1、【高效整合篇】专题八 圆锥曲线（理科）一考场传真1. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为 .【答案】【解析】试题分析：由题意设抛物线方程为，又因为过点，则p=即为焦点到准线距离2. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为 .【答案】【解析】 3. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】双曲线的离心率为 【答案】【解析】试题分析：由题意得4. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】若直线和直线将圆
2、分成长度相等的四段弧，则 【答案】18【解析】 5. 【扬州市20152016学年度第一学期期末检测试题】双曲线的焦点到渐近线的距离为 .【答案】4【解析】试题分析：焦点，渐近线，即，则6. 【扬州市20152016学年度第一学期期末检测试题】已知圆O：，若不过原点O的直线与圆O交于、两点，且满足直线、的斜率依次成等比数列，则直线的斜率为 .【答案】【解析】试题分析：设，代入圆的方程，化简得：设，得， ，由得解得7. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 【答案】 8. 【泰州市2016届高三第一次模拟考试】在平面直角坐标系中，双曲线的
3、实轴长为 【答案】【解析】试题分析：由双曲线方程得，则实轴长为9. 【泰州市2016届高三第一次模拟考试】已知直线与圆相交于两点，若，则 【答案】【解析】试题分析：圆心，半径为1，圆心到直线距离，而，得，解得10. 【泰州市2016届高三第一次模拟考试】在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是 【答案】【解析】二高考研究1.考纲要求：(1)直线方程：在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.能根据两条直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.掌握正确直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种
4、形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.(2)圆与方程：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.()圆锥曲线：了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.知道它的简单几何
5、性质.了解圆锥曲线的简单应用.理解数形结合的思想(2)曲线与方程：了解方程的曲线与与曲线方程的对应关系.2.命题规律：1、题量稳定：解析几何与立体几何相似，在高考试卷中试题所占分值比例较大.一般地，解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目左右，其中选择题、填空题占两道，解答题占一道；其所占平均分值为22分左右，所占平均分值比例约为14%.2、整体平衡，重点突出：重点内容重点考，重点内容年年考.以2014年全国新课标卷数学高考考试说明为参考，可理解为有19个知识点，一般考查的知识点在60左右，其中三大圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点， 对支撑
6、数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是考查定义的理解和应用，有的是求圆锥曲线的标准方程，有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）；直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；与曲线有关的几
7、何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)；探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少)；3、题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定.解析几何试题的难度都不算太大，选择题、填空题大多属易中等题，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题.高考一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，解答题加大与相关知识的联系（如向量、函数与导数、方程、不等式等），难度不是太大，所有问题均很直接，都不具备探索性.特别是近几年的解答题都与圆有关，计算量减少，但思考量增大，对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题
8、，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低. 若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功. 试题平均难度为0.29（其中选择、填空难度0.150.52，平均难度0.29，解答题难度在0.110.30，平均难度0.17）.一基础知识整合基础知识：1. 直线的倾斜角和斜率：任何直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，如倾斜角等于90时，斜率不存在；若两直线的倾斜角相等，斜率相等或都不存在；若两条直线的斜率相等，则两直线的倾斜角相等；当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率也越大；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率也越大；与
9、轴平行或重合的直线的倾斜角为零，斜率也为零；2. 直线的方程：点斜式：； 截距式：；两点式：； 截距式：；一般式：，其中A、B不同时为0.3两条直线的位置关系：两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.两直线平行两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；两直线垂直两直线的斜率之积为或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零；与已知直线平行的直线系方程为；若给定的方程是一般式，即l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20，则有下列结论：l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2
10、B1B20.两平行直线间距离公式：与的距离圆的有关问题：圆的标准方程：（r0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r，特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为，几种特殊的圆的方程 设圆的圆心为，半径为（1）若圆过坐标原点，则圆的标准方程为：（2）若圆与x轴相切，则圆的标准方程为：（3）若圆与y轴相切，则圆的标准方程为：（4）若圆心在x轴上，则圆的标准方程为：（5）若圆心在y轴上，则圆的标准方程为：（6）若圆与坐标轴相切，则圆的标准方程为：或圆的一般方程：（0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（，），半径为.当=0时，方程表示一个点（，）；当0时，方程不表示任何图形.圆
11、的参数方程：圆的普通方程与参数方程之间有如下关系： （为参数） （为参数）直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系的判断：【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则（1）直线与圆相交直线与圆有两个公共点；（2）直线与圆相离直线与圆无公共点；（3）直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点；【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则 （1）直线与圆相交直线与圆有两个公共点；（2）直线与圆相离直线与圆无公共点；（3）直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点；若直线与圆相交，设弦长
