1、2.2双曲线22.1双曲线及其标准方程双曲线的定义【问题导思】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距【问题导思】双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？【
2、提示】双曲线的一支.双曲线的标准方程【问题导思】1能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？【提示】能(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)(3)列式：由|MF1|MF2|2a，可得 2a.(4)化简：移项，平方后可得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)令c2a2b2，得双曲线的标准方程为1(a0，b0)2双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？【提示】双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x
3、轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)w1(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c，c2a2b2双曲线标准方程的理解(2013泰安高二检测)方程1表示的曲线为C，给出下列四个命题：曲线C不可能是圆；若1k4，则曲线C为椭圆；若曲线C为双曲线，则k1或k4；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1k.其中正确命题的序号是_【思路探究】方程1表示什么曲线？此时k的取值范围是多少？【自主解答】当4kk10时，即k时，曲线C是圆，命题是假命题对于，当1k4且k时，曲
4、线C是椭圆，则是假命题根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，是真命题【答案】1双曲线焦点在x轴上标准方程中x2项的系数为正；双曲线焦点在y轴上标准方程中y2项的系数为正2在曲线方程1中，若mn0，则曲线表示一个圆；若m0，n0，且mn，则曲线表示一个椭圆；若mn0，则曲线表示双曲线若kR，则“k3”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】方程1表示双曲线的充要条件是(k3)(k3)0，即k3或k3；当k3时，一定有(k3)(k3)0，但反之不成立k3是方程表示双曲线的充分不必要条件【答案】A求双曲线的标准方程已知双曲线上两点P1、P2的
5、坐标分别为(3，4)、(，5)，求双曲线的标准方程【思路探究】(1)当双曲线的焦点位置不确定时，应怎样求双曲线的方程？(2)已知双曲线上两点的坐标，可将双曲线的方程设为怎样的形式，以便于计算？【自主解答】法一若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为1(a0，b0)根据题意得该方程组无解；若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为1(a0，b0)根据题意得解得a216，b29.故所求双曲线的标准方程为1.法二设所求双曲线的方程为mx2ny21(mn0)根据题意得解得m，n.故所求双曲线的标准方程为1.1求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法2用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：
6、确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上；(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2By21(AB0)；(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a，c3，焦点在y轴上；(2)双曲线过P1(2，)和P2(，4)两点【解】(1)由a，c3得b2c2a24.所求双曲线的标准方程为1.(2)因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，因为P1、P2在双曲线上，所以有解得所以所求双曲线的方程为1，即1.双曲线定义的应用如图221
7、所示，已知双曲线1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上图221(1)若F1MF290，求F1MF2的面积；(2)若F1MF2120，F1MF2的面积是多少？若F1MF260，F1MF2的面积又是多少？【思路探究】(1)求三角形的面积该联想到哪些方法？(2)如何运用双曲线的定义解决问题？【自主解答】(1)由双曲线方程知，a2，b3，c，设|MF1|r1，|MF2|r2(r1r2)由双曲线定义知，有r1r22a4，两边平方得rr2r1r216，即|F1F2|24SF1MF216，也即52164SF1MF2，求得SF1MF29.(2)若F1MF2120，在MF1F2中，由余弦定理得，|F1F2|
8、2rr2r1r2cos 120，|F1F2|2(r1r2)23r1r2(2c)2，r1r212，求得SF1MF2r1r2sin 1203.同理可求得若F1MF260，SF1MF29.双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的定义中|PF1|PF2|2a|F1F2|，包含|PF1|PF2|2a和|PF1|PF2|2a，即要看到点离定点的距离的“远”与“近”涉及双曲线上点到焦点的距离问题，或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的定义求解常见题目类型为：(1)双曲线的焦点三角形问题；(2)判断点的轨迹或求轨迹方程已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆
9、C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程【解】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.|MA|MB|，|MC1|AC1|MC2|BC2|，|MC2|MC1|BC2|AC1|312.这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支，则2a2，a1，c3，b2c2a28.因此所求动点M的轨迹方程为x21(x0)记不清a、b、c的关系致误双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，则k()A1B1C.D【错解】将双曲线化为标准方程为1，焦点在y轴上，且c3，a2，b2，(
