1、考点规范练46抛物线一、基础巩固1.已知抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为()A.14B.-14C.4D.-42.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有一个相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是()A.y2=22xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=42x3.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为ABC的重心,则|FA|+|FB|+|FC|的值为()A.1B.2C.3D.44.过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是()A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=-12yD.x2=12y5.已知抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜
2、率为33的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则AHF的面积是()A.4B.33C.43D.86.已知直线l:y=kx-k(kR)与抛物线C:y2=4x及其准线分别交于M,N两点,F为抛物线C的焦点,若2FM=MN,则实数k等于()A.33B.1C.3D.27.(多选)已知抛物线x2=12y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点,则下列说法正确的是()A.点F的坐标为18,0B.若直线MN过点F,则x1x2=-116C.若MF=NF,则|MN|的最小值为12D.若|MF|+|NF|=32,则线段MN的中点P到x轴的距离为588.已
3、知过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F的直线l:y=4x+b截抛物线C所得的弦长为17,设点A为抛物线C上的动点,点B(2,6),过点A作抛物线C的准线l1的垂线,垂足为D,则|AB|+|AD|的最小值为.9.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,点P为准线l上一点,且不在x轴上,直线PF交抛物线C于A,B两点,且PA=3AF,则|AB|=;设坐标原点为O,则AOB的面积为.10.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=8.(1)求l的方程;(2)若点A关于x轴的对称点为D,求证:直线BD过定点,并求出该点的坐标.二、综合应用11.如图
4、所示,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为()A.5B.6C.163D.20312.已知直线l:y=kx+1与抛物线C:x2=4y交于A,B两点,直线m:y=2kx+2与抛物线D:x2=8y交于M,N两点,若对于任意kR,|AB|-|MN|为定值,则实数的值为()A.12B.8C.4D.213.(多选)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两点,则下列说法正确的是()A.点F的坐标为(1,0)B.若A,F,B三点共线,则OAOB=-3C.若直线OA与OB的斜率之积
5、为-14,则直线AB过点FD.若|AB|=6,则AB的中点到x轴的距离的最小值为214.已知直线l:y=kx+t与圆:x2+(y+1)2=1相切,且与抛物线C:x2=4y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是.15.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点,过点F且倾斜角为6的直线l1与抛物线E相交于A,B两点,且|AB|=12,过点F且斜率为3的直线l2与抛物线E相交于C,D两点.(1)求抛物线E的方程;(2)若点A和C均在第一象限,求证:抛物线E的准线、直线AC和直线BD三线共点.三、探究创新17.已知抛物线x
6、2=4y的焦点为F,过直线y=x-2上任一点引抛物线的两条切线,切点为A,B,则点F到直线AB的距离()A.无最小值B.无最大值C.有最小值,最小值为1D.有最大值,最大值为5考点规范练46抛物线1.B由y=ax2,变形得x2=1ay.又抛物线的准线方程是y=1,-14a=1,解得a=-14.2.D由已知得双曲线的焦点为(-2,0),(2,0).设抛物线C的方程为y2=2px(p0),则p2=2,所以p=22,所以抛物线C的方程为y2=42x.故选D.3.C依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点为F12,0,F为ABC的重心,所以x1+x2+x3=312=32
7、,则|FA|+|FB|+|FC|=x1+12+x2+12+x3+12=(x1+x2+x3)+32=32+32=3.4.D过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.5.C由抛物线的定义可得|AF|=|AH|,AF的斜率为33,AF的倾斜角为30.AH垂直于准线,FAH=60,故AHF为等边三角形.设Am,m24,m0,过F作FMAH于点M,则在FAM中,|AM|=12|AF|,m24-1=12m24+1,解得m=23,故等边三角形AHF的边长|AH|=4,AHF的面积是1244sin60=43.故选C.6.
8、C抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),直线l:y=kx-k过抛物线C的焦点F.当k0时,如图所示,过点M作MM垂直于准线x=-1,垂足为M,由抛物线的定义,得|MM|=|MF|,易知MMN与直线l的倾斜角相等,由2FM=MN,得cosMMN=|MM|MN|=12,则tanMMN=3,故直线l的斜率k=3.当k0)的焦点为Fp2,0,直线l过焦点F,故b=-2p.设交点的横坐标分别为x1,x2,联立抛物线C的方程和直线l的方程,得y2=2px,y=4x-2p,消去y,得16x2-18xp+4p2=0,故x1+x2=98p,所以x1+x2+p=178p=17,解得p=8,故y2=16x.所以
9、|AB|+|AD|=|AB|+|AF|BF|=210,当点B,A,F共线,且点A在第一象限时,等号成立.9.962抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为l:x=-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),过点A作ADl于点D(图略),由抛物线的定义可知|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4.PA=3AF,|PA|=3|AD|,|PD|=22|AD|,直线PF的斜率为22.F(2,0),直线PF的方程为y=22(x-2).将y=22(x-2)代入方程y2=8x,得8(x-2)2=8x,化简得x2-5x+4=0,x1+x2=5,于是|AB
10、|=x1+x2+4=9.点O到直线PF的距离d=423,SAOB=12|AB|d=129423=62.10.解(1)易知点F的坐标为(1,0),则直线l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.由题意知k0,且=-(2k2+4)2-4k2k2=16(k2+1)0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+2=8,2k2+4k2=6,k2=1,即k=1,直线l的方程为y=(x-1).(2)由题意知点D的坐标为(x1,-y1),直线BD的斜率kBD=y2+y1x2-x1=
11、y2+y1y224-y124=4y2-y1,直线BD的方程为y+y1=4y2-y1(x-x1),即(y2-y1)y+y2y1-y12=4x-4x1.y12=4x1,y22=4x2,x1x2=1,(y1y2)2=16x1x2=16,即y1y2=-4(y1,y2异号),直线BD的方程为4(x+1)+(y1-y2)y=0,故直线BD恒过点(-1,0).11.C如图所示,设l与x轴交于点M,过点A作ADl并交l于点D,由抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中点,知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则
12、|AF|=x1+p2=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2=p24=1,所以x2=13,所以|AB|=x1+x2+p=163.故选C.12.B设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+1,x2=4y,消去y得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4,|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k216k2+16=4(1+k2).设M(x3,y3),N(x4,y4),由y=2kx+2,x2=8y,消去y得x2-16kx-16=0,x3+x4=16k,x3x4=-16,|MN|=1+4k2(x3+x4)2-4x3x4=1+4k2(16k)2+64=8(1+4k2).
