1、沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习专题之研究新函数题型教学目标初步了解研究新函数题型的主要命题方式，并熟悉掌握一些基本的做法。【解读：研究新函数题型难度很大】知识梳理 无典例精讲 【说明：此部分所给题量较大，难度也很大，大都是高考原题、一二模考题。各位老师可以根据学生的程度、是否做过等因素，自由组合课前作业、课堂例题、课堂练习、课后作业等。建议要优质生源使用，最好有课前作业，无需面面俱到，但是一定要讲透】例1.（）若实数、满足，则称比远离 （1）若比1远离0，求的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离； （3）已知函数的定义域任取， 等于和中远离0
2、的那个值写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）解：（1）由题意得 （2），；又，则；于是，比远离（3）若，即； 同理，若，即。 所以，函数的解析式是： 大致图像如下：函数是周期函数，最小正周期是，是非奇非偶函数，无零点； 当或时，函数取得最大值1；来源:学科网ZXXK 当或时，函数取得最小值-1； 函数在区间上单调递增；在区间上单调递减。【评述：此题考查学生对于新运算法则的理解，这个不难。还有就是不等式的运算与证明，这个也不难。主要是第三小问，考查学生对于新函数的理解，究竟哪些是函数的基本性质的掌握，难度尚可，不少学生容易搞错成，没看懂题意所致】例2.（）已知函数的反函数。定义
3、：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。（1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；（3） 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。解：（1）函数的反函数是， ，而 ，其反函数为故函数不满足“1和性质” 4分（2）设函数满足“2和性质”，。, 6分 而，得反函数， 8分 由“2和性质”定义可知对恒成立。 即所求一次函数. 10分（3）设且点图像上，则在函数图像上，故 可得， 12分令，. 14分综上所述，此时其反函数是，而故互为反函数。 16分【评述：此题考查函数的新性质，涉及到了抽象函
4、数、反函数，学生容易搞错的是的含义。】例3.（）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数（且）的图像与的图像有公共点，证明：；（3） 若函数，求实数的取值范围解：（1）对于非零常数，. 因为对任意，不能恒成立，所以。（2）函数（且）的图像与的图像有公共点，所以方程组：有解，消去得，显然不是方程的解，所以存在非零常数，使。于是对于有，故.（3） 当时，显然.当时，因为，所以存在非零常数，对任意，有成立，即.因为，且，所以，于是，故要使成立，只有；当时，成立，则；当时，成立，即成立，则.综上所述，实数k的取值范围是【评述：此题将
5、函数的新性质与集合综合在一起，是函数常见的命题方法。第一问较容易，第二问考查了函数与方程的思想，在理解上和表述上有一定难度，第三问是本题的大难点，特别是“要使成立，只有”，属于“退步思考法”（两个函数相等，则至少值域相等），学生较难想到。】例4.（）对定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意的都有，且对任意的都有恒成立，则称函数为区间上的“U型”函数。（1）求证：函数是上的“U型”函数；（2）设是（1）中的“U型”函数，若不等式对一切的恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的“U型”函数，求实数和的值.解：（1）当时，当时，故存在闭区间和常数符合条件，所以函数是上的“U型”函
6、数（2） 因为不等式对一切的恒成立，所以由（1）可知所以 解得：（3） 由“U型”函数定义知，存在闭区间和常数，使得对任意的，都有即所以对任意的成立所以 当时，当时，当，即时，由题意知，符合条件 当时，当时，当，即时，由题意知，不符合条件综上所述，【评述：此题考查一类满足某些特定条件的函数，难度并不大，但是抓住每个条件。特别是第三问，在所有条件中，以确定条件（）入手，再去做取舍，这是解决此类题关键所在。】巩固练习1.（）如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距
7、离为.（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度；（2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：函数性质结 论奇偶性单调性递增区间递减区间零点 （3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围.解：（1），； （2）；来源:Z|xx|k.Com函数性质结 论奇偶性偶函数单调性递增区间，递减区间，零点，（3）考虑图像和分类讨论，可得： （1）当时，方程只有1实数根；（2）当时，方程有3个实数根；（3）当或时，方程有5个实数根；（4）当或时，方程有7个实数根；（5）当时，方程有9个实数根；（6） 当时，方程有11个实数根.【评述：此题前两问考查新函数的基本性质，较为简单，第三问考查了
8、函数与方程、数形结合的思想，计算上情况较多，较为繁琐，但是难度并不大】2.（）定义：对函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”。（1）判断函数是否为“性质函数”？说明理由；（2）若函数为“2性质函数”，求实数的取值范围；来源:学*科*网（3）已知函数与的图像有公共点，求证：为“1性质函数”。解：（1）若存在满足条件，则即，方程无实数根，与假设矛盾。不能为“k性质函数”。（2）由条件得：，即，化简得,当时，；当时，由，即，。综上，。（3）由条件存在使，,令，则，,为“1性质函数”。【评述：此题考查函数的新性质，直接代入即可，注意定义域，难度不大】3.（）若函数定
9、义域为，满足对任意，有，则称为“形函数”；若函数定义域为，恒大于0，且对任意，有，则称为“对数形函数”（1）当时，判断是否为形函数，并说明理由；（2）当时，证明：是对数形函数；（3）若是形函数，且满足对任意，有，问是否为对数形函数？证明你的结论解：（1）不满足对任意，有来源:学科网当时，不是“形函数”(2) 的定义域为,且对任意，有 是对数形函数（3）是对数“形函数”，证明如下： 证明：，即是对数“形函数”【评述：此题考查函数的新性质，直接代入即可，注意定义域，难度不大】4.（）若函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数” .（1）判断下列函数，是否为“函数”，并说明理由； （2）
10、已知函数是一个“函数”，求出所有的有序实数对.解：（1）若是“函数”，则存在实数对，使得，即时，对恒成立，而最多有两个解，矛盾，因此不是“函数”答案不唯一：如取，恒有对一切都成立，即存在实数对，使之成立，所以，是“函数”一般地：若是“函数”，则存在实数对，使得 即存在常数对满足，故是“函数”（2）函数是一个“函数”，设有序实数对满足，则恒成立当时，不是常数；因此，当时，则有，即恒成立，所以当时，满足是一个“函数”的实数对【评述：此题考查某一类函数，难度不大，但是第二问，很多学生没有考虑定义域，这是一个易错点。】回顾总结 通过本专题的学习，你对研究新函数题型了解了多少？有没有发现这些题目在命题特点上和解法上有没有什么共性？涉及到了哪些知识点？又要注意些什么？（1）常见题型一，研究一个新函数的基本性质，这种题一般比较简单，只需画出图像，一切迎刃而解；（2）常见题型二，把满足一个或者多个条件的函数放在一个集合中，或者给一个名称，此类题较难；来源:学。科。网Z。X。X。K可以涉及函数与方程、数形结合、参数的分类讨论等数学思想，解题方法主要还是直接代入条件；（3）特别要注意：定义域、条件中的关键词（任意、存在）等，有时需要一定的技巧。
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