1、课时素养检测 二十九直线与直线垂直(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解析】选D.构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1l4,当取l4为BB1时,l1l4,故排除A,B,C,选D.2.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30角的异面直线()A.
2、有无数条B.有两条 C.至多有两条D.有一条【解析】选A.如图所示,过点P作直线ll,以l为轴,与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角.3.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为()A.相交B.平行C.异面而且垂直D.异面但不垂直【解析】选D.将展开图还原为正方体,如图所示.4.(多选题)如图,在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中成立的是()A.EFBB1B.EFBDC.EF与CD异面D.EF与A1C1异面【解析】选ABC.连接A1B,因为E,F分别是AB1,BC1的中点,所以
3、EF是A1BC1的中位线,所以EFA1C1,故D错误,ABC正确.二、填空题(每小题4分,共8分)5.如图,在正方体ABCD-EFMN中,BM与ED平行;CN与BM是异面直线;CN与BE是异面直线;DN与BM是异面直线;以上四个说法中,正确说法的序号是_.【解析】在中,直线BM与ED为异面直线,故不正确.在中,由异面直线的判定方法可得直线CN与BM是异面直线,故正确.在中,由条件可得四边形BCNE为平行四边形,故CN与BE平行,故不正确.在中,由异面直线的判定方法可得直线DN与BM是异面直线,故正确.综上正确.答案:6.(双空题)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,C
4、D,DA的中点,则当AC,BD满足条件_时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件_时,四边形EFGH是正方形.【解析】易知EHBDFG,且EH=BD=FG,同理EFACHG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EFEH,即AC=BD且ACBD.答案:AC=BDAC=BD且ACBD三、解答题(共26分)7.(12分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1.(1)求异面直线BC1与CD1所成角的余弦值;(2)求三棱锥B&
5、#1049020;D1AC的体积.【解析】(1)因为AD1BC1,所以AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角.在等腰ACD1中,AC=,CD1=,AD1=,易得cosCD1A=.即异面直线BC1与CD1所成角的余弦值为.(2)=1=.8.(14分)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=2,ABC=120,若异面直线A1B和AD1所成的角为90,试求AA1.【解析】连接CD1,AC,由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,所以AD1C(或其补角)为A1B和
6、AD1所成的角,因为异面直线A1B和AD1所成的角为90,所以AD1C=90,因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB=BC=2,所以ACD1是等腰直角三角形,所以AD1=AC.因为底面ABCD是菱形且AB=BC=2,ABC=120,所以AC=2sin 602=6,所以AD1=AC=3,所以AA1=.(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在正方体ABCD-ABCD中,点P在线段AD上运动,则异面直线CP与BA所成角的取值范围是()A.090B.090C.060D.060【解析】选D.如图,连接CD,则异面直线CP与
7、BA所成的角等于DCP,由图可知,当P点与A点重合时,=60,当P点无限接近D点时,趋近于0,由于是异面直线,故0.2.如图,在正四面体O-ABC中,D是OA的中点,则BD与OC所成角的余弦值是()A.B.C.D.【解析】选B.取AC的中点E,连接DE,BE,根据题意BDE为异面直线BD与OC所成的角,设正四面体的棱长为2,则DE=1,BD=BE=,cosBDE=,所以BD与OC所成角的余弦值是.3.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是()A.CC1与B1E是异面直线B.CC1与AE是共面直线C.AE与B1C
8、1是异面直线D.AE与BB1是共面直线【解析】选C.由于CC1与B1E均在平面BCC1B1内,不是异面直线;CC1平面ABC=C,AE平面ABC,点C不在直线AE上,所以CC1和AE是异面直线,同理BB1与AE是异面直线,AE平面BCC1B1=E,B1C1平面BCC1B1,点E不在直线B1C1上,则AE与B1C1是异面直线.4.(多选题)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论,其中正确的是()A.ABEFB.AB与CM所成的角为60C.EF与MN是异面直线D.MNCD【解析】选AC.把正方体平面展开图还原为原来的正方体,如图所示,ABEF,EF与MN是异面直线,ABCM,MN
9、CD,只有AC正确.二、填空题(每小题4分,共16分)5.已知ABC=120,异面直线MN,PQ.其中MNAB,PQBC,则异面直线MN与PQ所成的角为_.【解析】结合等角定理及异面直线所成角的范围可知,异面直线MN与PQ所成的角为60.答案:606.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则B1D与CC1所成角的正切值为_.【解析】如图,B1D与CC1所成的角为BB1D.因为DBB1为直角三角形,所以tanBB1D=.答案:7.空间中A的两边和B的两边分别平行,A=70,则B=_.【解析】因为A的两边和B的两边分别平行,所以A=B或A+B=180.又A=70,所以B=70或110.答案
10、:70或1108.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是_.【解析】如图,取AC的中点G,连接FG,EG,则FGC1C,FG=C1C,EGBC,EG=BC,故EFG即为EF与C1C所成的角(或补角),在RtEFG中,cosEFG=.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA是该棱锥的高,且OAAD,OAAC,OA=2,M为OA的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积;(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.【解析】(1)
11、由已知可求得,正方形ABCD的面积S=4,所以,四棱锥O-ABCD的体积V=42=.(2)连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE,则EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角),由已知,可得DE=,EM=,MD=,因为()2+()2=()2,所以DEM为直角三角形,所以tanEMD=.10.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点.求证:CD1EF.【证明】取CD1的中点G,连接EG,DG.因为E是BD1的中点,所以EGBC,EG=BC.因为F是AD的中点,且ADBC,AD=BC,所以DFBC,DF=BC,所以EGDF,EG=DF,所以四边形EFDG是平行四边形,所以EFDG,所以DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,所以DGCD1,所以D1GD=90,所以异面直线CD1,EF所成的角为90,即CD1EF.