13、|AB|-|MN|=4(1+k2)-8(1+4k2)=4-2+(-8)k2为定值,-8=0,即=8.13.BCD由已知得焦点F的坐标为(0,1),故A错误.设直线AB的方程为y=kx+1,由x2=4y,y=kx+1,消去y,得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4,y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,OAOB=x1x2+y1y2=-4+1=-3,故B正确.设直线AB的方程为y=kx+m,由x2=4y,y=kx+m,消去y,得x2-4kx-4m=0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-4k2m+4mk2+m2=m2
14、.直线OA与OB的斜率之积为-14,y1x1y2x2=-14,即m2-4m=-14,解得m=1,直线AB的方程为y=kx+1,即直线AB过点F,故C正确.|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k216k2+16m=6,4(1+k2)(k2+m)=9,m=94(1+k2)-k2.y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k2+2m,AB的中点到x轴的距离为d=2k2+m=2k2+94(1+k2)-k2=k2+94(1+k2)=k2+1+94(1+k2)-12(k2+1)94(1+k2)-1=3-1=2,当且仅当k2=12时取等号,故AB的中点到x轴的距离的最小值为2,故D正确.14.(
15、-,-3)(0,+)由题意知k0.因为直线l与圆相切,所以|t+1|1+k2=1,即k2=t2+2t.由k20,得t0或t0,得t0或t0)联立,从而有4x2-5px+p2=0.由题意知,=25p2-16p2=9p20,方程有两个不等实根,所以x1+x2=5p4.由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.(2)由于p=4,则4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,则有x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,则有A(1,-22),B(4,42).设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=
16、(4+1,42-22).又y32=8x3,即22(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.16.(1)解抛物线E:y2=2px(p0)的焦点坐标为Fp2,0,直线l1的方程为y=33x-p2,设点A(x1,y1),B(x2,y2),由y=33x-p2,y2=2px,整理得x2-7px+p24=0,所以x1+x2=7p,所以|AB|=x1+x2+p=8p=12,所以p=32,所以抛物线E的方程为y2=3x.(2)证明由(1)可知抛物线E的准线方程为x=-34,焦点F34,0,所以直线l1的方程为y=33x-34,代入抛物线的方程,得13x2-72x+316=0,可得
17、x1x2=916,则y123y223=916,即y1y2=-94.直线l2的方程为y=3x-34,设点C(x3,y3),D(x4,y4),由y=3x-34,y2=3x,整理得16x2-40x+9=0,x3x4=916,可得y3y4=-94.所以直线AC的斜率为y1-y3y123-y323=3y1+y3,可得直线AC的方程为y-y1=3y1+y3x-y123,同理可得直线BD的方程为y-y2=3y2+y4x-y223,准线方程为x=-34.将准线方程代入直线AC的方程,得y=y1y3-94y1+y3,将准线方程代入直线BD的方程可得y=y2y4-94y2+y4.由y1y3-94y1+y3-y2y
18、4-94y2+y4=y1y3-94(y2+y4)-y2y4-94(y1+y3)(y1+y3)(y2+y4),上式的分子为y1y2y3+y1y3y4-94y2-94y4-y1y2y4+y2y3y4-94y1-94y3=-94y3-94y1-94y2-94y4-94y2-94y4-94y1-94y3=0,得直线AC,直线BD与准线交于同一点,即抛物线E的准线、直线AC和直线BD三线共点.17.D设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B两点在抛物线上,所以x12=4y1,x22=4y2.以A为切点的切线方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x12x-y1.同理,以B为切点的切线方程为y=x22x-y2.设直线y=x-2上任一点P(x0,y0),将P(x0,y0)的坐标代入,得y0=x12x0-y1,y0=x22x0-y2,所以直线AB的方程为y0=x2x0-y,即y=x02x-y0.又y0=x0-2,所以y=x0x2-1+2.因为直线AB过定点C(2,2),所以当CFAB时,F(0,1)到直线AB的距离的最大值为(2-0)2+(2-1)2=5,当直线AB过点F时,距离的最小值为0.10
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