10、)32，k.【答案】D【错因分析】双曲线中a、b、c的关系不是a2b2c2.【防范措施】要区别椭圆与双曲线中a、b、c的关系在椭圆中a2b2c2，在双曲线中a2b2c2，二者一定不要混淆【正解】将双曲线化为标准方程为1，焦点在y轴上，且c3，a2，b2.9，k1.【答案】B1理解双曲线的定义应特别注意以下两点：(1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支(2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线2求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a2，b2的大小.(对应学生用书第31页)1到两定点F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的
11、绝对值等于6的点M的轨迹是()A椭圆B线段C双曲线 D两条射线【解析】由题意|F1F2|6.点M的轨迹是两条射线【答案】D2双曲线1的焦距为()A16B8C4D2【解析】25k9k且25k0,9k0，即a225k，b2k9，c216，c4.焦距为2c8.【答案】B3双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A. B.C. D.【解析】将双曲线方程化为标准形式x21，所以a21，b2，c，右焦点坐标为.【答案】C4双曲线的一个焦点为(0，6)，且经过点(5,6)，求此双曲线的标准方程【解】由题意知c6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有：2a|8，a4，b26242
12、20，双曲线的标准方程为1.已知B(5,0)，C(5,0)是ABC的两个顶点，且sin Bsin Csin A，求顶点A的轨迹方程【解】sin Bsin Csin A，由正弦定理得|AC|AB|BC|106.又|AC|AB|,6|BC|，点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的左支(且除去左顶点)，由2a6,2c10，得a3，c5，b2c2a216，顶点A的轨迹方程为1(x3)已知定点A(3,0)和定圆C：(x3)2y216，动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程【解】设动圆半径为r，圆心为P(x，y)，定圆C的圆心为C(3,0)，半径为4，由平面几何知识有|PC|r4，|PA|r，
13、|PC|PA|4，动点P的轨迹为双曲线右支c3，a2，b2c2a25，圆心P的轨迹方程为1(x0)2.2.2双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质【问题导思】类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线1(a0，b0)的哪些几何性质？【提示】范围、对称性、顶点、离心率、渐近线标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)续表标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e且e1渐近线yxyx【问题导思】椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？【提示】双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，
14、离心率越大，双曲线的“开口”越大.双曲线的相关概念1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心2实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e.(对应学生用书第32页)由双曲线的方程研究几何性质求双曲线25y24x21000的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程【思路探究】【自主解答】双曲线的方程25y24x21000可化为1.实半轴长a5，虚半轴长b2，顶点坐标为(5,0)，(5,0)由c，焦点坐标为(，0)，(，0)离心率e，渐近线方程yx.1已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a、b的对应值，利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦
15、点位置，从而写出双曲线的几何性质2写渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错求双曲线16x29y2144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程【解】把方程16x29y2144化为标准方程得1，由此可知，实轴长2a8，虚轴长2b6，c5.焦点坐标为(0，5)，(0,5)离心率e.顶点坐标为(0，4)，(0,4)渐近线方程为：yx.由双曲线的几何性质求 双曲线的方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)【思路探究】(1)双曲线的焦点位置确
16、定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x22y22有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？【自主解答】(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，双曲线标准方程为1或1.(2)当焦点在x轴上时，由且a3得b.所求双曲线标准方程为1.当焦点在y轴上时，由且a3得b2.所求双曲线标准方程为1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22，双曲线标准方程为1.1利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a，b的值)由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据
