1、【高效整合篇】专题十一 选修部分一、考场传真1【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】（选修41：几何证明选讲）如图，为的直径，直线与相切于点，、为垂足，连接. 若，求的长.ABDEO第21(A)题图C【答案】【解析】2.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】（选修42：矩阵与变换）设矩阵的一个特征值为，若曲线在矩阵变换下的方程为，求曲线的方程.【答案】【解析】3.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】（选修44：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点的极坐标为，圆的极坐标方程为，试判断点和圆的位置关系【答案】点在圆外【解析】试题分析：先根据将点的
2、极坐标化为直角坐标为，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，再根据点A到圆心距离得点在圆外. 试题解析：解：点的直角坐标为， 2分圆的直角坐标方程为， 6分则点到圆心的距离，所以点在圆外. 10分4.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】(选修45：不等式选讲）已知正实数满足.求证：【答案】详见解析【解析】5.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】直三棱柱中，.（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的大小为，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先建立恰当的空间直角坐标系，设出各点坐标，明确，利用方程组求出平面的法向量，再根据向量数量
3、积求出，最后根据线面角与向量夹角关系得直线与平面所成角的正弦值为. （2）因为平面的一个法向量为，所以只需利用方程组表示平面的法向量，再根据向量数量积求出，又二面角的大小为，所以，解得6.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】设集合，记的含有三个元素的子集个数为，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为.（1）求，的值；（2）猜想的表达式，并证明之.【答案】（1），.（2）【解析】（2）猜想. 5分下用数学归纳法证明之.证明：当时，由（1）知猜想成立；假设当时，猜想成立，即，而，所以得. 6分则当时，易知，而当集合从变为时，在的基础上增加
4、了1个2，2个3，3个4，和个， 8分所以，即.所以当时，猜想也成立.综上所述，猜想成立. 10分（说明：未用数学归纳法证明，直接求出来证明的，同样给分.）7. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】（本小题满分10分） 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向.已知该网民购买种商品的概率为，购买种商品的概率为，购买种商品的概率为.假设该网民是否购买这三种商品相互独立.（1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.【答案】（1）（2）0123【解析】 所以该网民至少购买2种商品的概率为 . 答：该网民
5、至少购买2种商品的概率为. 5分（2）随机变量的可能取值为, , 又, , 所以. 所以随机变量的概率分布为：0123 8分 故数学期望. 10分8.【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】（本小题满分10分） 如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形.除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为，其中（），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为. （1）当k=4时，若要求为2的
6、倍数，则有多少种不同的标注方法？ （2）当k=11时，若要求为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？ （第23题图）【答案】（1）8（2）640【解析】试题分析：（1）本题方法为逆推：设第4层标注数字依次为，则第3层标注数字依次为，第2层标注数字依次为，所以第1层标注数字=为2的倍数，即是2的倍数，共有1+1=8种标注方法.（2）同样设第11层标注数字依次为，则第10层标注数字依次为，第9层标注数字依次为，以此类推，可得=是3的倍数，即只要是3的倍数. 共有（1+）=640种标注方法.试题解析：解：（1）当k=4时，第4层标注数字依次为，第3层标注数字依次为，第2层标注数字依次为， 所以=. 2
7、分因为为2的倍数，所以是2的倍数，则四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，所以共有1+1=8种标注方法. 4分 考点：归纳，组合数性质9 【扬州市20152016学年度第一学期期末检测试题】已知函数，设数列满足：，.（1）求证：，都有；（2）求证：【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】由，可知，对任意的正整数，都有 4分（2）由（1）可得两边同时取为底的对数，可得化简为所以数列是以为首项，为公比的等比数列 7分，化简求得：，时， 时，时， 10分10. 【泰州市2016届高三第一次模拟考试】已知，若存在互不相等的正整数，使得同时小于，则记为满足条件的的最大值（） 求的值；（） 对于给
