1、一、知识梳理：1、（1）两条直线相交、平行与重合条件已知两条直线的方程为l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0l1与l2相交的条件是A1B2A2B10；或；l1与l2平行的条件是A1B2A2B1=0且C1B2C2B10；或.l1与l2重合的条件是A1=A2，B1=B2，C1=C2，或.（2）判定两直线相交、平行、重合的步骤；已知两条直线的方程为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0给A1、A2、B1，B2、C1、C2赋值；计算D1=A1B2A2B1，D2=B1C2B2C1；若D10，则l1与l2相交；若D1=0，D20，则l1与l2平行；若D1=
2、0，D2=0，则l1与l2重合.（3）设两条直线的方程分别为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，若方程组有惟一实数解，以这个解为坐标的点，就是两条直线的交点；若方程组无解时，说明l1与l2平行；若方程组有无数个解时，说明l1与l2重合。2、两条直线垂直的条件（1）已知两条直线的方程为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，l1、l2垂直的条件是A1A2+B1B2=0；（2）若l1的斜率是，l2的斜率为，即当l1、l2的斜率都存在时，直线l1与l2垂直的条件是k1k2=1，当两条直线垂直时，这两条直线的倾斜角的差为90。3、直线系一般地说，具有
3、某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫直线系方程，直线系方程中除含变量x，y以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，简称参数.经过定点的直线系方程：（1）过定点P(x0,y0)的直线yy0=k(xx0)（k为参数）是一束直线（ 方程中不包括与y轴平行的那一条）（即x=x0），所以yy0=k(xx0)是经过点P(x0,y0)的直线系方程；（2）直线y=kx+b ,（其中k为参数，b为常数），它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y轴（即x=0）；（3）经过两条直线交点的直线系方程：l1：A1x+B1y+C1=0(A12+B120)与l2：A2x+B2y+C2=0(A22+B220
4、)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0，（其中m、n为参数，m2+n20）当m=1，n=0时，方程即为l1的方程；当m=0，n=1时，方程即为l2的方程.上面的直线系可改写成（(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0（其中为参数），但是方程中不包括直线l2，这个参数方程形式在解题中较为常用. 4、点到直线的距离公式点P(x1，y1)到直线l：Ax+By+C=0 (A2+B20)的距离.（1）从运动的观点来看，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线
5、方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式方程；（3）若点P在直线上，则点P到直线的距离为零，距离公式仍然成立。5、求点到直线的距离的步骤求点P(x1，y1)到直线l：Ax+By+C=0 (A2+B20)的距离的计算步骤是：（1）给点的坐标赋值：x1=？；y1=?；（2）给A、B、C赋值：A=？，B=?；C=？；（3）计算；（4）给出d的值.6、两平行线间的距离两条平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0之间的距离是.二、题型探究：、：判断或证明直线的平行关系例1已知直线l1：3x+6y+10=0，l2：x=2y+5，求证：l1/l2.证法一：把l1与l2的方程写成斜截式，
6、因为k1=k2，b1b2，所以l1/l2.证法二：把l2的方程写成一般式x+2y5=0， 因为A1B2A2B1=0，B1C2B2C10，所以l1/l2.例2已知两直线l1：mx+8y+n=0，l2：2x+my+1=0，试确定m、n的值，使l1/l2.解：由mm82=0，得m=4，由8(1)mn0，得n2，即m=4，n2或m=4，n2时l1/l2.根据平行或垂直条件求直线方程例3求直线l的方程：（1）过点P(2，1)且与直线3x2y6=0平行；（2）过点P(1，1)且与直线2x+3y+1=0垂直；解： （1）因已知直线与所求直线平行，故所求直线可设为3x2y+C=0，由点P(2，1) 在直线上解
7、得C=8，故所求直线方程为3x2y8=0.（2）因已知直线与所求直线垂直，故所求直线可设为3x2y+C=0，由点P(1，1)在直线上解得C=5，故所求直线方程为3x2y5=0.求直线交点例4求下列两直线的交点l1：3x+4y2=0，l2：2x+y+2=0解：解方程组得，所以两直线的交点是(2，2).已知直线的位置关系，求参数值例5直线l1：(m+2)x+(m23m)y+4=0，l2：2x+4(m3)y1=0如果l1/l2，求m的值.解：若l1/l2.，则有，解得：m=4或m=3. 例6直线l1：ax+(1a)y3=0与l2：(a1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a的值.解：利用A1A2+B
