1、算术平均数与几何平均数【教学目标】（1） 知识目标 使学生能准确表达两个重要不等式；理解它们成立的条件和意义；能正确运用算术平均数与几何平均数定理求最值.（2） 能力目标通过对实例的分析和提炼培养学生的观察、分析和抽象、概括能力；通过师生间的合作交流提高学生的数学表达和逻辑思维能力.（3） 情感目标让学生经历知识的发生、发展、应用的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；通过去伪存真的学习过程培养学生批判质疑的理性思维和锲而不舍追求真理的精神.【教学重点】两个正数的算术平均数与几何平均数定理及应用定理求最值.【教学难点】在求最值时如何正确运用定理.【教学过程】.引言： 某人中秋节到超市买两
2、斤糖果，不巧超市的电子秤坏了，但超市还有一个不等臂但刻度准确的坏天平，于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出“一斤”，再拿出一些糖果放在天平的右侧称出“一斤”，然后把两次称出的糖果合在一起给了他，并且解释:“一边多一边少，加在一起就正好.”这种称法准确么？如果不准确，那么是称多了还是称少了？【分析】设天平左右两侧力臂长分别为、，两次称得的糖果实际重量为、则：，这个数比2大还是小呢？有没有好的解决方法？请同学们阅读课本第9，10页算术平均数与几何平均数一节的正文及例1，看看能否在课本中找到答案。同时思考以下问题：问题1.糖果给多了还是少了？你用什么知识解决了这个问题？如何解决的？问题2.除定理外还
3、有一个重要不等式，内容是什么？它与定理有哪些相同点和不同点？问题3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什么启示？. 阅读课文，找寻答案学生阅读课本后回答问题1和问题2，引出本节知识一两重要不等式如果那么（当且仅当时取“=”号）.定理 如果是正数，那么（当且仅当时取“=”号）. 想一想：“当且仅当”的含义是什么？介绍叫做、的算术平均数，叫做、的几何平均数. 数列解释：两个正数的等差中项不小于它们的正项等比中项.例题精析,去伪存真二定理应用例1 已知都是正数，求证：（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值；（2）如果和是定值，那么当时，积有最大值.回答问题3，得出： 1.利用定理可以求解最值问题
4、；2.利用定理可以求解：和一定求积的最值；积一定求和的最值.3.利用定理求最值应满足：一正二定三相等.指出“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到. 三个条件在利用定理求最值时缺一不可.练习1.(1)已知，当取什么值时,的值最小，最小值是多少？(2)已知，当取什么值时, 的值最大，最大值是多少？投影学生的解题过程，让其他学生分析是否完整，并思考这两个问题是否还有其他解法（第一个小题还可以利用第一个重要不等式；第二小题可以利用一元二次函数的最值求法）.练习2.下列问题的解法是否正确，如果错误请指出错误原因.（
5、1）求函数 的值域.解：（2）求函数的最大值.解： 函数没有最大值.（3）求函数的最小值.解：带领学生分析：练习1错误原因: 忽略了自变量取负值的情况；练习2错误原因: 不满足和为定值；练习3错误原因: 不可能成立. 并且给出第（1）（2）小题的正确解法.再次强调“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到。三个条件在利用定理求最值时要同时满足，缺一不可.归纳小结,课堂延伸要求学生回顾本节课的内容，谈谈有哪些收获，然后教师总结1. 两个重要不等式的内容及成立条件是什么？2. 利用定理求最值应满足的条件有哪些？含
6、义是什么？作业：书面作业：课本12页第5、6、7题.拓展作业：借助互联网了解算术平均数与几何平均数的实际应用；了解股市大盘指数的含义.算术平均数与几何平均数（教案说明） 河南省焦作市第十一中学 郭振东数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具；在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用；数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质.因此在数学教学中要以培养学生的数学素质为根本目标，使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想；使学生表达清晰、思考有条理；使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神；使学生学
