1、33 幂函数l 考纲要求1了解幂函数的基本概念2掌握幂函数和的图象和性质l 知识解读知识点幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数知识点常见的五种幂函数的图象知识点幂函数的性质1幂函数在(0，)上都有定义；2当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；3当0(或x0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)l 题型讲解题型一、幂函数的图象和性质例1已知幂函数f(x)kx(kR，R)的图象过点，则k()AD1CD2例2幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是() 例3若幂函数的图象经过点，则它的单
2、调递增区间是()A(0，)B0，)C(，) D(，0)例4已知幂函数f(x)(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则m的值为_例5若f(x)，则不等式f(x)f(8x16)的解集是()A B(0，2C D2，)例6如图所示，曲线C1与C2分别是函数yxm和yxn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()Anm0Dmnm0Dmn0题型二、幂函数比较大小问题例1若a0，则0.5a，5a，0.2a的大小关系是()A0.2a5a0.5a B5a0.5a0.2aC0.5a0.2a5a D5a0.2a0.5a例2已知a，b，c，则()Abac BabcCbca Dcab例3若a，b，c，则
3、下列正确的是()Aabc BbacCcab Dbca例4、已知点(m，8)在幂函数f(x)(m1)xn的图象上，设af，bf()，cf()，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCbca Dbac例5已知f(x)x2，g(x)，h(x)x2，当0x1时，f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是_.l 达标训练1下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的函数是()Ayx2Dyx1Cyx2Dy2(多选题)(2020襄阳调研)已知点在幂函数f(x)(a1)xb的图象上，则函数f(x)是()A奇函数B偶函数C(0，)上的增函数D(0，)上的减函数3已知a，b，c，则a，b，c的大小关
4、系为()Abac BabcCcba Dcab4已知函数f(x)x3，若af(0.60.6)，bf(0.60.4)，cf(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是()Aacb Bbac Cbca Dcab5若幂函数f(x)在(0，)上单调递增，则a等于()A1 B6 C2 D16已知幂函数f(x)mx1n是定义在区间2，n上的奇函数，设a，b，c，则()Abac BcbaCbca Dab0Bq为偶数，p为奇数，且0Dq为奇数，p为偶数，且cba BabcdCdcab Dabdc9若，则实数m的取值范围是()A BC(1,2) D10幂函数yf(x)经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在(
5、0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数11(2022延吉检测)若函数y为幂函数，且在(0，)上单调递减，则实数m的值为()A0 B1或2 C1 D212若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不过原点，则m的取值是()A1m2Dm1或m2Cm2Dm113已知幂函数f(x)xa的图象过点，则函数g(x)(x2)f(x)在区间上的最小值是()A1D2C3D414(2022张家口检测)已知幂函数f(x)mxnk的图象过点，则m2n3k_.15已知2.42.5，则的取值范围是_16给出下面四个条件：f(mn)f(m)f(n
6、)；f(mn)f(m)f(n)；f(mn)f(m)f(n)；f(mn)f(m)f(n)如果m，n是幂函数yf(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数yf(x)一定满足的条件的序号为_17已知幂函数f(x)(m25m7)xm1(mR)为偶函数(1)求f的值；(2)若f(2a1)f(a)，求实数a的值18已知幂函数f(x)(mN*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围l 课后提升1(多选)已知幂函数f(x)，对任意x1，x2(0，)，且x1x2，都满足0，若a，bR且f
7、(a)f(b)0且ab0Bab0且ab0Cab0D以上都可能2对于幂函数f(x)x，若0x1x2，则f，的大小关系是()AfBfCfD无法确定3(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2)是函数图象上任意不同的两点，在以下给出的结论中正确的是()Ax1f(x1)x2f(x2) Bx1f(x1)x2f(x2)Cxf(x1)xf(x2) Dxf(x1)xf(x2)4已知幂函数f(x)x (mN)是偶函数，且在(0，)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)af(x)的奇偶性33 幂函数l 考纲要求1了解幂函数的基本概念2掌握幂函数和的图象和性质
8、l 知识解读知识点幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数知识点常见的五种幂函数的图象知识点幂函数的性质1幂函数在(0，)上都有定义；2当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；3当0(或x0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)l 题型讲解题型一、幂函数的图象和性质例1已知幂函数f(x)kx(kR，R)的图象过点，则k()AD1CD2【答案】A【解析】幂函数f(x)kx(kR，R)的图象过点，k1，f ，即，k例2幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是() 【答案】C【解析】设f(x)
9、x，则42，f(x)x，对照各选项中的图象可知C正确例3若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是()A(0，)B0，)C(，) D(，0)【答案】D【解析】设f(x)x，则2，2，即f(x)x2，它是偶函数，单调递增区间是(，0)例4已知幂函数f(x)(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则m的值为_【答案】1【解析】因为f(x)在(0，)上是减函数，所以m22m30，解得1m3又mN*，所以m1或m2由于f(x)的图象关于y轴对称所以m22m3为偶数，又当m2时，m22m3为奇数，所以m2舍去，因此m1例5若f(x)，则不等式f(x)f(8x16)的解集是()A B(0，2