12、为，弦心距为，半径为，则圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系的判断：设两个圆的圆心分别为，半径分别为，则 （1）圆与圆相离两个圆有四条公切线；（2）圆与圆相交两个圆有两条公切线；（3）圆与圆相外切两个圆有三条公切线；（4）圆与圆相内切两个圆有一条公切线；（5）圆与圆相内含两个圆没有公切线；若圆与圆相交，则公共弦所在的直线方程为；椭圆及其标准方程：椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|，则这样的点不存在；若距离之和等于|，则动点的轨迹是线段.椭圆的标准方程：（0），（0）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项
13、的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或；椭圆的参数方程： 椭圆（0）的参数方程为（为参数）.说明 这里参数叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角与直线OP的倾斜角不同：； 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为（0）.范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.对称性：分别关于
14、x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的第二定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e1时，这个动点的轨迹是椭圆.准线：根据椭圆的对称性，（0）的准线有两条，它们的方程为.对于
15、椭圆（0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形的周长为定值等于，面积等于，其中是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为双曲线及其标准方程：双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的
16、差的绝对值等于常数2a（小于|）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|，则动点的轨迹是两条射线；若2a|，则无轨迹.若时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：和（a0，b0）.这里，其中|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判
17、断焦点在哪一条坐标轴上.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或双曲线的简单几何性质双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率1，离心率e越大，双曲线的开口越大.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们
18、对应的准线方程分别是和.在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于，其中是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为9抛物线的标准方程和几何性质抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线.需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线.抛物线的方程有四种类型：、.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪
19、个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向.抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例（1）范围：x0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；（5）准线方程；（6）焦半径公式：抛物线上一点，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0）： （7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2
20、=2px（pO）的焦点F的弦为AB，A，B，AB的倾斜角为，则有或，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求.在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切；10轨迹方程： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）11直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示
21、直线与其相切或直线与其对称轴平行直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦直线被圆锥曲线所截得弦为，则长为，其中为直线的斜率直线与圆锥曲线相交问题的解法：利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）代入（即将端点代入曲线方程）作差（即两式相减）得出中点坐标与斜率的关系.韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解必备方法：1.点差法（中点弦问题）设、，为椭圆的弦中点则有，；两式相减得=2联立消元法： 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未
22、知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之.若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理.一旦设直线为，就意味着存在.3设而不求法例：如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围.分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力.建立直角坐标
23、系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,建立目标函数，整理,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得， ，设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得， 由式得 ， 将式代入式，整理得 ，故 由题设得，解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用
24、的横坐标表示，回避的计算, 达到设而不求的解题策略解法二：建系同解法一，又，代入整理，由题设得，解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 4.判别式法例：已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标.分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即
25、所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程有唯一解简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为： 于是，问题即可转化为如上关于的方程.由于，所以，从而有于是关于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于.由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例：已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题