8、1B2=0，即a(a1)+(1a)(2a+3)=0解得：a=1 或a=3. 求两平行线间的距离例8求平行线2x7y+8=0和2x7y6=0间的距离.解：在直线2x7y6=0上任取一点，不妨取(3，0)，则点(3，0)到直线2x7y+8=0的距离就等于两平行线间的距离。因此d=.根据距离求直线方程例9求过点A(1，2)且与原点的距离为的直线方程。解：设直线的方程为y2=k(x+1)，则kxy+2+k=0, 所以，解得k=1或k=7，故所求的直线方程为x+y1=0或7x+y+5=0.三、 方法提升： 四、反思感悟 五、课时作业（一）1如果直线ax+2y+2=0与直线3xy2=0平行，那么系数a的值
9、为（ B ） （A） （B）6 （C）3 （D）2若直线(2a+5)x+(a2)y+4=0与直线(2a)x+(a+3)y1=0互相垂直，则（ C ） （A）a=2 （B）a=2 （C）a=2或a=2 （D）a=2，0，3如果直线ax+y4=0与直线xy2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（ A ） （A）1a1 （C）a2 （D）a24直线Ax+4y1=0与直线3xyC=0重合的条件是（ D ）（A）A=12，C0 （B）A=12，C= （C）A=12，C （D）A=12，C=5若两条直线l1，l2的方程分别为 A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，l1与l2只有一个公共点
10、，则（ B ）（A）A1B1A2B2=0 （B）A1B2A2B10 （C） （D）6已知点P(1，1)和直线l：3x4y20=0，则过P与l平行的直线方程是 3x4y+1=0 ；过P与l垂直的直线方程是 4x+3y7=0 . 7设直线l1：(m2)x+3y+2m=0与l2：x+my+6=0，当m3且m1 时，l1与l2相交；当m= 1 时，l1与l2平行；当m= 时，l1l2. 8设三条直线：x2y=1，2x+ky=3，3kx+4y=5交于一点，求k的值.解：解方程组：，解得即前两条直线的交点为，因为三直线交于一点，所以第三条直线必过此定点，故，解得k=1或k=。9光线由点A(1，4)射出，在
11、直线l：2x+3y6=0上进行反射，已知反射光线过点B(3，)，求反射光线所在直线的方程.解：设点A关于直线l：2x+3y6=0的对称点A的坐标为(x0，y0)，则由直线l的斜率为k=，得，即，得3x02y0=11，因为AA1的中点在直线l上，所以，得2x0+3y0=2联立方程组解得，所以反射光线AB所在直线的方程为：，得13x26y+85=0.课时作业（二）1过两直线3x+y1=0与x+2y7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ B ） （A）x3y+7=0 （B）x3y+13=0 （C）2x7=0 （D）3xy5=02过点P(1，4)和Q(a，2a+2)的直线与直线2xy3=0平
12、行，则a的值（ B ） （A）a=1 （B）a1 （C）a=1 （D）a13直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ C ）（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定，与m，n取值有关4经过两条直线2x+y8=0和x2y+=0的交点，且平行于直线4x3y7=0的直线方程是 4x3y6=0 .5直线ax+4y2=0与直线2x5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= 10 ，c= 12 ，m= 2 .6、已知直线(a2)y=(3a1)x1 (1)求证无论a为何值，直线总过第一象限(2)为使这直线不过第二象限，求a的范围 解： (1)将方程整理得为a(3xy)+(x+2
13、y1)=0，对任意实数a，恒过直线3xy=0与x2y+1=0的交点(，)， 直线系恒过第一象限内的定点(，)； (2)当a=2时，直线为x=不过第二象限；当a2时，直线方程化为：y=x，不过第二象限的充要条件为 或 a2，总之，a2时直线不过第二象限7、 过点P(2，1)作直线l，与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，| PA| PB|的最小值及此时l的方程 分析 本题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法 解 设直线AB的倾斜角为(), 则直线AB的参数方程为 令x=O，则得B点所对应的参数t=， 令y=O，则得A点所对应的参数t= |PA|PB|=|= 当a=时
14、|PA|PB|有最小值4，此时直线l的方程为 即8、下面三条直线l1：4xy40，l2：mxy0，l3：2x3my40不能构成三角形，求m的取值集合分析：根据平面几何知识：当三条直线交于一点或至少两条直线平行或重合时，这三条直线不能构成三角形，分两种情况讨论解：（1）三条直线交于一点时：由 ，解得l1和l2的交点A的坐标（， ），由A在l3上可得23m=4，解之m或m 1 （2）至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，这三条直线中至少两条直线平行或重合，当m4时，l1l2；当m时，l1l3；若l2l3，则需有，m2不可能综合（1）、（2）可知，m1，4时，三条直线不能组
15、成三角形，因此m的取值集合是1，4 点评 善于将原问题等价转化，讨论问题注意全面性 9、一直线过点P（2，3），且和两平行直线3x4y80及3x4y70都相交，两交点间线段长3，求这直线方程分析：由两平行线的距离以及所求直线与两平行线交点间线段的长，结合平面几何知识，求出所求直线与已知直线夹角的正切，进一步求出所求直线的斜率 解：两平行线间的距离为3设直线交两平行线于A、B，直线与平行线的夹角为，则AB3sin 45，tan1，设所求直线的斜率为k，则tan|1，解得k或k7所求直线的方程为x7y190或7xy170 点评 要注意平几知识、平几方法在解析几何中的应用课时作业（三）1 两直线ax