10、C D2，)【答案】A【解析】因为函数f(x)在定义域0，)内为增函数，且f(x)f(8x16)，所以即2x，所以不等式的解集为例6如图所示，曲线C1与C2分别是函数yxm和yxn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()Anm0Dmnm0Dmn0【答案】A【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m0，n0当x2时，2m2n，所以nm0题型二、幂函数比较大小问题例1若a0，则0.5a，5a，0.2a的大小关系是()A0.2a5a0.5a B5a0.5a0.2aC0.5a0.2a5a D5a0.2a0.5a【答案】B【解析】因为a0，所以函数yxa在(0，)上是减函数，又因为0.20.50
11、.5a5a，即5a0.5a0.2a.例2已知a，b，c，则()Abac BabcCbca Dcab【答案】A【解析】因为a，c，而函数y在(0，)上单调递增，所以，即bac例3若a，b，c，则下列正确的是()Aabc BbacCcab Dbca【答案】B【解析】因为y在第一象限内为增函数，所以ac，因为1，所以bac.例4、已知点(m，8)在幂函数f(x)(m1)xn的图象上，设af，bf()，cf()，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCbca Dba12，所以f()f(2)f，则bca.例5已知f(x)x2，g(x)，h(x)x2，当0xg(x)f(x)【解析】分别作出f(x)
12、，g(x)，h(x)在(0，)上的图象如图所示，可知h(x)g(x)f(x)l 达标训练1下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的函数是()Ayx2Dyx1Cyx2Dy【答案】A【解析】所给选项都是幂函数，其中yx2和yx2是偶函数，yx1和yx不是偶函数，故排除选项B、D，又yx2在区间(0，)上单调递增，不合题意，yx2在区间(0，)上单调递减，符合题意，故选A2(多选题)(2020襄阳调研)已知点在幂函数f(x)(a1)xb的图象上，则函数f(x)是()A奇函数B偶函数C(0，)上的增函数D(0，)上的减函数【答案】AD【解析】由题意得a11，且ab，因此a2，且b1，故f(
13、x)x1是奇函数，且在(0，)上是减函数3已知a，b，c，则a，b，c的大小关系为()Abac BabcCcba Dcabc.4已知函数f(x)x3，若af(0.60.6)，bf(0.60.4)，cf(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是()Aacb Bbac Cbca Dcab【答案】B【解析】0.40.60.60.60.60.4，又yf(x)x3在(0，)上是减函数，bac.5若幂函数f(x)在(0，)上单调递增，则a等于()A1 B6 C2 D1【答案】D【解析】因为函数f(x)是幂函数，所以a25a51，解得a1或a6当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a6时，f(x)x3在
14、(0，)上单调递减，所以a16已知幂函数f(x)mx1n是定义在区间2，n上的奇函数，设a，b，c，则()Abac BcbaCbca Dabc【答案】A【解析】根据f(x)mx1n是幂函数，且在区间2，n上是奇函数，得m1，且2n0，解得n2，f(x)x3，且在定义域2，2上是单调增函数.又，即ba0Bq为偶数，p为奇数，且0Dq为奇数，p为偶数，且0【答案】D【解析】因为函数y的图象关于y轴对称，于是函数y为偶函数，即p为偶数，又函数y的定义域为(，0)(0，)，且在(0，)上单调递减，则有cba BabcdCdcab Dabdc【答案】B【解析】观察图象联想yx2，y，yx1在第一象限内的
15、图象，可知c0，d0，0b12d，所以cd综上知abcd9若，则实数m的取值范围是()A BC(1,2) D【答案】D【解析】因为函数y在0，)是增函数，且，所以解得mf(a1)的实数a的取值范围【答案】(1)0，) 增函数 (2)m1 1，)【解析】(1)因为m2mm(m1)(mN*)，而m与m1中必有一个为偶数，所以m2m为偶数，所以函数f(x)(mN*)的定义域为0，)，并且该函数在0，)上为增函数(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，)，所以2(m2m)1，即，所以m2m2，解得m1或m2.又因为mN*，所以m1，f(x)，又因为f(2a)f(a1)，所以解得1a，故函数f(x)的图
16、象经过点(2，)时，m1.满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围为1，)l 课后提升1(多选)已知幂函数f(x)，对任意x1，x2(0，)，且x1x2，都满足0，若a，bR且f(a)f(b)0且ab0Bab0且ab0Cab0D以上都可能【答案】BC【解析】因为f(x)为幂函数，所以m2m11，解得m2或m1.依题意f(x)在(0，)上单调递增，所以m2，此时f(x)x3，因为f(x)(x)3x3f(x)，所以f(x)x3为奇函数因为a，bR且f(a)f(b)0，所以f(a)f(b)因为yf(x)为增函数，所以ab，所以ab0.2对于幂函数f(x)x，若0x1x2，则f，的大小关系是()
17、AfBfCfD无法确定【答案】A【解析】幂函数f(x)x在(0，)上是增函数，大致图象如图所示设A(x1，0)，C(x2，0)，其中0x1x2，则AC的中点E的坐标为，|AB|f(x1)，|CD|f(x2)，|EF|f.|EF|(|AB|CD|)，f，故选A.3(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2)是函数图象上任意不同的两点，在以下给出的结论中正确的是()Ax1f(x1)x2f(x2) Bx1f(x1)x2f(x2)Cxf(x1)xf(x2) Dxf(x1)xf(x2)【答案】BC【解析】设函数f(x)x，依题意有2，所以，因此f(x).令g(
18、x)xf(x)x，则g(x)在(0，)上单调递增，而0x1x2，所以g(x1)g(x2)，即x1f(x1)x2f(x2)，故A错误，B正确；令h(x)，则h(x)在(0，)上单调递减，而0x1x2，所以h(x1)h(x2)，即，于是xf(x1)xf(x2)，故C正确，D错误4已知幂函数f(x)x (mN)是偶函数，且在(0，)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)af(x)的奇偶性【答案】见解析【解析】由f(x)x (mN)在(0，)上是减函数，得(m2)0，m2.mN，m0，1.f(x)是偶函数，只有当m0时符合题意，故f(x)x.于是g(x)，g(x)，且g(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当a0且b0时，g(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a0且b0时，g(x)为奇函数；当a0且b0时，g(x)为偶函数；当a0且b0时，g(x)既是奇函数又是偶函数