8、定的正整数，（）当时，求的解析式；（）当时，求的解析式【答案】(1) (2)(i) (ii) 【解析】（）由题意，当时，设，显然，时，满足，从集合中选出的至多个， 时，从集合中选出的必不相邻，又从集合中选出的至多个，从集合中选出的至多个，放置于从集合中选出的之间， 6分或写成，（），此时，（），满足题意，10分（写出（）、（）题的结论但没有证明各给分）二高考研究选修4-1 几何证明选讲1考纲要求：了解平行线分线段成比例定理，会使用直角三角形射影定理；会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理；会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理2命题规律：从高考的试题
9、上看，多与圆结合考查相似三角形的应用，并结合相交弦定理、切割线定理等知识，涉及到与圆有关的比例线段的计算与证明，着重考查圆幂定理的应用及推理论证的能力选修4-2 矩阵与变换1考纲要求：了解二阶矩阵，会求二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换；了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵；会求二阶方阵的特征值与特征向量2命题规律：从高考的试题上看，这部分主要以简单计算为主，会用二阶行列式求逆矩阵，掌握二阶矩阵的乘法等即可选修4-4 坐标系与参数方程1考纲要求：理解坐标系的作用，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的
10、参数写出直线、圆、椭圆的参数方程；掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题2命题规律：从高考的试题上看，主要考查两个方面，其一极坐标的建立，极坐标系下的点的坐标的表示，几种简单曲线的极坐标系方程的求法和极坐标与直角坐标的互化；其二直线、圆与椭圆的参数方程及应用，并通过参数方程与普通方程的互化考查直线与圆、椭圆的位置关系选修4-5 不等式选讲1考纲要求：理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：、；会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：、；了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法2命题规律：从高考的试题上看
11、，通常考查含一个或两个绝对值号的不等式的求解，以直接求解方式为多；而不等式的证明多与不等式的性质、基本不等式、数列等知识相结合来考查散型随机变量的均值、方差1考纲要求：能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题2命题规律：离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，解答题形式，属中档题，常与排列组合概率等知识综合命题排列组合、二项式定理1.考纲要求（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合理解排列、组合的概念.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.能解决
12、简单的实际问题.（3）二项式定理能用计数原理证明二项式定理.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.命题规律排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想. 排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一与二项式定理综合问题较难 一基础知识整合1几何证明选讲部分，需要核心关注与圆有关的比例线段、圆幂定理的应用及推理论证，于是相似三角形与圆内接四边形是主要的转换形式2矩阵与变换部分，着重掌握用二阶行列式求逆矩阵、二阶矩阵的乘法等基础计算3坐标系与参数方程部分，着重掌握极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化，当然通过
13、极坐标方程、参数方程考查直线与圆、椭圆的位置关系是命题的热点4不等式选讲部分，以考查含一个或两个绝对值号的不等式的求解为主，通常不等式中带有参数，于是分类讨论去绝对值是必然的选择5离散型随机变量的均值与方差（1）均值：；（2）方差：；（3）性质：；6两点分布与二项分布的均值与方差（1）若服从两点分布，则；（2）若，则7直方图的三个常用结论（1）小长方形的面积=组距=频率；（2）各长方形的面积和等于1；（3）小长方形的高=8.排列、组合数相关性质排列:；组合:, .9. 二项式定理，二高频考点突破考点1 几何证明选讲【例1】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】选修41：几何证明选讲（本小
14、题满分10分） 如图，已知是的直径，是的弦，的平分线交于，过点作交的延长线于点，交于点若，求的值ABCDEFO(第21-A题)【答案】【解析】因为/，所以=【规律方法】与圆有关的线段求解，主要是通过相似三角形建立相似比来求解，从而证明三角形相似是核心，而在园内证明三角形相似主要是通过圆周角定理或圆心角定理证明角相等【举一反三】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】（选修：几何证明选讲）如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C若AB = 2 BC ，求证：【答案】详见解析【解析】考点2 矩阵与变换【例2】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考
