些简单事件的概率4理解并事件与交事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系1事件的关系(1)包含关系：一般地，对于事件 A 与事件 B，如果事件A_，则事件 B 一定_，这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)，记作_(或 AB)不可能事件记作_，任何事件都包含不可能事件(2)相等关系：一般地，若_，且_，那么称事件 A 与事件 B 相等，记作 AB.发生发生BABAAB2事件的运算(1)并事件：若某事件 C 发生当且仅
2、当事件 A 发生_事件 B 发生，则称此事件 C 为事件 A 与事件 B 的_(或和事件)，记作 CAB(或 CAB)(2)交事件：若某事件 C 发生当且仅当事件 A 发生_事件 B 发生，则称此事件 C 为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)，记作 C_(或 CAB)或并事件且AB3概率的性质(1)范围：任何事件的概率 P(A)_(2)必然事件的概率：必然事件的概率 P(A)_.(3)不可能事件的概率：不可能事件的概率 P(A)_.(4)概率加法公式：如果事件 A 与事件 B 互斥，则有 P(AB)_(5)对立事件的概率：若事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 AB 为必然事件，则
3、有 P(AB)_1，即 P(A)_0,110P(A)P(B)P(A)P(B)1P(B)1在同一试验中，设 A，B 是两个随机事件，“若 AB，则称 A 与 B 是两个对立事件”，对吗？提示 这种说法不正确对立事件是互斥事件的特殊情况，除了满足 AB 外，AB 还必须为必然事件从数值上看，若 A，B 为对立事件，则 P(AB)P(A)P(B)1.2在同一试验中，对任意两个事件 A，B，P(AB)P(A)P(B)一定成立吗？提示 不一定只有 A 与 B 互斥时，P(AB)P(A)P(B)才成立3互斥事件的概率加法公式是否可以推广到多个互斥事件的情况？提示 可以若事件 Ai(i1,2,3，n)彼此互
4、斥，则 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)课堂互动探究 题型一互斥事件与对立事件【典例 1】某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件(1)恰有 1 名男生与恰有 2 名男生；(2)至少有 1 名男生与全是男生；(3)至少有 1 名男生与全是女生；(4)至少有 1 名男生与至少有 1 名女生思路导引 判断两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生解(1)因为“恰有 1 名男生”与“恰有 2 名男生”不可能同时发生，所以
5、它们是互斥事件；当恰有 2 名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件(2)因为恰有 2 名男生时“至少有 1 名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件(3)因为“至少有 1 名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立(4)由于选出的是 1 名男生 1 名女生时“至少有 1 名男生”与“至少有 1 名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件(1)判断事件是否互斥的两步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的(2)判断事件对立的两步骤第一步，判断是互斥事件；第
6、二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立针对训练 1 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件 B 为“至少订一种报纸”，事件 C 为“至多订一种报纸”，事件 D 为“不订甲报”，事件 E 为“一种报纸也不订”判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A 与 C.(2)B 与 E.(3)B 与 D.(4)B 与 C.(5)C 与 E.解(1)由于事件 C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事件(2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不订”是不可能同时
7、发生的，故 B 与 E 是互斥事件；由于事件 B 发生会导致事件 E 一定不发生，且事件 E 发生会导致事件 B 一定不发生，故 B 与 E 还是对立事件(3)事件 B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件 B 和事件 D 有可能同时发生，故B 与 D 不是互斥事件(4)事件 B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”事件 C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”也就是说事件 B 与事件 C 可能同时发生，故 B 与 C 不是互斥事件.(5)由(4)的分析，事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 中的
8、一种可能情况，所以事件 C 与事件 E 可能同时发生，故 C 与 E 不是互斥事件.题型二事件的运算【典例 2】盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3个球，设事件 A3 个球中有 1 个红球，2 个白球，事件 B3个球中有 2 个红球，1 个白球，事件 C3 个球中至少有 1 个红球，事件 D3 个球中既有红球又有白球问：(1)事件 D 与 A，B 是什么样的运算关系？(2)事件 C 与 A 的交事件是什么事件？思路导引 事件的运算利用事件间运算的定义，借助集合间运算的思想求解解(1)对于事件 D，可能的结果为 1 个红球 2 个白球，或2 个红球 1 个白球，故 DAB.(2)对于
9、事件 C，可能的结果为 1 个红球 2 个白球，2 个红球1 个白球，3 个红球，故 CAA.引申探究：在本例中，设事件 E3 个红球，事件 F3个球中至少有一个白球，那么事件 C 与 A，B，E 是什么运算关系？C 与 F 的交事件是什么？解 CABE；CFAB.进行事件运算应注意的问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用 Venn图或列出全部的试验结果进行分析(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理针对训练 2 在投掷骰子试
10、验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A出现 1 点，B出现 3 点或 4 点，C出现的点数是奇数，D出现的点数是偶数(1)说明以上 4 个事件的关系；(2)求两两运算的结果解 在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有 6 种基本事件，记作 Ai出现的点数为 i(其中 i1,2，6)则 AA1，BA3A4，CA1A3A5，DA2A4A6.(1)事件 A 与事件 B 互斥，但不对立，事件 A 包含于事件 C，事件 A 与 D 互斥，但不对立；事件 B 与 C 不是互斥事件，事件 B与 D 也不是互斥事件；事件 C 与 D 是互斥事件，也是对立事件(2)AB，ACA，AD.ABA1A3A4出现
11、点数 1 或 3 或 4，ACC出现点数 1 或 3 或 5，ADA1A2A4A6出现点数 1 或 2 或 4 或 6BCA3出现点数 3，BDA4出现点数 4.题型三互斥事件与对立事件的概率【典例 3】在数学考试中，小王的成绩在 90 分以上(含 90分)的概率是 0.18，在 8089 分的概率是 0.51，在 7079 分的概率是 0.15，在 6069 分的概率是 0.09，在 60 分以下(不含 60 分)的概率是 0.07.求：(1)小王在数学考试中取得 80 分以上(含 80 分)成绩的概率；(2)小王数学考试及格的概率思路导引 先判断所求事件与已知事件的关系，然后选择公式求解解
12、 设小王的成绩在 90 分以上(含 90 分)、在 8089 分、在 60 分以下(不含 60 分)分别为事件 A，B，C，且 A，B，C 两两互斥(1)设小王的成绩在 80 分以上(含 80 分)为事件 D，则 DAB，所以 P(D)P(AB)P(A)P(B)0.180.510.69.(2)设小王数学考试及格为事件 E，由于事件 E 与事件 C 为对立事件，所以 P(E)1P(C)10.070.93.概率公式的应用(1)互斥事件的概率加法公式 P(AB)P(A)P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概
13、率，用加法公式得出结果(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式 P(A)P(B)1，求出符合条件的事件的概率针对训练 3 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345 人及 5 人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？(2)至少 3 人排队等候的概率是多少？解 记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件 B，“2 人排队等候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4 人排队等候”为事件 E，“5 人及
14、 5 人以上排队等候”为事件F，则事件 A、B、C、D、E、F 互斥(1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 GABC，所以 P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)解法一：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则 HDEF，所以 P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.解法二：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H)1P(G)0.44.课堂归纳小结1互斥事件和对立事件既有区别又有联系互斥，未必对立；对立，一定互斥2互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式 P(AB)P(A)P(B)3求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.请做：随堂巩固验收