1、课时素养检测十五向量数量积的运算律(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(2018全国卷)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0【解析】选B.因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.2.在ABC中,BAC=,AB=2,AC=3,=2,则=()A.-B.-C.D.【解析】选C.因为=+=+=+(-)=+,所以=(-)=32-22+=+32cos=.3.已知向量|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则a与b的夹角为()A
2、.B.C.D.【解析】选C.因为向量|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,所以ab-a2=ab-1=2,则ab=3,设a与b的夹角为,得cos =,因为0,所以=.【补偿训练】若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.由(a-b)(3a+2b)得(a-b)(3a+2b)=0,即3a2-ab-2b2=0.又因为|a|=|b|,设=,即3|a|2-|a|b|cos -2|b|2=0,所以|b|2-|b|2cos -2|b|2=0,所以cos =.又因为0,所以=.4.设单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e
3、1-3e2,则b在a上投影的数量为 ()A.-B.-C.D.【解析】选A.因为单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,得e1e2=11cos=-,|a|=,ab=(e1+2e2)(2e1-3e2)=2-6+e1e2=-,因此b在a上投影的数量为=-.5.已知平行四边形ABCD中,|=6,|=4,若点M,N满足=3,=2,则=()A.20B.15C.9D.6【解析】选C.如图所示,由题设知,=+=+,=-,所以=|2-|2+-=36-16=9.6.(多选题)对任意向量a,b,c,下列命题中真命题是()A.若ab=bc,则a=cB.若a=b,b=c,则a=cC.|a|b|
4、a|+|b|D.|ab|a|b|【解析】选BD.若ab=bc,则b(ac)=0,所以a=c或b(ac),故选项A不正确.若a=b,b=c,则a=c,故选项B正确.对于任意向量a,b,总有|a|b|a|+|b|,当且仅当|b|=0时,等号成立,故选项C不正确.|ab|=|a|b|cos|a|b|,故选项D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC中点,则|=.【解析】因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以|2=4(a-b)2=4(a2-2ab+b2)=4=4,则|=2.答案:2
5、8.已知向量|=1,|=,=0,点C在AOB内,且AOC=30,设=m+n(m,nR),则=.【解题指南】利用向量的夹角公式,通过向量数量积的运算律计算,建立方程求值.【解析】因为AOC=30,所以cosAOC=cos 30=,从而有=.因为|=1,|=,=0,所以=,化简可得=,整理得m2=9n2.因为点C在AOB内,所以m0,n0,所以m=3n,则=3.答案:3三、解答题(每小题14分,共28分)9.(2020湛江高一检测)已知|a|=1,|b|=,且向量a与b的夹角为.(1)若=,求ab;(2)若a-b与a垂直,求.【解析】(1)因为=,所以ab=|a|b|cos =1cos=.(2)因
6、为a-b与a垂直,所以a=0,即|a|2-ab=|a|2-|a|b|cos =1-cos =0,所以cos =,又0180,所以=45.10.利用向量法证明直径对的圆周角为直角.已知:圆的直径为AB,C为圆周上异于A,B的任意一点.求证:ACB=90.【解题指南】代数证明题的基本思想是“以算代证”,即只要计算=0即可.【证明】设圆心为O,连接OC,则|=|,=(+),所以|2=|2,=(+)2,得|2=(+)2,即()2=(+)2,得+2=+2,所以4=0,=0,所以,即ACB=90.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分
7、)1.已知向量a,b均为单位向量,若两个向量的夹角是60,则|3a-4b|=()A.5B.C.13D.【解析】选B.因为单位向量a,b的夹角是60,所以(3a-4b)2=9|a|2-24ab+16|b|2=9-24cos 60+16=13,所以|3a-4b|=.2.在ABC中,(+)=|2,则ABC的形状一定是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.由(+)=|2=,得(+-)=0,即(+)=0,所以2=0,所以.所以A=90,又因为根据条件不能得到|=|,故ABC为直角三角形.3.(多选题)已知ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+
8、b,则下列结论正确的是()A.|b|=2B.ab=-1C.abD.(4a+b)【解析】选ABD.在ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2,选项A正确.又=2a且|=2,所以|a|=1,所以ab=|a|b|cos 120=-1,选项B正确,选项C错误.(4a+b)=(4a+b)b=4ab+|b|2=4(-1)+4=0,所以(4a+b),D正确.4.(2019西宁高一检测)已知向量与的夹角为,|=2,|=1,=t,=(1-t),tR,|在t=t0时取得最小值,当0t0时,夹角的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选C.因为向量与的夹角为,|=2,|=1,所以=2cos ,=-=(1-
9、t)-t,得|2=(1-t)2-2t(1-t)+t2=(5+4cos )t2-(2+4cos )t+1,所以t0=,由00,解得-cos 0,因为0,所以.二、填空题(每小题4分,共16分)5.如图,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则(-)=.【解析】由已知得|=,|=,则(-)=(+)=+=1cos+=-.答案:-6.(2019济宁高一检测)已知向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a-b在a+b方向上投影的数量为.【解析】因为向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则|a+b|2=a2+2ab+b2=4+221cos+1=3,所以|a+b|=,且(a-b)(
10、a+b)=a2-b2=3,所以a-b在a+b方向上投影的数量为=.答案:7.(2019宁波高一检测)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,则的值为.【解析】因为在ABC中,A=60,AB=3,AC=2,=2,=-(R),且=-4,所以=cos 60=3,=+,得=(-)=3+4-9-3=-4=.答案:8.已知和是平面内的两个单位向量,它们的夹角为60,则2-与的夹角是.【解析】设2-与的夹角为,则cos =,又与是平面内的两个单位向量,则|=1,|=1,则(2-)=-(2-)=-2+=-2|cos 60+=0,所以cos =0,又0180,所以=90.答案:9
11、0三、解答题(共38分)9.(12分)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120,试求:(1)ab;(2)(a+b)(a-b);(3)(2a-b)(a+3b).【解析】(1)ab=|a|b|cos 120=23=-3.(2)(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)(a+3b)=2a2+6ab-ab-3b2=2|a|2+5ab-3|b|2=24-53-39=-34.10.设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=.(1)求a与b的夹角;(2)求|2a+3b|的大小.【解析】(1)设a与b的夹角为.由已知得=7,即9|a|2-12ab+4|b|2=7,因此9+4-12cos =7,于是cos =,故=,即a与b的夹角为.(2)|2a+3b|=.11.(14分)已知ABC是边长为2的正三角形.(1)计算|+|+|-|.(2)若-与向量的夹角大于90,求实数的取值范围.【解析】(1)因为|+|2=(+)2=+2=4+4+222=12,|-|2=(-)2=+-2=4+4-222=12,所以|+|+|-|=4.(2)因为-与向量的夹角大于90,所以(-)0,即|2-|cos 602.所以实数的取值范围是(2,+).