1、 数学试题（理工类）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于（ ）A-6 B C D23.设等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）A27 B36 C45 D544.下列命题错误的是（ ）A命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”B若命题，则C中，是的充要条件D若向量满足，则与的夹角为钝角5.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）A B C D6.若用下边的程序框图求数列的前
2、100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ）ABCD7.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是（ ）A B C D8.已知实数满足约束条件，则的最小值是（ ）A B2 C D19.已知的外接圆半径为1，圆心为，且，则的面积为（ ）A B C D10.已知双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰过它们的公共焦点，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（ ）A B C D11.已知满足，则（ ）A B C D12.已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填
3、在答题纸上）13.已知的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 14.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 15.已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有 16.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知分别是的三个内角的对边，.（1）求角的值；（2）若，边上的中线的长为，求的面积.18. （本小题满分12分）某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别的关系，随机抽
4、取50名学生，得到下面的数据表：（1）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选修倾向变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握最大；（2）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷，若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去倾向“坐标系与参数方程”人数的差为，求的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且平面，点是棱的中点.（1）若，求点到平面的距离；（2）过直线且垂直于直线的平面交于点，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.2
5、0. （本小题满分12分）已知抛物线经过点，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.（1）求线段的长；（2）设不经过点和的动直线交于点和，交于点，如果直线的斜率依次成等差数列，判断直线是否过定点，并说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数，其中，是自然对数的底数.（1）若方程无实数根，求实数的取值范围；（2）若函数在内为减函数，求实数的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，内接于圆，为圆的直径，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交和圆于点，若.（1）求证：；（2）求的值.2
6、3. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线：（为参数），：（为参数）.（1）求的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若上的点对应的参数，为上的动点，求中点到直线距离的最小值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若，且，求证：.参考答案DBDDC BAADA BC13. 40 14. 15. 48 16. 17.解：（1）由，得，所以，因为，所以，.（2）在中，18.（1）选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”， ，所以这两种选择与性别无关；选择倾向“
7、平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”，因为，所以可以有99%以上的把握，认为“坐标系与参数方程”和“平面几何选讲”这两种选择倾向与性别有关；选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”，因为，所以可以有99%以上的把握，认为“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种选择倾向与性别有关.综上，“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种倾向与性别有关系的把握最大.（2）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为，所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3.依题意，得，故的分布列如下：所以.19.解：（1）设与相交于点，则，连接，平面，又，平面，平
8、面，平面平面，过作于点，则平面，为点到平面的距离，到平面的距离相等，在中，.（2）连接，则为直角三角形，设，过作于点，则平面，当且仅当时，最大，此时，以为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系，则有，设平面的一个法向量为，则有，取，则有，直线平面，平面的一个法向量为，易知二面角的平面角为锐角，则.20.解：（1）由抛物线经过点，得，故，的方程为，在第一象限的图象对应的函数解析式为，则，故在点处的切线斜率为，切线的方程为，令，得，所以点的坐标为，故线段的长为2.（2）由题意可知的方程为，因为与相交，故，由，令，得，故，设，由，消去得：，则，直线的斜率为，同理直线的斜率为，直线的斜率为，因为直线的斜率
9、依次成等差数列，所以，即，整理得：，因为不经过点，所以，所以，即，故的方程为，即恒过定点.21.解：（1）由，得，即，无负实根.故有，令，则，由，得，由，得，在上单调递增，在上单调递减，的值域为，要使得方程无实数根，则，即.（2），由题意知，对，恒成立，不妨设，有，而当时，故.当，且时，.而当时，有，故，所以，所以在内单调递减，故当时满足题意，当时，且，即.令，则，.当时，此时，则当时，故在单增，与题设矛盾，不符合题意，舍去.所以，当时，函数是内的减函数.22.（1）是圆的切线，又是公共角，.（2）由切割线定理得：，又，又是的平分线，,，又由相交弦定理得：.23.（1），的圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点的椭圆.（2）当时，故，为直线，到的距离，从而当，时，取得最小值.24.（1）由题意，原不等式等价为，令，所以不等式的解集是.（2）要证，只需证，只需证，而，从而原不等式成立.
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