15、试】选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为1，属于特征值4 的一个特征向量为2求矩阵A，并写出A的逆矩阵A1【答案】，【解析】【规律方法】本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法特征向量的求法，考查运算求解能力注意矩阵乘法不满足交换律，即，矩阵与变换所涉及的内容并不多，在平时只要注意归纳，并且计算过关此题可以轻松拿下【举一反三】【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】选修42：矩阵与变换已知矩阵A，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2 求矩阵A，并写出A的逆矩阵【答案】A， A的逆矩阵是【解析】考点3 坐标系与参数方
16、程【例3】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C： （j为参数）的右焦点F（1）求m的值；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求的最大值与最小值【答案】（1）；（2）或；【解析】试题分析：（1）将参数方程转化为普通方程，求出椭圆的右焦点代入直线方程的；（2）利用直线参数方程中参数的几何意义求解；试题解析：（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得，因为,则点的坐标为.因为直线经过点，所以. （2）将直线的参数方程代入椭圆的普通方程，并整理得：. 设点在直线参数方程中对应的参数分别为，则=当时，取最大值；当时，取
17、最小值 【规律方法】参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标之间的互化，熟练简单曲线的极坐标是解答本类问题的关键【举一反三】【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】选修44：极坐标与参数方程已知圆的极坐标方程为：（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P(x，y)在该圆上，求xy的最大值和最小值【答案】（1）；（2）最大值为6，最小值为2【解析】（2）圆的参数方程为 所以， 那么xy最大值为6，最小值为2考点4 不等式选讲【例4】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知x，y，z均为正数求证：【答案】详见解析；【解析】试题分析：两两组合，利用均值
18、不等式证明；试题解析：因为x，y，z都是为正数，所以 同理可得，当且仅当xyz时，以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得【规律方法】含绝对值不等式的解法，属于直接运用与恒成立相结合分段函数的图像以及含绝对值不等式的最值问题的解法，考查学生数形结合的能力、分类讨论思想以及化归与转化思想【举一反三】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】（选修：不等式选讲）已知实数a，b，c，d满足，求a的取值范围【答案】【解析】考点5 均值与方差的实际应用【例5】【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】(本题满分10分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志
19、愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望【答案】（1）150；（2）的分布列为：0123.【解析】试题解析：（1）因为小矩形的面积等于频率，所以除外的频率和为0.70，所以，所以500名志愿者中，年龄在岁的人数为(人)；3分故的分布列为：01
20、23所以10分【规律方法】求解离散型随机变量均值与方差的主要步骤：(1)求出随机变量的所有可能的取值；(2)计算随机变量取各个值的概率，列出概率分布列；(3)按照公式计算均值（数学期望）与方差【举一反三】【泰州市2015届高三第三次调研测试】袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn （1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；（2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式【答案】(1)X2345P.(2).X
21、2345P（一个概率得一分 不列表不扣分）数学期望E(X2)= 5分（2）设P(Xn=3+k)=pk，k=0，1，2，3，4，5则p0+p1+p2+p3+p4+p5=1，E(Xn)=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5P(Xn+1=3)=，P(Xn+1=4)=p0+p1，P(Xn+1=5)=p1+p2，P(Xn+1=6)=p2+p3，P(Xn+1=7)=p3+p4，P(Xn+1=8)=p4+p5， 7分所以，E(Xn+1)=3p0+4(p0+p1)+5(p1+p2)+6(p2+p3)+7(p3+p4)+8(p4+p5)=p0+p1+p2+p3+p4+p5=(3p0+4p1+5p2+6
