专题一：圆-2021-2022学年小学六年级上册数学寒假巩固与提升复习讲义【要点梳理 典例精析 提升拔高】北师大版.doc

1、2021-2022学年小学六年级上册数学寒假巩固与提升复习讲义专题一：圆【要点梳理+典例精析+提升拔高】北师大版1、圆的定义：平面上的一种曲线图形。2、将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等。3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。5、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，直径一般用字母 d 表示。6、在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。7、在同一个圆内，有无数条半径，有无数条

2、直径。8、在同一个圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的一半。用字母表示为：d2r，r d；用文字表示为：半径=直径2 直径=半径2。9、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。10、圆的周长总是直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取 3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。11、圆的周长公式：C=d 或 C=2r，圆周长=直径，圆周长=半径2。12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。13、把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半

3、，用字母（r）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长宽，所以圆的面积= rr。圆的面积公式：。14、圆的面积公式：或者 S=（）。 15、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。16、在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。17、一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r，它的面积是S=R或S=（R）。（其中 Rr环的宽度。）18、半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。半圆的周长公式：d 或r2r；圆周长的一半=r。19、半圆面积圆的面积2 公式为：。20、在同一个圆里

4、，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大4倍，而面积扩大16倍。21、两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。例如：两个圆的半径比是2：3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2：3，而面积比是4：9。圆周长和直径的比是：1，比值是圆周长和半径的比是2：1，比值是 2。22、当一个圆的半径增加厘米时，它的周长就增加2厘米；当一个圆的直径增加厘米时，它的周长就增加 厘米。23、在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几

5、分之几。24、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。25、扇形弧长公式：扇形的面积公式：（n 为扇形的圆心角度数，r 为扇形所在圆的半径）。26、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。27、有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。有2条对称轴的图形是：长方形；有3条对称轴的图形是：等边三角形；有4条对称轴的图形是：正方形；有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。28、直径所在的直线是圆的对称轴。29、永远记住要带单位，周长是（例如：cm），面积是平方（例如：cm2），体积

6、是立方（例如：cm3）。【例1】顶点在圆心上的角叫圆心角，顶点在圆周上的角叫圆周角下面图形中，是圆心角的画“”是圆周角的画“”【分析】根据圆心角和圆周角的含义：顶点在圆心上，并且由两条半径围成的角是圆心角；顶点在圆上的角叫做圆周角；据此解答即可【解答】解：【点评】明确圆心角和圆周角的含义，是解答此题的关键【例2】从A到B有两条路线和，（如图）哪条路线更短些？先在正确的答案后面画“”，再用合适的方式作出解释。第条路线短；条路线短，一样长。【分析】可以设小半圆的直径是1厘米，中半圆的直径是2厘米，则大半圆的直径是3厘米，是一个大半圆的圆弧，是一个中半圆圆弧和一个小半圆圆弧，根据圆周长的公式：C2r

7、，求出三个半圆弧的周长，由此即可比较。【解答】解：设小半圆的直径是1厘米，中半圆的直径是2厘米，则大半圆的直径：1+23（厘米）小半圆弧：3.14123.1421.57（厘米）中半圆弧：3.14226.2823.14（厘米）大半圆弧：3.14329.4224.71（厘米）路线：1.57+3.144.71（厘米）即；所以两条路线一样长。【点评】本题主要考查圆的周长公式，熟练掌握圆的周长公式并灵活运用。【例3】如图中大圆半径是6cm，小圆半径是1cm，当小圆绕大圆滚动一周又回到原来位置时，小圆扫过区域的面积是多少平方厘米？【分析】根据题意可知，小圆扫过的面积等于外圆半径是6厘米，内圆半径是（611

8、）厘米，两个同心圆组成的圆环的面积，根据环形面积公式：S（R2r2），把数据代入公式解答。【解答】解：3.1462（611）23.1436163.142062.8（平方厘米）答：小圆扫过区域的面积是62.8平方厘米。【点评】此题解答的关键是明确：小圆扫过的面积等于外圆半径是6厘米，内圆半径是（611）厘米，两个同心圆组成的圆环的面积。【例4】若一个圆分成若干等份后，拼成近似的梯形或三角形（如图），可以推出圆的面积计算公式吗？从下列转化的两种图形中，任选一种，用自己的方式推导出圆的面积计算公式。【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个半径为r厘米的圆分成若干等份后（见上图），我们可以拼成一个

9、近似的梯形，这个梯形的高是半径的2倍，上下底的和是圆周长的一半，根据梯形的面积公式：S（a+b）h2，推导出圆的面积公式：Sr2。据此解答。【解答】解：设这个圆的半径为r，那么这个梯形的高是2r，上下底的和是r，因为梯形的面积（上底+下底）高2r2r22r22r2所以圆的面积r2【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用。【例5】向阳村社区广场中间有一座圆形喷水池，周长是37.68米，沿水池周围修一条宽2米的水泥路，这条水泥路的面积是多少平方米？【分析】首先根据圆的周长公式；C2r，那么rC2，据此求出圆形喷水池的半径，喷水池的半径加上路宽就是外圆半径，然后根据环形面积公式：S

