1、5【极坐标与参数方程】规范练1451(满分10分)已知曲线C的极坐标方程是4cos.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|，求直线的倾斜角的值解析(1)由4cos，得24cos.因为x2y22，xcos，所以x2y24x，即曲线C的直角坐标方程为(x2)2y24.(4分)(2)将代入圆的方程(x2)2y24，得(tcos1)2(tsin)24，化简得t22tcos30.(6分)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系，得所以
2、|AB|t1t2|，(8分)故4cos21，解得cos.(9分)因为直线的倾斜角0，)，所以或.(10分)2(满分10分)已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l1：x0，直线l2：xy0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系(1)写出曲线C和直线l1，l2的极坐标方程；(2)若直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求|AB|.解析(1)依题意知，曲线C：(x1)2(y2)25，即x22xy24y0，将xcos，ysin代入上式，得2cos4sin.因为直线l1：x0，直线l2：xy0，故直线l1，l2的极坐标方程为l1：(R)，l2：(R)
3、(5分)(2)设A，B两点对应的极径分别为1，2，在2cos4sin中，令，得12cos4sin4，令，得22cos4sin3，因为，所以|AB| .(10分)3(满分10分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2cos.(1)若曲线C2的参数方程为(为参数)，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为(t为参数)，A(0，1)，且曲线C1与曲线C2的交点分别为P，Q，求的取值范围解析(1)2cos，22cos，又2x2y2，cosx，曲线C1的直角坐标方程为x2y22x0，曲线C2的普通方
4、程为x2(y1)2t2.(4分)(2)将C2的参数方程(t为参数)代入C1的方程x2y22x0，得t2(2sin2cos)t10.(2sin2cos)248sin240，sin.(6分)t1t2(2sin2cos)2sin，t1t210，(7分)t1t210，t1，t2同号，|t1|t2|t1t2|.(8分)由点A在曲线C2上，根据t的几何意义，可得2(2,2 (2,2 (10分)4(满分10分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(sincos).(1)求C的极坐标方程；(2)射线OM：1与圆C的交点为O，P，与直线
5、l的交点为Q，求|OP|OQ|的取值范围解析(1)圆C的普通方程是(x2)2y24，又xcos，ysin，所以圆C的极坐标方程为4cos.(4分)(2)设P(1，1)，则有14cos1，(5分)设Q(2，1)，且直线l的极坐标方程是(sincos)，则有2，(7分)所以|OP|OQ|12，(9分)所以2|OP|OQ|3.即|OP|OQ|的取值范围是2,3(10分)5(满分10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，点M为曲线C1上的动点，动点P满足a(a0且a1)，点P的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极
6、轴的极坐标系中，A点的极坐标为，射线与C2的异于极点的交点为B，已知AOB面积的最大值为42，求a的值解析(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，由a，得点M在C1上，即(为参数)，消去参数，得(x2a)2y24a2(a0且a1)曲线C2是以(2a,0)为圆心，以2a为半径的圆(5分)(2)解法一：A点的直角坐标为(1，)，直线OA的普通方程为yx，即xy0.设B点坐标为(2a2acos，2asin)，则B点到直线xy0的距离da.当时，dmax(2)a.SAOB的最大值为2(2)a42，a2.(10分)解法二：将xcos，ysin代入(x2a)2y24a2，并整理得4acos，令，得4aco
7、s.B(4acos，)SAOB|OA|OB|sinAOB4acosa|2sincos2cos2|a|sin2cos2|a，当时，SAOB取得最大值(2)a，依题意知(2)a42，a2.(10分)6(满分10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，aR)以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos24cos0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|2|PB|，求实数a的值解析(1)曲线C1的参数方程为(t为参数，aR)，曲线C1的普通方程为xya10.(2分)曲线C2的极坐标方程为cos24cos0，2cos24cos20，又cosx，2x2y2，x24xx2y20，即曲线C2的直角坐标方程为y24x.(4分)(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由得t22t28a0.(2)24(28a)0，即a0，(6分)根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|t1|，|PB|t2|，由|PA|2|PB|得t12t2或t12t2，当t12t2时，有解得a0，符合题意，(8分)当t12t2时，有解得a0，符合题意综上所述，a或a.(10分)