26、困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手.其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可. 据此设计出如下解题思路： 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x4)+1，消去参数k点Q的轨迹方程在得到之
27、后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程.从而简化消去参的过程.简解：设，则由可得：，解之得： （1）设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程： （2） ，代入（1），化简得： (3)与联立，消去得：在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得 故知点Q的轨迹方程为： （）.点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通
28、道.5.求根公式法例：设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，
29、其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得，解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 =.由 , 解得 ，所以，综上 .分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与
30、联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则，令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以 ，解得.结合得. 综上，.点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别
31、式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.椭圆与双曲线的经典结论一椭圆1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若
32、在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆（ab0）的焦半径公式：,( , ).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦
33、，M为AB的中点，则，即.12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.14. 椭圆（abo）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.15. 过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.16. 若P为椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.17. 设椭圆（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记, ,，则有.18. 若椭圆（ab0）的左、右焦点分别为F1
34、、F2，左准线为L，则当0e时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.19. P为椭圆（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.20. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.21. 已知椭圆（ab0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.22. 过椭圆（ab0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.23. 已知椭圆（ ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.24. 设P点是椭圆
35、（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .25. 设A、B是椭圆（ ab0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .26. 已知椭圆（ ab0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.28. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.29. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距
36、离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）30. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.31. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.二、双曲线1.点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2.PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若在双曲线（a0,b0）上，则过的
37、双曲线的切线方程是.6.若在双曲线（a0,b0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8.双曲线（a0,bo）的焦半径公式：( , ，当在右支上时，,.当在左支上时，,9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N
38、，则MFNF.11.AB是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即.12.若在双曲线（a0,b0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13.若在双曲线（a0,b0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.14.双曲线（a0,b0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.15.过双曲线（a0,bo）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.16.若P为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.17.设双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、
39、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记, ,，则有.18.若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1e时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.19.P为双曲线（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.20.双曲线（a0,b0）与直线有公共点的充要条件是.21.已知双曲线（ba 0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.22.过双曲线（a0,b0）的右焦点F作直线交该双
40、曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.23.已知双曲线（a0,b0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.24.设P点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .25.设A、B是双曲线（a0,b0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .26.已知双曲线（a0,b0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以