10、（R2r2），把数据代入公式解答。【解答】解：37.683.1426（米）6+28（米）3.14（8262）3.14（6436）3.142887.92（平方米）答：这条水泥路的面积是87.92平方米。【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。一选择题（共8小题）1钟面上的时针从12起走到5，经过的部分是一个圆心角（）的扇形。A30B60C90D1502要找到一张圆形纸片的圆心，至少要把它对折（）次A3B2C1D无数3豆豆在学习圆的周长时，把一个直径是2厘米的圆形卡片在直尺上滚动一周。下面测量最接近准确值的一次是（）ABCD4画一个周长是56.52厘米的圆，圆规两脚之间的距离是

11、（）厘米。A3B6C9D125圆的半径扩大到原来的3倍，它的周长扩大到原来的3倍，它的面积扩大到原来的（）倍。A3倍B6倍C9倍D12倍6关于圆周率的说法错误的是（）A圆周率是无限不循环小数B圆周率是圆的周长与直径的比值C圆周率是37如图，三个圆的圆心在同一条直线上，大圆的周长与两个小圆的周长之和相比较（）A大圆的周长长B大圆的周长短C同样长8以一个正方形的边长为半径作一个圆，这个圆的面积是这个正方形的（）倍。ABC二填空题（共8小题）9在一个正方形里剪下一个最大的圆，若圆的周长是31.4cm，则这个正方形的面积是 cm2，这个圆的面积是 cm2。10一个时钟的分针长4厘米，当它正好走一圈时，

12、它的尖端走了 厘米，分针所扫过的面积是 平方厘米。11（如图）一个环形，外圆半径为12厘米，内圆半径为8厘米，这个环形的面积是 平方厘米。12如图，用一张长10厘米，宽8厘米的纸剪出一个圆，这个圆的面积最大是 平方厘米。13学校操场地面上画了一个周长是31.4m的圆，六（1）班全体同学站在圆上做游戏，老师站在圆内，他和每个同学之间的距离都相等。老师和每个同学之间的距离是 m。14用圆规画一个直径10cm的圆，圆规两脚间的距离应是 cm15圆有 条半径，圆半径的长度是它直径的 ；半圆有 条对称轴16将一个直径是6厘米的圆形纸片沿着直径对折一次，得到的一个半圆形纸片的周长是 厘米，面积是 平方厘米

13、。三判断题（共5小题）17圆的周长与直径的比值和圆的面积与直径的比值相等。 （判断对错）18用一根长3.14米的绳子围成一个最大的圆，这个圆的直径是1米。 （判断对错）19一个半圆，直径是d，它的周长是d。 （判断对错）20要使一个圆的面积扩大到原来的6倍，可以将它的半径扩大到原来的3倍。 （判断对错）21圆规两脚间的距离为3厘米，画出的圆的面积是28.26平方厘米。 （判断对错）四计算题（共2小题）22计算下面图形阴影部分的周长和面积。（单位：cm）23如图中阴影部分的周长是多少cm？五操作题（共1小题）24找出如图的圆心，并用字母表示六应用题（共5小题）25用一根绳子绕一根竖直放置的木材一

14、圈的长度是50.24厘米，这根木材的水平截面的直径是多少厘米？26从一块长6厘米，宽4厘米的长方形木板上锯下一个最大的圆，这块圆形木板的周长是多少分米？27一个圆形花坛的直径是10米，要在它的周围铺一条1米宽的小路，这条小路面积是多少平方米？28一个圆形喷水池，半径为6米，在他周围有一条宽为1米的环形小路，要在环形路上铺上鹅卵石，每平方米需要0.3吨鹅卵石，一共需要鹅卵石多少吨？29在周长是37.68米的圆形花坛周围铺一条2米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？（取3.14）参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1【分析】根据生活经验可知，时针12小时转一圈，钟面上有12个大格，时针从12起

15、走到5，经过了5个大格，经过的部分的扇形圆心角的度数是周角的，周角是360，根据“等分”除法的意义，把360平均分成12份，再根据乘法的意义，用乘法求出其中的5份就是这个扇形的圆心角度数。【解答】解：360125305150答：经过的部分是一个圆心角是150的扇形。故选：D。【点评】此题考查的目的是理解掌握圆的认识，扇形的认识，周角的意义及应用。2【分析】圆中心的那个点即圆心，所有直径都相交于圆心，将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心【解答】解：将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心故选：B【点评】本题考查了确定圆心的方法3【分析】根据

