1、2.3 二次函数与一元二次方程、不等式l 考纲要求1 会从实际情景中抽象出一元二次不等式2 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式3 了解简单的分式、绝对值不等式的解法l 知识解读知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2Rax2bxc0)的解集x|x1x0(0(a(a0)的解集为，|x|0)的解集为知识点求解一元二次不等式的三个步骤1解一元二次方程ax2bxc0得到根；2结合二次函数yax2bxc的图象；3写出一元二次不等式的
2、解集知识点与一元二次不等式有关的恒成立问题1二次不等式ax2bxc0的解集为R的条件是2二次不等式ax2bxc0；(2)4x218x0； (3)2x23x20例2要使有意义，则x的取值范围为_题型二、解含参不等式例3已知ax2(a1)x10)，求不等式的解集例4解关于x的不等式x2ax10.例5解关于x的不等式ax2(a1)x10的解集为，则ab_.例7关于x的不等式x22ax8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()ABCD例8不等式x2ax44或a4Ba|4a4Ca|a4或a4Da|4a4题型四、一元二次不等式恒成立问题例9一元二次不等式ax2ax14xp3，当0p4
3、时恒成立，则x的取值范围是()A1,3B(，1C3，)D(，1)(3，)题型五、一元二次不等式实际应用例12在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是_例13用可围成32 m墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？l 达标训练1不等式2x3x20的解集是()Ax|1x3或x1Cx|3x1或x32关于x的不等式x22mx15m20(m0)的解集区间为(a，b)，且ba18，则m()A2 B 1C D3已知集合Ax|0x1，Bx|x22(m1
4、)xm0，若AB，则实数m的取值范围是()A(，1) B(1, 0)C1,0) D(，0)4(2022南通模拟)不等式(m1)x2mxm10的解集为，则m的取值范围是()Am1 BmCm Dm或m5已知关于x的不等式x24xa23a在R上有解，则实数a的取值范围是()Aa|1a4 Ba|1a4Ca|a4或a1 Da|4a16当x(1,2)时，不等式x2mx40(a0)的解集是x|xd，则下列四个结论中正确的是()Aa24bBa24C若不等式x2axb0D若不等式x2axbc的解集为(x1，x2)，且|x1x2|4，则c42(2022湖南多校联考)若关于x的不等式x2(2a1)x2a0恰有两个整
5、数解，则a的取值范围是()ABCD3对于实数x，当且仅当nxN1(nN*)时，xn，则关于x的不等式4x236x450的解集为_4对于实数x，当且仅当nxn1(nN*)时，xn，则关于x的不等式4x236x450的解集为_.5设a0，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，求ba的最大值6已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2Rax2bxc0)的解集x|x1x0(0(a(a0)的解集为，|x|0)的解集为知识点求解一元二次不等式的三个步骤1解一元二次方程ax2bxc0得到根
6、；2结合二次函数yax2bxc的图象；3写出一元二次不等式的解集知识点与一元二次不等式有关的恒成立问题1二次不等式ax2bxc0的解集为R的条件是2二次不等式ax2bxc0；(2)4x218x0； (3)2x23x20【答案】见解析【解析】(1)因为72423250，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2.又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为2x23x20，因为942270，所以方程2x23x20无实根，又二次函数y2x23x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为x26x
7、100，(6)24040，所以方程x26x100无实根，又二次函数yx26x10的图象开口向上，所以原不等式的解集为.例2要使有意义，则x的取值范围为_【答案】x|7x0，得x26x70，即(x7)(x1)0，所以7x1.题型二、解含参不等式例3已知ax2(a1)x10)，求不等式的解集【答案】见解析【解析】原不等式变为(ax1)(x1)0，所以a(x1)1时，解集为；当a1时，解集为；当0a1时，解集为.综上，当0a1时，不等式的解集为.例4解关于x的不等式x2ax10.【答案】见解析【解析】由题意知，a24，当a240，即a2或a2时，方程x2ax10的两根为x，原不等式的解为x.若a24
8、0，则a2.当a2时，原不等式可化为x22x10，即(x1)20，x1；当a2时，原不等式可化为x22x10，即(x1)20，x1.当a240，即2a2或a2时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为1；当a2时，原不等式的解集为1；当2a2时，原不等式的解集为.例5解关于x的不等式ax2(a1)x10(aR)【答案】见解析【解析】若a0，原不等式转化为x11.若a0，此时对应方程(x1)0的两个根为x1，x21，所以原不等式的解集为.若a0，原不等式转化为(x1)1，即0a1时，原不等式的解集为；当1时，原不等式的解集为.综上所述，当a0时，原不等式的解集为x|x1；当a0时，原不等式
9、的解集为；当0a1时，原不等式的解集为.题型三、利用不等式的解求参数问题例6若关于x的不等式ax2bx20的解集为，则ab_.【答案】14【解析】依题意知解得ab14.例7关于x的不等式x22ax8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()ABCD【答案】A【解析】法一：x22ax8a20可化为(x2a)(x4a)0.a0且解集为(x1，x2)，则x12a，x24a，x2x16a15，解得a.法二：由条件知x1，x2为方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，结合a0得a.例8
10、不等式x2ax44或a4Ba|4a4Ca|a4或a4Da|4a4【答案】A【解析】不等式x2ax40的解集不是空集，即不等式x2ax40，解得a4或a4.题型四、一元二次不等式恒成立问题例9一元二次不等式ax2ax10对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】(4,0)【解析】依题意知即4a4xp3，当0p4时恒成立，则x的取值范围是()A1,3B(，1C3，)D(，1)(3，)【答案】D【解析】不等式x2px4xp3可化为(x1)px24x30，由已知可得(x1)px24x3min0(0p4)，令f(p)(x1)px24x3(0p4)，可得x3.题型五、一元二次不等式实际应用例12在如