7、会用数学的思考方式解决问题、认识世界.一教学背景分析1.教材的地位和作用两个正数的算术平均数与几何平均数定理及重要不等式不仅在证明不等式和求最值中有着广泛的应用，而且作为工具，在物理学和经济学中也常常看到它们的身影；在高考中，这两个重要的不等式既可以从本身出发单独命题，又可以作为解答题的一个步骤，运用相当灵活，成为高考的一个热点.2学生情况在本节课前，学生已经能够运用不等式的性质证明一些简单的不等式，已经具备了一定的建模能力，能够解决一些简单的应用题.二教学展开分析1.教学内容 本节课主要学习算术平均数与几何平均数定理及应用定理求解简单的最值问题.2.教学目标 通过本节课的学习，力求达到以下三
8、个目标：（1）知识目标 使学生能准确表达两个重要不等式，理解它们成立的条件和意义；能准确运用算术平均数与几何平均数定理求最值.（2） 能力目标通过学生的自主学习、研讨培养他们的自学能力和分析、解决问题能力；通过师生间的合作交流提高学生的数学表达和交流能力.（3） 情感目标通过学生对教师给出问题的解决，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；通过去伪存真的学习过程培养学生批判、质疑的理性思维和锲而不舍追求真理的精神.3. 教学重、难点本节课的教学重点是算术平均数和几何平均数定理及应用定理求最值.难点是理解应用定理求最值是应具备的三个条件“一正、二定、三相等”，以及在求最值时如何正确运用定理。三教学过
9、程分析根据教学内容的特点和学生的实际情况，我把本节课设计为以下四个环节：1.设置情境，自学释疑这一环节通过设置有趣的实际问题激发学生的学习兴趣，让学生带着问题阅读课本，培养学生的自学能力和分析、解决问题的能力，为他们将来继续学习打下坚实的基础.2.深化定理，例题精析通过对定理和例1的认真分析突出教学重点，培养学生的观察、分析能力和归纳、总结能力.通过师生间的合作交流，提高学生的数学表达和交流能力.3.练习巩固，错解辨析通过这一环节突破教学难点，强调利用定理求最值时必须同时满足“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.同时通过去伪存真的学习过程培养学生批判、质疑的理性思维和锲而不舍的钻研精神与科
10、学态度.4.归纳小结，课堂延伸巩固学生已学知识，延伸数学课堂.通过实践作业扩大学生的知识容量，使学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，激发学生学习数学的兴趣和应用数学的意识.四教学诊断分析本节课中，两个重要不等式的内容及其证明过程学生比较容易理解，所以我采用学生自主学习的方式培养他们的自学能力，同时强调两个重要不等式的适用范围及等号成立的条件，为进一步学习利用定理求解最值问题埋下伏笔.课本例1实质上给出了利用定理求解最值问题的模板，通过学生的认真分析与合作交流得出利用定理求解最值时应满足的三个条件“一正、二定、三相等”.如何正确地应用算术平均数与几何平均数定理求解最值问题是本节课的
11、教学重点及难点.准确理解三个条件“一正、二定、三相等”是突破教学难点的关键，为此我专门准备了三个有针对性的练习，通过错解辨析进一步加强学生对运用定理求最值时应满足的三个条件的理解：“一正”即满足定理成立的条件； “二定”即求和的最小值时积应为定值，求积的最大值时和应为定值；“三相等”即要保证不等式两边可以取等号，三个条件在利用定理求最值时应同时满足，缺一不可.五教法特点及预期效果分析本节课我采用“设置疑问，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”的科研式教学方法.自学释疑培养学生的自学能力；讨论辨析形成批判性思维；应用、拓展发展学生的应用意识.在学生自主学习与教师引导相结合的教学过程中，力求使学生掌握两
12、个重要不等式及利用定理求解最值的方法，建立自己的知识结构，培养学生分析问题、解决问题的能力.课后利用网络的信息资源进行拓展学习，激发学生学习数学的兴趣和应用数学的意识，提高学生的数学素养. 六教学理念本节课的教学设计体现了我的两个教学理念：1.给学生提供一个充分展示自我的平台，让每一位学生都能得到发展.在教学中设置不同层次的问题，使每位学生都能通过解决问题体会到学习过程中的快乐，树立起学习数学的自信心.2.学习是为了应用，只有紧密联系生活的科学才是有生命力的科学. 新课标中再三强调要注重发展学生的应用意识，课堂教学不能一味的讲授理论，要随时随地联系实际，只有这样学生才会觉得学习数学有用，才能激发学生学习数学的兴趣，数学课堂才能充满活力和激情！