17、相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用2若已知双曲线的渐近线方程为AxBy0，为避免讨论，可设双曲线方程为A2x2B2y2(0)或(0)的形式，从而使运算更简捷3与双曲线1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为(0)已知双曲线的一条渐近线方程是x2y0，且双曲线过点P(4,3)，求双曲线的标准方程【解】法一双曲线的一条渐近线方程为x2y0，当x4时，y2yP3.双曲线的焦点在y轴上从而有，b2a.设双曲线方程为1，由于点P(4,3)在此双曲线上，1，解得a25.双曲线方程为1.法二双曲线的一条渐近线方
18、程为x2y0，即y0，双曲线的渐近线方程为y20.设双曲线方程为y2(0)，双曲线过点P(4,3)，32，即5.所求双曲线方程为y25，即1.求双曲线的离心率分别求适合下列条件的双曲线的离心率(1)双曲线的渐近线方程为yx；(2)双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.【思路探究】(1)由渐近线方程能得到a、b、c的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？(2)由题意你能得到关于a、b、c的什么关系式？【自主解答】(1)若焦点在x轴上，则，e；若焦点在y轴上，则，即，e.综上可知，双曲线的离心率为或.(2)依题意，直线l：bxayab0.由原点
19、到l的距离为c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，3()21030.解得或3.又0ab，3.e2.求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2a2b2，直接求a，c的值而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值在本题的(2)中，要注意条件0ab对离心率的限制，以保证题目结果的准确性已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率【解】设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，那么y.|PF1|.由双曲线对称
20、性，|PF2|QF2|且PF2Q90.知|F1F2|PQ|PF1|，2c，则b22ac.c22aca20，2210.即e22e10.e1或e1(舍去)所求双曲线的离心率为1.(对应学生用书第35页)忽略点在双曲线上的位置致误已知双曲线方程为x2y21，双曲线的左支上一点P(a，b)到直线yx的距离是，求ab的值【错解】P(a，b)到直线yx的距离是.故，ab2.又a2b21，(ab)(ab)1，ab.【错因分析】错解中忽略了点P在双曲线的左支上，此时，ab0，ab2.【防范措施】由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生【正解】点P(a，b)到直线yx的距
21、离为，故，ab2.又P在双曲线的左支上，故ab0，则有ab2.又a2b21，即(ab)(ab)1，ab.1通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程2双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：(1)当焦点在x轴上时，渐近线为yx；当焦点在y轴上时，渐近线为yx.(2)当渐近线为yx时，可设双曲线标准方程为(0)(3)与双曲线1共渐近线的双曲线标准方程可设为(0)(对应学生用书第35页)1中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A.1B.1或1C.1D.1或1【解析】由题意：a5，b3，
22、且焦点不确定，应选B.【答案】B2双曲线1的渐近线方程是()AyxByxCyx Dyx【解析】由题意，焦点在x轴上，且a2，b3，故渐近线方程为yx.【答案】C3下列曲线中离心率为的是()A.1 B.1C.1 D.1【解析】选项B双曲线中a2，b，c，e.【答案】B4若双曲线的顶点在x轴上，两顶点的距离为8，离心率是，求双曲线的标准方程【解】由题设，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)2a8，a4，由e，得c5，b2c2a252429.因此所求双曲线标准方程为1.已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，试讨论实数k的取值范围，使直线l与双曲线有两个公共点；直线l与双曲线有且只有一个公共点；
23、直线l与双曲线没有公共点【解】由消去y，得(1k2)x22k2xk240.(*)(1)当1k20，即k1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x5，故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点，交点在双曲线右支上(2)当1k20，即k1时，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)即k，且k1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点即k时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线相交于一个公共点综上所述：当k，且k1时，直线l与双曲线有两个公共点，当k1或k时，直线l与双曲线有且只有一个公共点，当k或k时，直线l与双曲线没有公共点已知双曲线3x2y23，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长【解】双曲线3x2y23化为x21，则a1，b，c2.直线l过点F2且倾斜角为45，直线l的方程为yx2，代入双曲线方程，得2x24x70.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1x20，A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上x1x22，x1x2，|AB|x1x2|6.因此弦AB的长为6.
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