22、p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5=E(Xn)+1 9分由此可知，E(Xn+1)-8=(E(Xn)-8)又E(X1)-8=，所以E(Xn)= 10分考点6 排列、组合及性质【例6】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】（本小题满分10分）设整数3，集合P1，2，3，n，A，B是P的两个非空子集记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数 （1）求a3； （2）求an【答案】（1）5；（2）an【解析】试题解析：（1）当3时，P1，2，3 ， 其非空子集为：1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3， 则所有满足题意的集合对(
23、A，B)为：(1，2)，(1，3)，(2，3)， (1，2，3），（1，2，3)共5对， 所以a3； （2）设A中的最大数为k，其中,整数3， 则A中必含元素k，另元素1，2，k可在A中，故A的个数为： ， B中必不含元素1，2，k，另元素k1，k2，n可在B中，但不能 都不在B中，故B的个数为：， 从而集合对(A，B)的个数为， 所以an【规律方法】通过观察式子的结构，利用排列数和组合数的相关性质及二项式系数的相关性质以含有排列、组合数结构的代数式进行化简，有时需要拆分、拼凑项来进行结构重组.【举一反三】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】（本小题满分10分）设且，集合的所
24、有个元素的子集记为（1）求集合中所有元素之和；（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值【答案】（1）（2）【解析】 （2）集合的所有个元素的子集中：以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个； 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个； 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个 ， 考点6 二项式定理与其他知识交汇【例6】【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】(本题满分10分)若一个正实数能写成的形式，则称其为“兄弟数”.求证：（1）若为“兄弟数”，则也为“兄弟数”；（2）若为“兄弟数”，是给定的正奇数，则也为“兄弟数”.【答案】证明见解析.【解析】又，故，这样就得为“兄
25、弟数”.试题解析：（1）设，则，是“兄弟数”【规律方法】二项式定理内容的考查常出现二项式内容与其它知识的交汇、整合，这是命题的一个创新方向如二项式定理与函数、数列、复数，不等式等其他知识点综合成题时，对其他模块的知识点要能熟练运用.【举一反三】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】在自然数列中，任取个元素位置保持不动，将其余个元素变动位置，得到不同的新数列由此产生的不同新数列的个数记为 求； 求； 证明，并求出的值【答案】（1）3；（2）24；（3）详见解析，；【解析】试题分析：（1）直接列举求解；（2），,其实；（3）由关系式，结合，可证得，进而通过构造的递推关系式求通项或者直接有；三
26、错混辨析1忽视参数的符号【例1】已知，不等式的解集为 ()求a的值；()若恒成立，求k的取值范围【错因】() 由得，即，又的解集为，即() 记，则，因此【正解】()由得，又的解集为，当时，不合题意；当时，得，即()记，则，因此 2基本概念理解不清【例2】直线与圆相交的弦长为 【错因】由，则弦长=【正解】是过点且垂直于极轴的直线，是以为圆心，1为半径的圆，则弦长=1【原创题】如图，ACAB，BEAB，AB10，AC2，用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P在线段AB上滑动，一直角边始终经过点C，另一直角边与BE相交于点D，若BD8，则AP的长为_【答案】2或8【题后反思】本题强调动手能力，用身边
27、的实物建模，构造相似三角形，这是此题的一个亮点2【新颖题】在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，)，(4，)，则AOB(其中O为极点)的面积为_【答案】3【解析】如图SAOB34sin ()3【题后反思】本题把极坐标放在三角形内进行考查，角度新颖，而且难度降低，体现新课标注重知识点的内涵与本质这一特点3【改编题】若不等式|2xm|3x6|恒成立，则实数m的取值范围为_【答案】4【解析】在同一直角坐标系中分别画出函数y|2xm|及y|3x6|的图象(如图)，由于不等式|2xm|3x6|恒成立，函数y|2xm|的图象在y|3x6|的图象的下方，因此，函数y|2xm|的图象也必须经过点(2，0)，m44【原创题】设函数，(1) 解不等式；(2) 设函数，在上恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)不等式的解集为；(2)5【改编题】在极坐标系内，已知曲线的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）(1) 求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；(2) 设点为曲线上的动点，过点作曲线的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围【答案】(1)曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；(2)两条切线所成角的余弦值的取值范围是