1、专题讲练 专题5 数 列 第2讲 数列求和第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航考 点新课标卷考题统计考纲解读2019年2018年2017年错位相减法1.数列的求和与数列的通项公式有关，数列的通项公式形式决定了求和所使用的方法2对于不是等差或等比的数列，可以使用转化与化归的思想，通过拆项、减项、合并、分组、裂项、错位等一系列办法，转化成能使用等差或等比的求和公式的形式3考查形式呈现多样化的特点，既有选择、填空题，又有解答题.裂项相消法卷，15分组求和法公式法、并项求和法卷，19卷，17卷，17栏目导航02 热 点 题 型 03 精 题 强 化 01 真 题 感 悟 第一部
2、分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航01 真 题 感 悟 1(2017年新课标)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则 k1n1Sk _.【答案】2nn1第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，则a3a12d3，S44a1432 d10，解得a11，d1，Snn1nn121nn12，1Sk2kk121k 1k1，k1n1Sk2112 1213 1n1n1 21 1n1 2nn1.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2(2018年浙江)已知等比数列an的公比q1，且a3a4a528
3、，a42是a3，a5的等差中项数列bn满足b11，数列(bn1bn)an的前n项和为2n2n.(1)求q的值；(2)求数列bn的通项公式【解析】(1)由等比数列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中项，可得2(a42)a3a528a4，解得a48.由8q88q28，可得q2或q12(舍去)，则q的值为2.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)由(1)得an2n1.设cn(bn1bn)an(bn1bn)2n1.由cn的前n项和为2n2n，可得n1时，c1213，n2时，可得cn2n2n2(n1)2(n1)4n1，上式对n1也成立则(bn1bn)
4、2n14n1，即有bn1bn(4n1)12n1.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)131207121(4n5)12n2，12bn12312 7122(4n5)12n1，12bn72412 12212n2(4n5)12n1724121 12n2112(4n5)12n1，化简可得bn15(4n3)12n2.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航3(2019年天津)设an是等差数列，bn是等比数列已知a14，b16，b22a22，b32a34.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列cn满足c11，c
5、n1，2kn2k1，bk，n2k，其中kN*.(i)求数列a2n(c2n1)的通项公式；(ii)求2ni1aici(nN*)第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)设an的公差为d，bn的公比为q，依题意，有6q62d，6q2124d，解得d3，q2.an43(n1)3n1，bn62n132n.(2)(i)a2n(c2n1)a2n(bn1)(32n1)(32n1)94n1，a2n(c2n1)的通项公式为94n1.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(ii)i12naicii12naii1na2i(c2i1)i12n(3i1)i1n(94
6、i1)2n432n129414n14 n322n152n112(22n1)n2722n152n1n12.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航1等差、等比数列的前n项和公式(1)等差数列：Snna1an2na1nn12d；(2)等比数列：Snna1，q1，a1anq1q a11qn1q，q1.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2一些常见数列的前n项和公式(1)1234nnn12；(2)1357(2n1)n2；(3)24682nn2n.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航例1(2018年新课标)等比数列an中，a11，a54
7、a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和，若Sm63，求m.【分析】第一问利用等比数列的基本公式求出数列的公比，从而求得通项公式；第二问利用求和公式求解关于m的方程，确定解的情况02 热 点 题 型 公式法求和第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)设等比数列an的公比为q.由a11，a54a3，得1q44(1q2)，解得q2.当q2时，an2n1；当q2时，an(2)n1.(2)当q2时，Sn112n1212n3，由Sm63，得12m363，mN*，无解；当q2时，Sn112n122n1，由Sm63，得2m163，解得m6.第一部分 专题讲
8、练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(1)(2018年广东佛山模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn且a245，a441，则Sn取得最小值时n的值为()A23 B24或25 C24 D25(2)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn且满足a3a4117，a2a522.求an和Sn；若数列bn是等差数列且bn Snnc，求非零常数c.【答案】(1)C(2)见解析第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回
9、导航【解析】(1)等差数列an的前n项和为Sn，且a245，a441，a1d45，a13d41，解得a147，d2.Sn47nnn122n248n(n24)2576.Sn取得最小值时n的值为24.故选C(2)数列an为等差数列，a3a4a2a522.又a3a4117，a3，a4是方程x222x1170的两实根又公差d0，a3a4.a39，a413.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航a12d9，a13d13，解得a11，d4.an4n3.Snna1nn12d2n2n.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航由，知Sn2n2n，bn Snnc2n2nn
10、c，b1 11c，b2 62c，b3 153c.数列bn是等差数列，2b2b1b3，即 62c2 11c 153c.2c2c0.c12或c0(舍去)当c12时，bn2n2nn122n，满足题意，故c12.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航例2(2018年北京海淀区二模)已知等差数列an满足2an1an2n3.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列anbn是首项为1，公比为2的等比数列，求数列bn的前n项和【分析】(1)an是等差数列，利用等差的性质建立关系求解即可(2)数列anbn是首项为1，公比为2的等比数列，求解等比数列的通项，利用分组求和法即可求解数列bn的前