11、图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是_【答案】x|10x30【解析】设矩形的另一边长为y m，则由相似三角形的性质知，y40x，xy300，x(40x)300，x240x3000，10x30.例13用可围成32 m墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？【答案】当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值为.【解析】设长方形的一边(垂直于旧墙)长为x m，则另一边长为，总面积，当时，答：当长方形一边(垂直于旧墙)为
12、，另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值为.l 达标训练1不等式2x3x20的解集是()Ax|1x3或x1Cx|3x1或x3【答案】A【解析】原不等式变形为x22x30，即(x3)(x1)0，解得1x3.2关于x的不等式x22mx15m20(m0)的解集区间为(a，b)，且ba18，则m()A2 B 1C D【答案】D【解析】不等式可化为(x5m)(x3m)0，因为m0，所以不等式的解集为(3m，5m)，所以a3m，b5m，即ba8m18，解得m.3已知集合Ax|0x1，Bx|x22(m1)xm0，若AB，则实数m的取值范围是()A(，1) B(1, 0)C1,0) D(，0)【答案】B【解析】
13、若满足AB，则需满足解得1m0.4(2022南通模拟)不等式(m1)x2mxm10的解集为，则m的取值范围是()Am1 BmCm Dm或m【答案】B【解析】不等式(m1)x2mxm10且(m)24(m1)(m1)0，解得m.综上，实数m的取值范围是m.5已知关于x的不等式x24xa23a在R上有解，则实数a的取值范围是()Aa|1a4 Ba|1a4Ca|a4或a1 Da|4a1【答案】A【解析】因为关于x的不等式x24xa23a在R上有解，即x24xa23a0在R上有解，只需yx24xa23a的图象与x轴有公共点，所以(4)24(a23a)0，即a23a40，所以(a4)(a1)0，解得1a4
14、，所以实数a的取值范围是a|1a46当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是()A(，4 B(，5)C(，5 D(5，4)【答案】C【解析】令f(x)x2mx4，当x(1,2)时，f(x)0恒成立，即解得m5.7关于x的不等式axb0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x3)0的解集是_.【答案】(1,3)【解析】关于x的不等式axb0即axb的解集是(1，)，ab0，不等式(axb)(x3)0可化为(x1)(x3)0，解得1x3，所求不等式的解集是(1,3)8已知函数f(x)x2ax3.(1) 当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2) 当x2,2时
15、，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3) 当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围【答案】见解析【解析】 (1) 因为当xR时，x2ax3a0恒成立，所以a24(3a)0，即a24a120，解得6a2，所以实数a的取值范围是6,2(2) 由题意，可转化为x2ax3a0在x2,2上恒成立，则(x2ax3a)min0(x2,2)令g(x)x2ax3a，x2,2，函数图象的对称轴方程为x.当4时，g(x)ming(2)73a0，解得a，舍去；当22，即4a4时，g(x)minga30，解得6a2，所以4a2；当2，即a4时，g(x)ming(2)7a0，解得a7，所以7a0(a0)的
16、解集是x|xd，则下列四个结论中正确的是()Aa24bBa24C若不等式x2axb0D若不等式x2axbc的解集为(x1，x2)，且|x1x2|4，则c4【答案】ABD【解析】由题意，知a24b0，所以a24b，所以A正确；对于B，a2a224，当且仅当a2，即a时等号成立，所以B正确；对于C，由根与系数的关系，知x1x2b0，所以C错误；对于D，由根与系数的关系，知x1x2a，x1x2bcc，则|x1x2|x1+x224x1x224，解得c4，所以D正确2(2022湖南多校联考)若关于x的不等式x2(2a1)x2a1，即a时，不等式x2(2a1)x2a0的解集为x|1x2a，则32a4，解得
17、a2；当2a1，即a时，不等式x2(2a1)x2a0无解，所以a不符合题意；当2a1，即a时，不等式x2(2a1)x2a0的解集为x|2ax1，则22a1，解得1a.综上，a的取值范围是.3对于实数x，当且仅当nxN1(nN*)时，xn，则关于x的不等式4x236x450的解集为_【答案】x|2x8【解析】由4x236x450，得x，又当且仅当nxN1(nN*)时，xn，所以x2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为x|2x84对于实数x，当且仅当nxn1(nN*)时，xn，则关于x的不等式4x236x450的解集为_.【答案】2,8)【解析】由4x236x450，得x，又当且仅当nxn
18、1(nN*)时，xn，所以x2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为2,8)5设a0，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，求ba的最大值【答案】【解析】当ab0时，x(a，b)，2xb0，所以(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，可转化为x(a，b)，a4x2，所以a4a2，所以a0，所以0ba；当a0b时，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，当x0时，(4x2a)(2xb)ab0，不符合题意；当a0b时，由题意知x(a,0)，(4x2a)2x0恒成立，所以4x2a0，所以a0，所以ba.综上所述，ba的最大值为.6已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；(2)若对于任意x1,1，不等式tf(x)2恒成立，求t的取值范围【答案】(1)2，1) (2)【解析】(1)因为不等式f(x)0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x2bxc0的两个实数根，可得解得所以f(x)2x210x.不等式组即解得因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得65k7，解得2k0时，有，即解得t，所以0t；当t0时，函数ytx25tx1在1,1上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以t5t10，解得t，即t0，综上，t的取值范围是.