1、内蒙古宁城蒙古族中学2021届高三数学上学期模拟考试试题（二）本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟第卷选择题(共45分)参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A，B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B)锥体的体积公式VSh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球体VR3，其中R为球的半径 一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设复数za2i(aR)的共轭复数为z(i是虚数单位)，且zz2，则复数在复平面内对应点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限
2、D第四象限2设xR，则“x31”是“ab Bcba Cbac Dabc4已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次(假定费用只可能为1、2、3元)甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为()A0.18 B0.3 C0.24 D0.365在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a1，c2，bsinAasin，则sinC()A. B. C. D.6已知双曲线C：1(a0)的右焦点为F，圆x2y2c2(c为双曲线的半焦距)与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则
3、双曲线C的方程是()A.1 B.1C.1 Dx217把函数f(x)Asin(A0)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(xm)(m0)是偶函数，则实数m的最小值是()A. B. C. D.8已知a、b0，则当a取最小值时，a2的值为()A2 B2 C3 D49已知函数f(x)函数g(x)f(1x)kxk恰有三个不同的零点，则k的取值范围是()A(2，0 B(2，0C(2，0 D(2，0第卷非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在相应的横线上)10已知全集为R，集合M1，0，1，5，Nx|x2x20，则M(RN)_11.的展开式中，项
4、的系数为_12已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0上单调递增，若实数a满足f(2log3a)f()，则a的取值范围是_13农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_14设抛物线y22px(p0)的焦点为F(1，0)，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C
5、，D，若|AF|4|BF|，则p_；CDF的面积为_15已知平行四边形ABCD的面积为9，BAD，E为线段BC的中点则_；若F为线段DE上的一点，且，则|的最小值为_三、解答题(本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学、英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示：组别性别数学英语男51女33现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取3名同学进行测试(1)求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；(2)记为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望17(本小题满分1
6、4分)如图，四边形ABCD为平行四边形，ABD90，EB平面ABCD，EFAB，AB2，EB，EF1，BC，且M是BD的中点(1)求证：EM平面ADF；(2)求二面角DAFB的大小；(3)线段EB上是否存在点P，使得直线CP与直线AF所成的角为30？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由18(本小题满分15分)已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点.F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF，BF分别交椭圆于C，D两点(1)求椭圆的标准方程；(2)若|AF|FC|，求的值；(3)设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2mk1？若存在，求出m的值；若
7、不存在，请说明理由19(本小题满分16分)已知数列an是公差不为0的等差数列，a1，数列bn是等比数列，且b1a1，b2a3，b3a4，数列bn的前n项和为Sn.(1)求数列bn的通项公式；(2)设cn(nN*)求cn的前n项和Tn；(3)若ASnB对nN*恒成立，求BA的最小值20(本小题满分16分)已知函数f(x)exexsinx，x(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的值域；(2)若不等式f(x)k(x1)(1sinx)对任意x恒成立，求实数k的取值范围；(3)证明：ex11.数学答案1A命题立意本题考查复数的四则运算、复数的有关概念解析za2i，za2i，又zz2，a2ia2i2
8、，a1，z12i，对应点位于第一象限，故选A.2B命题立意本题考查不等式解法、充分必要条件解析由x31得x1，由得0x1，(0，1)(，1)，“x31”是“lna1，bab，故选A.4B命题立意本题考查相互独立事件同时发生的概率、互斥事件的和事件的概率解析甲、乙所扣费用都为1元的概率P10.50.20.1，都为2元的概率为P20.20.40.08，都为3元的概率为P3(10.50.2)(10.20.4)0.12，甲、乙两人所扣费用相同的概率为PP1P2P30.3，故选B.5B命题立意本题考查正、余弦定理解析bsinAasin，sinBsinAsinAsin(B)，sinA0，sinBsin，s
9、inBcosBsinB，tanB，B，a1，c2，b2a2c22accosB7，b，sinC，故选B.6D命题立意本题考查双曲线的方程、几何性质解析圆x2y2c2与双曲线1(a0)的一条渐近线yx联立得A(a，)，B(a，)，又F(c，0)，M，又M在yx上，c2a，又c2a23，a1，双曲线方程为x21，故选D.7C命题立意本题考查图象变换、正弦型函数的性质解析由题意得g(x)Asin，g(xm)Asin是偶函数，2mk，kZ，m，kZ，又m0，m的最小值是，故选C.8C命题立意本题考查基本不等式解析，a2，又a0，b0，a24，当且仅当b2a时等号成立，a2，当且仅当b2a时等号成立a取最