41、长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.28.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.29.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).30.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.31.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：2、直线的一般式方程：
42、任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式.3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)与直线垂直的直线可表示为.4、两平行线间的距离为.5、若直线与直线平行则 （斜率）且（在轴上截距） （充要条件）6、圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆.二元二次方程表示圆的充要条件是且且.7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为.圆的参数方程的主要应用是三角换元：；8、为直径端点的圆方程切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）9、弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程
43、为两圆公共弦所在直线方程.二高频考点突破考点1 直线方程【例1】【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 【答案】2【规律方法】若给定的方程是一般式，即和，则有下列结论：且；. 给定两条直线和，则有下列结论：且；求解两条直线平行的问题时，在利用建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性求直线方程就是求出确定直线的几何要素，即直线经过的点和直线的倾斜角，当直线的斜率存在时，只需求出直线的斜率和直线经过的点即可对于直线的点斜式方程和两点式方程，前者是直线的斜率和直线经过的一点确定直线，后者是两点确定直线【举一反三】【淮安市2014201
44、5学年度第二学期高二调查测试】已知直线，若，则实数的值是 【答案】0或3【解析】试题分析：由题意得：考点2 圆的方程及应用【例】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60，则圆M的方程为 【答案】【解析】试题分析：当P在圆C上运动时APB恒为60，圆M与圆C一定是同心圆，可设圆M的方程为(x1)2y2r2.当点P坐标是(3，0)时，设直线AB与x轴的交点为H，则MHHP2，MH，AB2，所以22，解得r1，所
45、以所求圆M的方程为(x1)2y21.【规律方法】求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.其一般步骤：根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；利用条件列出关于，或的方程组；解出，或的值，代入标准方程或一般方程，此外，根据条件要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量【举一反三】【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】已知点，圆点是圆上任意一点，若为定值，则_.【答案】0考点 直线与圆的位置关系【例】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知若直线上总存在
46、点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的最小值为_【答案】1【解析】试题分析：因为过点的的两条切线互相垂直，所以点到圆心的距离为，又因为直线上总存在这样的点，所以圆心到直线的距离为，则【规律方法】直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离与半径的关系确定，相切；相交，此时半弦长、弦心距、半径构成直角三角形；时相离.解有关直线与圆的相交问题要灵活运用圆的几何性质，特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，满足勾股定理圆的切线问题一般利用求解，但要注意切线斜率不存在的情形，与圆有关的最值，范围问题要注意数形结合思想的运用直线与圆中常见的最值问题：圆外一点与圆上任一点的距离的最值直线与圆相离，圆上任一点
47、到直线的距离的最值过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题两圆相离，两圆上点的距离的最值. 【举一反三】【淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟测试】在平面直角坐标系中，已知,若在以点为圆心，为半径的圆上存在不同的两点,使得，则的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：设点到直线AB距离为则由题意得,其中M为AB中点，因此，考点4 圆锥曲线的定义及标准方程【例】【扬州市20142015学年度第四次调研测试试题高三数学】已知椭圆E：的右焦点为F,离心率为,过原点O且倾斜角为的直线与椭圆E相交于A、B两点,若AFB的周长为,则椭圆方程为 【答
48、案】【规律方法】圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础.因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求求圆锥曲线标准方程常用的方法：(1)定义法；(2)待定系数法，顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为或 ()，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时不具有的几何意义椭圆的标准方程可设为，双曲线的标准方程可设为，这样可以避免讨论和繁琐的计算【举一反三】【淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟测试】(本小题满分16分) 如图，过椭圆的左顶点和下顶点且斜率均为的两直线分别交椭圆于，又交轴于，交轴于，且与相交于点.当时
49、，是直角三角形.（1）求椭圆L的标准方程；（2）证明：存在实数，使得；求|OP|的最小值. MCBADNPxyO【答案】 (1) (2) =，【解析】 =，转化为求二次函数最值，当时的最小值为.试题解析：（1）；4分由法一：由消参得点的轨迹方程为，所以的最小值为；16分法二：得，令，则=其中，的最小值为. 16分考点圆锥曲线的几何性质【例】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则双曲线的离心率为 【答案】2【规律方法】求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的等量关系，然后把用代换，求的值；在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心
50、率的范围问题关键是确立一个关于的不等式，再根据的关系消掉得到关于的不等式，由这个不等式确定的关系【举一反三】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为的两部分，则双曲线的离心率为 【答案】【解析】试题分析：设弦为OA，圆心为C，则,因此渐近线倾斜角考点 直线与圆锥曲线的位置关系【例】【盐城市2015届高三年级第三次模拟考试】 (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为
51、，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.第18题【答案】（1）；（2）；（3）存在定值，2，理由略.【解析】（3）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有，当直线与轴垂直时，由，解得的值，即知若存在点，此时，为定值2. 根据对称性，只需考虑直线过点，设，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，利用韦达定理化简即可得出.（3）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有，当直线与轴垂直时，由，解得，所以若存在点，此时，为定值2.根据对称性，只需考虑直线过点，设，又设直线