16、圆的周长公式：Cd，把数据代入公式解答即可。【解答】解：3.1426.28（厘米）所以，测量最接近准确值的一次是C。故选：C。【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。4【分析】根据圆的周长公式：C2r，那么rC2，把数据代入公式解答。【解答】解：56.523.1429（厘米）答：圆规两脚之间的距离是9厘米。故选：C。【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。5【分析】根据圆的周长公式：C2r，面积公式：Sr2，再根据因数与积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也扩大到原来的几倍。据此解答。【解答】解：339所以，圆的半径扩大到原来的3倍

17、，它的周长扩大到原来的3倍，它的面积扩大到原来的9倍。故选：C。【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的应用，因数与积的变化规律规律及应用。6【分析】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母表示，是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可。【解答】解：A、圆周率是无限不循环小数，说法正确；B、根据圆周率的含义可知：是圆的周长与它的直径的比值说法正确；C、圆周率是3说法错误，因为圆周率是一个无限不循环小数。故选：C。【点评】此题考查了圆周率的含义。7【分析】根据圆的周长公式：Cd，大圆的直径等于两个小圆的直径和，那么大圆的周长等于两个小圆的周长和。据此解答即可。【解答】解：因

18、为大圆的直径等于两个小圆的直径和，所以大圆的周长等于两个小圆的周长和。答：大圆的周长与两个小圆的周长之和相比较是同样长。故选：C。【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是明确：如果大圆的直径等于两个小圆直径的和，那么大圆的周长等于两个小圆的周长和。8【分析】根据圆的面积公式：Sr2，正方形的面积公式：Sa2，设正方形的边长为r，把数据代入公式分别求出正方形的面积、圆的面积，然后根据求一个数是另一个数的几倍，用除法解答。【解答】解：设正方形的边长为r，r2r2答：这个圆的面积是这个正方形的倍。故选：C。【点评】此题主要考查正方形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。二填空

19、题（共8小题）9【分析】根据题意可知，在一个正方形里剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的周长公式：Cd。那么dC，据此求出圆的直径，再根据正方形的面积公式：Sa2，圆的面积公式：Sr2，把数据代入公式解答。【解答】解：31.43.1410（厘米）1010100（平方厘米）3.14（102）23.142578.5（平方厘米）答：这个正方形的面积是100平方厘米，这个圆的面积是78.5平方厘米。故答案为：100，78.5。【点评】此题主要考查圆的周长公式、正方形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。10【分析】根据生活经验可知，分针1小时转一圈，当分针走一圈时，分

20、针尖端走的距离等于半径为4厘米的圆的周长，分针扫过的面积等于半径为4厘米的圆的面积，根据圆的周长公式：C2r，面积公式：Sr2，把数据代入公式解答。【解答】解：23.14425.12（厘米）3.14423.141650.24（平方米）答：它的尖端走了25.12厘米，分针所扫过的面积是50.24平方厘米。故答案为：25.12，50.24。【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。11【分析】根据环形面积公式：S（R2r2），把数据代入公式解答即可。【解答】解：3.14（12282）3.14（14464）3.1480251.2（平方厘米）答：这个环形的面积是251.2平

21、方厘米故答案为：251.2。【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。12【分析】根据题意可知，在这张长方形纸剪出一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据圆的面积公式：Sr2，把数据代入公式解答。【解答】解：3.14（82）23.141650.24（平方厘米）答：这个圆的面积是50.24平方厘米。故答案为：50.24。【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是明确：在这张长方形纸剪出一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。13【分析】根据圆的周长公式：C2r，那么rC2，把数据代入公式解答。【解答】解：31.43.1425（米）答：老师和每个同学之间的距离是5

22、米。故答案为：5。【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。14【分析】根据圆的特征，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，所以用10除以2即可解答【解答】解：1025（厘米）答：用圆规画一个直径10cm的圆，圆规两脚间的距离应是5cm故答案为：5【点评】解答本题的关键是知道圆规两脚间的距离就是所画圆的半径15【分析】根据轴对称图形的性质分析：一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义可知：圆有无数条对称轴，半圆有一条对称轴；根据圆周率的含义：圆周率等于圆的周长和它直径的比值，用字母“”表示；同圆中，圆的直径是半

23、径的2倍；由此解答即可【解答】解：圆有 无数条半径，圆半径的长度是它直径的 一半；半圆有 一条对称轴；故答案为：无数，一半，一【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义以及圆的基础知识16【分析】根据半圆周长、半圆面积的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，半圆的面积等于该圆面积的一半，根据半圆的周长公式：Cd2+d，面积的面积公式：Sr22，把数据代入公式解答。【解答】解：3.1462+69.42+615.42（厘米）3.14（62）223.149228.26214.13（平方厘米）答：这个半圆形纸片的周长是15.42厘米，面积是14.13平方厘米。故答案为：15.42，14.1

