1、选修44 坐标系与参数方程第1讲坐标系 基础知识整合1坐标变换平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标与直角坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|(0)，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角为，则点M可用有序数对(，)表示(3)极坐标与直角坐标的互
2、化公式：在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，射线Ox的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系设点P的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(，)，则相互转化公式为3常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos圆心为，半径为r的圆2rsin(00)与圆2cos相切，则a_.答案1解析因为2x2y2，xcos，ysin，由cossina(a0)，得xya(a0)，由2cos，得22cos，即x2y22x，即(x1)2y21，因为直线与圆相切，所以1，所以a1，又因为a0，所以a1.核心考向突破考向一平面直角坐标系下的
3、坐标变换例1将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解(1)设点(x1，y1)为圆上的点，经变换为C上的点(x，y)，依题意，得由xy1，得x221，即曲线C的方程为x21.(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k，于是所求的直线方程为y1，化为极坐标方程并整理，得2cos4sin30.平面直角坐标系下图形的变换技巧平面图形的伸缩变换可以用
4、坐标伸缩变换来表示在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆即时训练1.求椭圆y21经过伸缩变换后的曲线方程解由得到将代入y21，得y21，即x2y21.因此椭圆y21经伸缩变换后得到的曲线方程是x2y21.考向二极坐标与直角坐标的互化例2在极坐标系中，已知圆O：cossin和直线l：sin.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标解(1)由cossin，得2cossin，把代入2cossin，得圆O的直角坐标方程为x2y2xy0.由l：sin，得sincos1，因为所以直线l的直角
5、坐标方程为xy10.(2)由解得进而，由得因为(0，)，所以，故公共点的极坐标为.直角坐标方程与极坐标方程互化的方法直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式xcos及ysin直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如cos，sin，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验即时训练2.(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30.(1)求C2的直角坐标方程；
6、(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解(1)由xcos，ysin，得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)，知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设，知C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线，曲线C1的方程为y记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个
7、公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.考向三极坐标方程及其应用例3(1)(2019全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.当0时，求0及l的极坐标方程；当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解因为M(0，0)在曲线C上，当0时，04sin2.由已知，得|OP|OA|cos2.设Q(，)为l上除P外的任意一点在RtOPQ中，co
8、s|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上，所以l的极坐标方程为cos2.设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因为P在线段OM上，且APOM，所以的取值范围是.所以P点轨迹的极坐标方程为4cos，.(2)(2019南宁模拟)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系求C1，C2的极坐标方程；若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解xcos，ysin，C1的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为22cos4sin40.将代入22cos4sin40，得
9、2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，用极坐标法使问题变得简单、直接，解题的关键是极坐标选取要得当，这样可以简化运算过程如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标转化为直角坐标来求解即时训练3.(2019全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解
10、(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos，所以M1的极坐标方程为2cos，M2的极坐标方程为2sin，M3的极坐标方程为2cos.(2)设P(，)，由题设及(1)，知若0，则2cos，解得；若，则2sin，解得或；若，则2cos，解得.综上，P的极坐标为或或或.4在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4.(1)设M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设点P的极坐标为(，)(0)，点M的极坐标为(1，)(10)由题设，知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程为4cos(0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设，知|OA|2，B4cos，于是OAB的面积为S|OA|BsinAOB4cos22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.
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