52、的方程为，与椭圆联立方程组，化简得，所以，又，所以，将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，使得为定值【规律方法】1.直线与椭圆的位置关系的判定方法将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若，则直线与椭圆相交；若，则直线与椭圆相切；若，则直线与椭圆相离.2.直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立，消去或，得到一个一元方程，或,)若，当时，直线与双曲线相交；当时，直线与双曲线相切；当时，直线与双曲线相离；若，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.3.直线与抛物线的位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立，消去或，得到一个一元方程，或，当时，用判
53、定，方法同上；当时，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线有一个交点.抛物线的过焦点的弦，若，则，弦长.同样可得抛物线，类似的性质4解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据韦达定理，进行整体代入即当直线与圆锥曲线交于点，时，而.【举一反三】【江苏省扬州中学2015届高三第四次模拟考试（5月）】（本小题满分15分）已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4，F1、F2为椭圆左、右焦点，点B为下顶点（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P(x0, y0)是椭圆C上第一象限的点 若M为线段BF1上一点，且满足，求直线OP的斜率； 设点O到直线PF1、PF2的距离分别为d1、d2，求证：为定值，并求出
54、该定值【答案】（1）；（2），证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由椭圆的离心率和短轴长计算a，b，c的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，（1）由椭圆的标准方程得到B、F点坐标，写出直线的方程，设出点M坐标，利用向量的坐标运算，得到，代入椭圆方程中，解出t，得到M点坐标；（2）利用P、F点的坐标，得到直线的方程，利用点到直线的距离，同理得到点到直线的距离，代入所求表达式中，计算得到常数即可.PF1PF22a 15分【或】SOPF1PF1d1OF1y0，PF1d1y0
55、，PF1同理在OPF2中，有PF2PF1PF22a 15分考点圆锥曲线中的范围问题【例】【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：相切于点M.（1）求椭圆C的方程；（2）求|PM|PF|的取值范围；（3）若OPOQ，求点Q的纵坐标t的值.OPMQFxy【答案】（1）；（2）（0,1）；（3）【解析】 法二：设，则直线OQ：，OPOQ，OPOQ=OMPQ12分，14分，16分【规律方法】求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目
56、标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围.求解特定字母取值范围问题的常用方法：(1)构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围(2)构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围(3
57、)数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解【举一反三】【南京市2015届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：xm1与x轴的交点为B，BF2m （1）已知点(，1)在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A(2，0)若椭圆C上存在点T，使得，求椭圆C的离心率的取值范围；当m1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若 ，m，求证：m为定值xyAOBMPQ（第18题图）F2F1l【答案】（1）；（2），；见解析.【
58、解析】（2）设点T(x，y)由，得(x2)2y22(x1)2y2，即x2y22 6分由 得y2m2m因此0m2mm，解得1m2所以椭圆C的离心率e， 10分因为l，m，所以lm6即m为定值6 16分学科网考点圆锥曲线中的存在性问题【例】【淮安市20142015学年度第二学期高二调查测试】已知椭圆（），点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于两点（1）求椭圆的标准方程； （2）若，求的面积；（3）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）（3）不存在【解析】解方程组，得，8分；10分【规律方法】所谓存在性问题，就是
59、判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程解决存在性问题应注意以下几点：1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；2)当给出结论而要推
60、导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(（组）或不等式（组）；第二步：解此方程（组）或不等式（组），若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论【举一反三】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】（本小题满分16分）如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存
61、在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在满足条件的圆，其方程为.【解析】从而故.从而，由得，因此.所以，故.因此，所求椭圆的标准方程为.圆的半径.综上，存在满足条件的圆，其方程为.学科网考点 圆锥曲线中的定值问题【例】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】(本小题满分16分) 已知椭圆过点，离心率为 （1）若是椭圆的上顶点，分别是左右焦点，直线分别交椭圆于，直线交于D，求证； （2）若分别是椭圆的左右顶点，动点满足，且交椭圆于点 求证：为定值.【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）易得且， （2）设， 易得直线的方程为， 代入椭圆,得，由得
62、， 从而， 所以.学科网 【规律方法】1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.(2.求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变化的参数表示直线方
63、程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量【举一反三】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，并且椭圆经过点，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值；（3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由第18题图【答案】（1）（2）详见解析（3）存在定圆【解析】试题分析：（1）利用两个独立条件建立方程组：解出得到椭圆的方程为（2）因为，所以点为线段AB中垂线上一点，因此本题设直线斜率表示量的关系，注意讨论斜率不存在或为0