24、3。【点评】此题考查的目的是理解半圆周长、半圆面积的意义，掌握半圆的周长公式、面积公式及应用。三判断题（共5小题）17【分析】根据圆周率的意义，任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率；根据圆的周长公式：Cd，圆的面积公式：Sr2，分析解答即可。【解答】解：圆的周长公式：Cd那么圆的周长与直径的比值为：d：d：13.14圆的面积公式：Sr2d2那么圆的面积与直径的比值为：d2：dd2：4dd：40.785d因为0.785d的值不确定，不一定与3.14相等，所以原题说法错误。故答案为：。【点评】此题主要考查圆的认识和圆周率，熟记圆的周长和圆的面积公式是关键。18【分析】

25、根据圆的周长公式：Cd，那么dC，据此求出这个圆的直径，然后与1米进行比较。据此判断。【解答】解：3.143.141（米）所以这个圆的直径是1米。因此，题干中的结论是正确的。故答案为：。【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。19【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径。据此判断。【解答】解：半圆的周长是：d+d因此，题干中的计算是错误的。故答案为：。【点评】此题解答关键是明确：半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径。20【分析】根据圆的面积公式：Sr2，因为圆周率一定，圆的面积扩大到原来的倍数等于半径扩大到原来倍数的平方，据此判断。【

26、解答】解：如果圆的半径扩大到原来的3倍，那么圆的面积就扩大到的原来的9倍。因此，题干中的结论是错误的。故答案为：【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是明确：圆的面积扩大到原来的倍数等于半径扩大到原来倍数的平方。21【分析】因为半径决定圆的大小，画圆时，圆规两脚间的距离等于所画圆的半径，根据圆的面积公式：Sr2，求出半径是3厘米的圆的面积，与28.26平方厘米进行比较。据此判断。【解答】解：3.14323.14928.26（平方厘米）所以画出的圆的面积是2826平方厘米。因此，题干中的结果是正确的。故答案为：。【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。四计算题（共2

27、小题）22【分析】通过观察图形可知，阴影部分的周长等于大小圆的周长和，阴影部分的面积等于大小圆的面积差，根据圆的周长公式：C2r，环形面积公式：S（R2r2），把数据代入公式解答。【解答】解：23.147+23.14543.96+31.475.36（厘米）3.14（7252）3.14（4925）3.142475.36（平方厘米）答：阴影部分的周长是75.36厘米，面积是75.36平方厘米。【点评】此题主要考查圆的周长公式、环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。23【分析】通过观察图形可知，阴影部分的周长等于半径是10厘米的圆周长的一半加上直径是10厘米的圆周长的一半，再加上10厘米。根据圆的

28、周长公式：Cd或C2r，把数据代入公式解答。【解答】解：3.1410+3.14102+1031.4+15.7+1057.1（cm）答：阴影部分的周长是57.1cm。【点评】此题解答的关键是弄清阴影部分的周长是由哪几部分组成的，根据圆的周长公式解答。五操作题（共1小题）24【分析】连接正方形两条对角线，两条对角线的交点即该圆的圆心，用字母O表示【解答】解：【点评】明确正方形中圆的圆心的找法及圆心的表示方法，是解答此题的关键六应用题（共5小题）25【分析】根据圆的周长公式：Cd，那么dC，把数据代入公式解答。【解答】解：50.243.1416（厘米）答：这根木材的水平截面的直径是16厘米。【点评】

29、此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。26【分析】根据题意可知，在这块长方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据圆的周长公式：Cd，把数据代入公式解答。【解答】解：3.14412.56（厘米）12.56厘米1.256分米答：这块圆形木板的周长是1.256分米。【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是明确：在这块长方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。27【分析】根据题意可知，这条小路的面积是环形面积，根据环形面积公式：S（R2r2），把数据代入公式解答。【解答】解：1025（米）5+27（米）3.14（7252）3.14（4925）

30、3.142475.36（平方米）答：这条小路面积是75.36平方米。【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是求出内圆半径、外圆半径。28【分析】根据题意可知，这条小路的面积是环形面积，根据环形面积公式：S（R2r2），把数据代入公式求出小路的面积，然后用环形路的面积乘每平方米用鹅卵石的质量即可。【解答】解：6+17（米）3.14（7262）3.14（4936）3.141340.82（平方米）40.820.312.246（吨）答：一共需要鹅卵石12.246吨。【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。29【分析】根据题意可知，这条小路的面积是环形面积，根据环形面积公式：S（R2r2），把数据代入公式解答。【解答】解：37.683.1426（米）6+28（米）3.14（8262）3.14（6436）3.142887.92（平方米）答：这条小路的面积是87.92平方米。【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是求出花坛的半径，外圆的半径。学科网（北京）股份有限公司