10、小值时，a23，故选C.9D命题立意本题考查分段函数、函数零点解析g(x)f(1x)kxk恰有三个不同的零点，f(1x)k(x1)恰有三个不同实根，令1xt，则f(t)kt恰有三个不同实根，即yf(x)与ykx的图象恰有三个交点，画出图象如图：当k0时，有三个交点，当ykx与f(x)(x0)相切时k，当ykx与f(x)x22x1(x0)相切时k2.由图可得，当两图象有三个交点时2k0或k，故选D.100，1命题立意本题考查不等式解法、集合的交集、补集运算解析Nx|x2x20x|x2或x1，RNx|1xf()，2log3a，log3a，0a.13.命题立意本题考查组合体的体积、内切球的体积解析由
11、题意知：该六面体为两个底面重合的正四面体组成的组合体，正四面体的棱长为1，高h ，六面体的体积V2.当球为该六面体的内切球时体积最大，设内切球半径为r，则r，球的体积为V球r3.1425命题立意本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系解析焦点F(1，0)，1，p2，抛物线方程为y24x，如图：过B作BMAC于M点，则由抛物线定义得|AF|AC|，|BF|BD|，|CM|BD|.|AF|4|BF|，|AC|4|BD|，|AM|3|BD|3|BF|，cosMAB，kABtanMAB，AB的方程为y(x1)与y24x联立，消y得4x217x40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x
12、2，|AB|x1x2p，|CD|AB|sinMAB5，SCDF|CD|25.159命题立意本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形面积解析SABCD2SABDABADsinBAD，9ABADsin，ABAD18，|cos189.()，E、F、D三点共线，1，|222225，ABAD18，|22 55.当且仅当AB3，AD时等号成立，|AF|的最小值为.16命题立意本题考查古典概型和离散型随机变量的分布列和期望、分层抽样解题思路(1)先按分层抽样比例确定各组抽取人数，再由古典概型概率公式求解即可；(2)写出的所有可能取值，再按照互斥事件和相互独立事件的概率公式分别求出对应的概率，写出分布
13、列，代期望公式得期望值解(1)两小组的总人数之比为8421，共抽取3人，所以数学组抽取2人，英语组抽取1人从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：1名男同学、1名女同学；2名女同学所以所求概率P.(2)由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以的分布列为：0123PE()0123.17命题立意本题考查线面平行的证明，异面直线所成角、二面角解题思路(1)建立空间直角坐标系，求出平面ADF的一个法向量n，利用n0，证得EM平面ADF；(2)求出平面AFB的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值，从而得二面角的大小；(3)假设存在点P满足条件，设
14、P(0，0，t)，利用|cos，|cos30，求解t值，t无解，故不存在满足条件的点P.解(1)证明：因为EB平面ABD，ABBD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.由已知可得各点坐标为：B(0，0，0)，A(0，2，0)，D(3，0，0)，C(3，2，0)，E(0，0，)，F(0，1，)，M.，(3，2，0)，(0，1，)设平面ADF的一个法向量是n(x，y，z)由得令y3，则n(2，3，)又因为n(2，3，)3030，所以n，又EM平面ADF，所以EM平面ADF.(2)由(1)可知平面ADF的一个法向量是n(2，3，)因为EB平面ABD，所以EBBD，又因为ABBD，所以
15、BD平面EBAF.故(3，0，0)是平面EBAF的一个法向量所以cos，n，又二面角DAFB为锐角，故二面角DAFB的大小为60.(3)假设线段EB上存在点P，使得直线CP与直线AF所成的角为30，不妨设P(0，0，t)(0t)，则(3，2，t)，(0，1，)所以|cos，|，由题意得，化简得4t35，解得tb0)，由题意知：解得所以椭圆方程为1.(2)若|AF|FC|，由椭圆对称性，知A，所以B，此时直线BF方程为3x4y30.由得7x26x130，解得x(x1舍去)，故.(3)若直线AF的斜率不存在，则直线AF的方程为：x1.此时：A，B，C，D.k1，k2.k2k1，即存在m满足题意若直
16、线AF的斜率存在设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，直线AF的方程为y(x1)，代入椭圆方程1得：(156x0)x28y20x15x2024x00.因为xx0是该方程的一个解，所以C点的横坐标xC，又C(xC，yC)在直线y(x1)上，所以yC(xC1)，同理，D点坐标为，所以k2k1，即存在m，使得k2k1.综合知存在m满足题意19命题立意本题考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、数列的单调性与最值解题思路(1)由已知列方程组求得d和q，得bn的通项公式；(2)由(1)得an的通项公式，分n5、n6两种情况利用等差、等比数列的前n项和公式求得Tn；(3)由(1)求得Sn，分n为奇数
17、、n为偶数两种情况，求得Sn的值域，从而得到Sn的值域，利用A，B得BA的最大值解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则由题意可得解得或数列an是公差不为0的等差数列，q，数列bn的通项公式bn3.(2)由(1)知an(n1)，当n5时，Tnb1b2bn1，当n6时，TnT5c6c7cnT58(a6a7an)T5818n2n，Tn(3)由(1)可知Sn1，令tSn，Sn0，t随着Sn的增大而增大，当n为奇数时，Sn1在奇数集上单调递减，Sn，t，当n为偶数时，Sn1在偶数集上单调递增，Sn，t，tmin，tmax，ASnB对nN*恒成立，A，B，BA的最小值为.20命题立意
18、本题考查利用导数研究函数的单调和值域、恒成立问题、证明不等式解题思路(1)对f(x)求导，判正负，得f(x)的单调性，从而求得值域；(2)问题转化为exk(x1)恒成立，求k的范围构造函数g(x)exkxk，对g(x)求导，分k0，0k0, 故h(x)0，命题得证解(1)f(x)exex(sinxcosx)ex(1sinxcosx)exex，x，x，sin，所以f(x)0，故函数f(x)在上单调递减，故f(x)maxf(0)e0e0sin01；f(x)minfeesin0，所以函数f(x)的值域为0，1(2)原不等式可化为ex(1sinx)k(x1)(1sinx)(*)，因为1sinx0恒成立
19、，故(*)式可化为exk(x1)令g(x)exkxk，则g(x)exk，当k0时，g(x)exk0，所以函数g(x)在上单调递增，故g(x)g(0)1k0，所以1k0；当k0时，令g(x)exk0，得xlnk，当x(0，lnk)时，g(x)exk0.1)当lnk，即0k0，2)当lnk，即ke时，函数g(x)在上单调递减，g(x)mingekk0，解得ek，综上，1k.(3)证明：令h(x)ex11，则h(x)ex1x.由he10，故存在x0，使得h(x0)0即ex01x0.且当x(，x0)时，h(x)0.故当xx0时，函数h(x)有极小值，且是唯一的极小值，故函数h(x)minh(x0)ex011112.因为x0，所以0，故h(x)ex110，所以ex11.