64、的情况（3）若存在，则圆心到直线AM距离等于定值（圆的半径），由于OA与OM垂直，因此考虑圆心为O，考虑原点到直线的距离是否为定值，即是否为定值试题解析：（1）由题设：解得，椭圆的方程为 （3）由（2）得： 直线的斜率不存在或为0时，；直线的斜率存在且不为0时， 原点到直线的距离， 直线与圆相切，即存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切学科网考点 圆锥曲线中的最值问题【例】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，若直线上有且仅有一个点，使得 求椭圆的标准方程； 设圆的圆心在x轴上方，且圆经过椭圆两焦点点，分别为椭
65、圆和圆上的一动点若时, 取得最大值为，求实数的值(第18题)【答案】（1）；（2）；【解析】又圆心O到直线的距离， 所以 ，所以椭圆的标准方程为； 【规律方法】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解常见的几何方法有：(1)直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度；(2)圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|R，最小值为|P
66、C|R(R为圆C半径)；(3)过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过P点的直径，最短的弦为过P点且与经过P点直径垂直的弦；(4)圆锥曲线上本身存在最值问题，如椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为ac，ac，ac与ac分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近常用的代数方法有：(1)利用二次函数求最值；(2)通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；(3)利用基本不等式求最值；(4)利用导数法求最值；(5)利用函数单调性求最值. 【举一反三】【2015年高考模拟(南通市数学学
67、科基地命题)(6)】(本小题满分16分) 已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、（1）当切线PA的长度为时，求点的坐标；来源:学,科,网Z,X,X,K（2）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求线段长度的最小值【答案】（1）；（2）圆过定点；（3）.【解析】（2）设P（2b，b），因为MAP90，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为： 即由， 解得或，所以圆过定点 三错混辨析1.忽视直线斜率不存在的情况【例1】 已知圆C的方程为，直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点若|AB|2，求直线
68、l的方程错解方程可设为，又设圆心到直线l的距离为d.由，得，代入，得，即.所以直线l的方程为【错原】在利用直线的点斜式与斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解，本题就是忽略斜率不存在导致圆的切线方程只有一条【正解】(1)当直线l的斜率不存在时，画出图象可知，直线也符合题意(2)当直线l的斜率k存在时，其方程可设为，又设圆心到直线l的距离为d.由，得，代入，得，即.所以直线l的方程为和.来源:学科网ZXXK忽略对参数范围讨论的情况【例】已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 错解 设符合题意的直线
69、存在，并设、则（1）得因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将(4)、(5)代入（3）得若，则直线的斜率所以符合题设条件的直线存在.其方程为【错原】 由于点点A（1，1）在双曲线外，过点点A（1，1）的直线，不一定都与双曲线相交，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的.【正解】设符合题意的直线存在，并设、， 则（1）得因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将(4)、(5)代入（3）得 若，则直线的斜率再由 得 根据,说明所求直线不存在.忽略对定义的理解的情况【例】已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程.错解：圆O2：，即为所以圆O2的圆心为,半径,而圆的圆心为,半径
70、,设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r，则且，所以即，化简得即为所求动圆圆心的轨迹方程.【错原】上述解法将=3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致.【正解】圆O2：，即为所以圆O2的圆心为,半径,而圆的圆心为,半径, 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r， 则且，所以， 即，化简得又因为|表示动点M到定点及的距离差为一常数3.且,点M的轨迹为双曲线右支，方程为4. 忽略直线与双曲线的渐进线平行只有一个交点【例4】过点作直线，如果它与双曲线只有一个公共点，则直线的条数是 .错解：2.【错原】在探讨直线与双曲线的位置关系时，可以考虑直线方程与双曲线方程的解的
71、情况，但容易忽视直线与渐进线平行的特殊情况，这时构成的方程是一次的.直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种.其判定方法有两种：一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若，直线与双曲线相交，有两个交点；若，直线与渐进线平行，有一个交点.若，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点.若，直线与双曲线相离，没有公共点.二是可以利用数形结合的思想.【正解】解析：用数形结合的方法：过点（0，3）与双曲线只有一个公共点的直线分两类.一类是平行于渐进线的，有两条；一类是与双曲线相切的有两条.如图所示： 来源:Zxxk.ComOyx(0,3) 故填4原创预测【改编】已知抛物
72、线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的交点，若，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】因为抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的交点，且，由二次曲线对称性可得，轴，所以,则，解得，所以.【改编】已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为，则该抛物线的准线方程为 .【答案】 3. 【改编】已知椭圆C：的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形 ()求椭圆的方程；()如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且， 求四边形面积的最大值【解析】（1）椭圆C：的一个焦点是（1，0），所以半焦距，又因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边
73、三角形，所以，解得，所以椭圆C的标准方程为； 4.【改编】设定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为.过曲线上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且（）求动圆圆心的轨迹为与动点的轨迹的方程；（）设椭圆的左右顶点分别为，直线（点不同于）与直线交于点为线段的中点.试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论. 5.【改编】设是圆上的点，过作直线垂直轴于点，为上一点，且，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；()设过点的直线与曲线交于两点，且满足. (1)若,求的值;(2) 若分别为曲线的左、右顶点，证明: 【解析】（）设，因为垂直轴于点，为直线上一点，且，所以，因为点在圆上，所以来源:学科网即，整理得 故曲线的方程为