16、y40与xy20相交于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）A1a2Ba1Ca2Da1或a22 设两直线L1，L2的方程分别为xyb0，xsiny0，（a，b为常数，为第三象限角），则l1与l2 （ ）A平行 B垂直 C平行或重合 D相交但不一定垂直3 设a，b，k，p分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有（ ）Aa2k2p2(1k2) Bk Cp Dakb4 若点（1，1）到直线xcosysin2的距离为d，则d的最大值是 5 一束光线经过点A（2，1），由直线l：x3y20反射后，经过点B（3，5）射出，则反射光线所在直线的方程为 6 直线2xy40上有一点P，它与两
17、定点A（4，1）、B（3，4）距离之差最大，则P点坐标是 7在ABC中，ABAC，A120，A（0，2），BC所在直线方程为xy10，求边AB、AC所在直线方程8已知ABC中，点A（3，1），AB边上的中线所在直线的方程为6x10y590，B的平分线所在直线的方程为x4y100，求BC边所在直线的方程ClBDA甲乙9如图，足球比赛场地宽为a米，球门宽b米，在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门附近带球过人沿直线l（贴近球场边线）向前推进，试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门的可命中角最大？（注：图中AB表示乙方所守球门；AB所在直线为乙方底线；l表示甲方边锋前进的直线） 参考答案1A 2B 3A
18、42 529x22y+230 6（5，6）7由题意得BC30，设AB边斜率的夹角公式得|，从而得k = 又AB斜率不存在时也适合题意，AB边所在直线方程为yx+2和x0. 8设B（a,b），则AB边中点为（, ）在AB边中线上，6+10590，又点B在B的平分线上，a4b+100由得 a10 ，b5由题意得，k从而BC边所在直线方程为2x+9y650. 9以l与直线AB的交点D为原点，l为x轴， DA为y轴，建立直角坐标系 设AB中点为M，则DADMMA+ DBDMBM故定点A、B坐标分别为（0，），（0，）（显然ab0），设动点C（边锋起脚处）坐标为（x，0）（x0）tanACBtan（AC
19、OBCO）tan（）， 其中=ACO，=BCD且、（0，） tan（）x+2 tanACB由正切函数在（0，）是增函数，知ACBarctan，当且仅当x时，ACB达最大角，即x，C（，0）即该边锋在距乙方底线米时起脚射门，可命中角最大课时作业（四）1点(0，5)到直线y=2x的距离是（ B ） （A） （B） （C） （D）2点P(x，y)在直线x+y4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（ B ） （A） （B）2 （C） （D）23过点P(1，2)的直线l与两点A(2，3)、B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为（ C ）（A）4x+y6=0 （B）x+4y6=0 （C）3x+2y=7
20、或4x+y6=0 （D）2x+3y=7或x+4y6=04P点在直线3x+y5=0上，且P到直线xy1=0的距离等于，则P点坐标为（ C ） （A）(1，2) （B）(2，1) （C）(1，2)或(2，1) （D）(2，1)或(1，2)5点P(2，3)到直线ax+(a1)y+3=0的距离等于3，则a的值等于或3 .6设点P在直线x+3y=0上，且P到原点的距离与P到直线x+3y2=0的距离相等，则P点坐标为.7求经过点P(2，1)，且到点Q(1，2)的距离为的直线方程。答案：xy1=0或7x+y15=08已知点P1(2，3)、P2(4，5)、A(1，2)，求过点A且与点P1、P2距离相等的直线方
21、程. (答案：x+3y5=0或x=1)9、已知直线l经过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.解：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3；此时与l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0的交点分别为A(3，4)和B(3，9)，截得线段的长|4(9)|=5，符合题意若直线l的斜率存在，则设直线的方程为y1=k(x3)，解方程组，得，解方程组，得，由|AB|=5得,解得k=0，即所求直线方程为y=1.综上可知，所求直线l的方程为x=3或y=1.10、已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x+3y2=0，求一点P使|PA|
22、=|PB|且P点到l的距离等于2.解：设点P的坐标为P(a，b)，因为A(4，3)，B(2，1)，线段AB中点M的坐标为(3，2)，而AB的斜率kAB=1，线段AB的垂直平分线方程为y+2=x3，即xy5=0，而点P(a，b)在直线xy5=0上，故ab5=0，由已知点P到l的距离为2，得两式联立解方程组得或.所以P(1，4)和为所求的点11、在直线x3y2=0上求两点，使它与点(2，2)构成等边三角形的三个顶点.解：点(2，2)到直线x3y2=0的距离为d=，即等边三角形的高为 . 由此得等边三角形的边长为若设此三角形在直线x3y2=0上的顶点坐标为(x0，y0)，则x0=3y0+2，所以其坐标为(3y0+2，y0)，于是有2+(y02)2=整理解得所以故两点为和