11、n项和【解析】(1)因为数列an是等差数列，所以anan22an1.因为2an1an2n3，所以an22n3.当n1时，an2(n2)32n1.所以an2n1.分组转化法求和第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)因为数列anbn是首项为1，公比为2的等比数列，所以anbn2n1.因为an2n1，所以bn2n1(2n1)设数列bn的前n项和为Sn，则Sn(1242n1)135(2n1)12n12 n12n122n1n2.所以数列bn的前n项和为2n1n2.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航1若anbncn且bn，cn为等差或等比数列，可采用分
12、组求和法求an的前n项和2通项公式为anbn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和3某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2018年山东淄博二模)已知等比数列an的前n项和为Sn，数列bnn 是公差为1的等差数列，若a12b1，a4a212，S42S23S3.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cnnbnn2，n为奇数，2an
13、，n为偶数，Tn为cn的前n项和，求T2n.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)由S42S23S3，得S4S32(S3S2)，即a42a3，等比数列an的公比q2.又a4a212，a1q3a1q6a112，解得a12.an2n.由a12b1，得b11.bnn b1(n1)1n，bnn2.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)cnnbnn2，n为奇数，2an，n为偶数1nn2，n为奇数，21n，n为偶数，T2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)113 13512n12n1 1218 122n112113131512n112n1
14、 121 14n114n2n1231 14n.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航错位相减法求和例3(2017年山东)已知an是各项均为正数的等比数列且a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n1bnbn1，求数列 bnan的前n项和Tn.【解析】(1)设an的公比为q，由题意知a1(1q)6，a21qa1q2.又an0，解得a12，q2，所以an2n.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)由题意知S2n12n1b1b2n12(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn1
15、0，所以bn2n1.令cnbnan，则cn2n12n，因此Tnc1c2cn32 522 7232n12n1 2n12n，又12Tn 322 523 7242n12n2n12n1，第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航两式相减得12Tn3212 122 12n1 2n12n1 321 12n12n12n1 522n52n1，所以Tn52n52n.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的第一部分 专题讲练
16、高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2018年福建南平一模)已知等差数列an满足a36，前7项和为S749.(1)求an的通项公式；(2)设数列bn满足bn(an3)3n，求bn的前n项和Tn.【解析】(1)由S77a1a727a449，得a47.a36，d1.ana3(n3)dn3.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)bn(an3)3nn3n，Tn131232333n3n.3Tn132233334n3n1.2Tn33233343nn3n133n113 n3n1.Tn2n13n134.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航裂项相消法求和
17、例4(2018年四川攀枝花三模)已知an是公差为2的等差数列，数列bn满足b112，b214且anbn1nbnbn1(nN*)(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn1log2bnlog2bn2，数列cn的前n项和为Sn，求证：Sn34.【分析】(1)根据题意求出a1的值，又公差为2，可得an.将an代入题目的关系式，得出bn为等比数列，利用等比数列的通项公式可得bn.(2)由(1)知cn1log2bnlog2bn21nn2121n 1n2，利用裂项求和即可得出第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)由题意可知，n1时，a1b2b1b2a13，又an的公
18、差为2，故an2n1.从而有(2n1)bn1nbnbn12bn1bn，故数列bn是公比为 12 的等比数列又b112，所以bn12n.(2)由(1)知cn1log2bnlog2bn21nn2121n 1n2，故Sn1211312141315 1n11n11n 1n21232 1n1 1n2 342n32n1n2an(nN*)，a11，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，an2log2bn1.(1)分别求数列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.【解析】(1)设d为等差数列an的公差，且d0.由a11，a21d，a312d，分别加上1,1,3后成等比数列，得(2d)
19、22(42d)因为d0，所以d2，所以an1(n1)22n1.又因为an12log2bn，所以log2bnn，即bn 12n.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)Tn 121 322 5232n12n，12Tn 122 323 5242n12n1.，得12Tn122122 123 124 12n 2n12n1.所以Tn11 12n11122n12n3 12n22n12n32n32n.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航3等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一
20、列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前2n项和S2n.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318，所以公比q3，an23n1.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以S2nb1b2b2n2(1332n1)111(1)2n(ln 2ln 3)123(1)2n2nln 32132n13 nln 332nnln 31.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航专题复习检测谢谢观看
