1、3.3.1抛物线及其标准方程 A级新教材落实与巩固一、单项选择题1抛物线y12x2上的点到焦点的距离的最小值为(C)A3 B6CD2抛物线方程为7x4y20，则焦点坐标为(D)A BCD3已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|(C)ABC3 D24设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则圆心C的轨迹为(A)A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆5已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(D)Ax2yBx2yCx28yDx216y【解析
2、】 因为双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，所以2ba.又渐近线方程为bxay0，所以双曲线C1的渐近线方程为xy0.而抛物线C2：x22py(p0)的焦点坐标为，所以有2p8.6已知抛物线C1：x22py(p0)的焦点为F1，抛物线C2：y2(4p2)x的焦点为F2，点P在C1上，且|PF1|，则直线F1F2的斜率为(C)ABCD【解析】 因为|PF1|，所以，解得p，C1：x2y，C2：y24x，F1，F2(1，0)，所以直线F1F2的斜率为.二、多项选择题7已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若PFx60，则下列结论中正确的是(ABC
3、)APQF为等边三角形 B|PQ|4CSPQF4DxP4【解析】 如图，因为PQx轴，QPFPFx60，由抛物线定义知|PQ|PF|，PQF为等边三角形因为F(1，0)，过F作FMPQ，垂足为M.xM1，|MQ|2.|PQ|4，SPQF244，xP3.8如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QNPE交EP的延长线于N，作QMPF交线段PF于点M，则下列结论成立的是(ABD)A|PE|PF| B|PF|QF|C|PN|MF| D|PN|KF|第8题
4、图第8题答图【解析】 由抛物线的定义，得，A正确；PNQF，PQ是FPN的平分线，FQPNPQFPQ，|PF|QF|，B正确；若|PN|MF|，由PQ是外角平分线，QNPE，QMPF得，从而有，于是有，这样就有，PFQ为等边三角形，FPQ60，也即有FPE60，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；如图，连接EF，由A，B知，又PEQF，四边形EPQF是平行四边形，显然，D正确三、填空题9对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可以为(2，1).其中满足抛物线方程为y210x的是_(填写所有适
5、合条件的序号)10已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_11设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，若0，则|_6_【解析】 因为0，所以点F为ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xAxBxC3，所以|xA1xB1xC16.12已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M(1，y0)是抛物线上一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若MDF为等边三角形，则p_【解析】 由题意，抛物线C：y22px的焦点为F，准线方程为l：x.因为M是抛物线
6、上一点，则有1，因为MDF是等边三角形，所以可推得|FD|2p，即有12p，解得p.四、解答题13某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由第13题图第13题答图解：不能理由如下：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(3，3)，A(3，3).设抛物线的方程为x22py(p0)，将B点的坐标代入，得92p(3)，所以p，所以抛物线的方程为x23y(3y0).因为车与箱共高4.5 m，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.设抛物线上点D的坐标为(x0，0.5)，点D的坐标为(x0，0
7、.5)，则x3(0.5)，解得x0.所以|DD|2|x0|3，故此车不能通过隧道14在抛物线yx2上求一点M，使M点到焦点F的距离与到点A(1，2)的距离之和最小解：由题意知A在抛物线内部，如图，设M是抛物线上任意一点，l是抛物线的准线，过M作MM1l，垂足为M1，过A作AA1l，垂足为A1，|MA|MF|MA|MM1|AA1|MA|MA1|MF|MA|.即点M为所求，把x1代入得y1，故M(1，1).B级素养养成与评价15已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为345，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形(B)A不存在 B必是锐角三角形C必是钝角
8、三角形 D必是直角三角形【解析】 设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x13k，x24k，x35k(k0)，由抛物线定义得|FA|3k，|FB|4k，|FC|5k，易知三者能构成三角形，|FC|所对的角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形16已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x交于E，G两点，若sin MFG，则抛物线C的方程是(C)Ay2x By22xCy24x Dy28x【解析】 作MDEG，垂足为点D.由题意得点M在抛物线上，则82px0得px04.由抛物线的性质可知，|DM|x0，因为si
9、n MFG，所以|DM|MF|.所以x0，解得x0p.由解得x0p2(舍去)或x0p2.故抛物线C的方程是y24x.17已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为_2_【解析】 设AB的中点为M，焦点为F(0，1).过M作准线l：y1的垂线MN，过A作ACl于C，过B作BDl于D，则|MN|3，所以AB的中点到x轴的最短距离为312.18已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，所以p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)由(1)知点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2).又因为F(1，0)，所以kFA.因为MNFA，所以kMN.所以FA的方程为y(x1)，MN的方程为yx2，由联立得x，y，所以点N的坐标为.
