1、考点规范练30平面向量的概念及线性运算一、基础巩固1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是()A.a=-bB.abC.a=2bD.ab,且|a|=|b|2.在ABC中,AB=c,AC=b.若点D满足BD=2DC,则AD等于()A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c3.设向量a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是()A.-2B.-1C.1D.24.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2OP=2OA+BA,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段A
2、B的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上5.已知点O为ABC外接圆的圆心,且OA+OB+OC=0,则ABC的内角A等于()A.30B.60C.90D.1206.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对7.若点M是ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则ABM与ABC的面积比为()A.15B.25C.35D.458.已知P1P=-23PP2.若PP1=P1P2,则=;若P1P2=P2P,则=.9.已知D为ABC的边BC的中点,点P满足PA+BP+CP=
3、0,AP=PD,则实数的值为.二、综合应用10.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD等于()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b11.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c等于()A.aB.bC.cD.012.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的重心,动点P满足OP=1312OA+12OB+2OC,则点P一定为ABC的()A.边AB中线的中点B.边AB中线的三等分点(非重心)C.重心D.边AB的中点13.已知ABC是边长为4的正三角形,D,P是ABC内的两点,且满足A
4、D=14(AB+AC),AP=AD+18BC,则APD的面积为()A.34B.32C.3D.2314.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=1AB+2AC(1,2为实数),则1+2的值为.三、探究创新15.如图,有5个全等的小正方形,BD=xAE+yAF,则x+y的值是.16.已知a,b不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设tR,若3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.考点规范练30平面向量的概念及线性运算1.C由a|a|表示与a同向的单位
5、向量,b|b|表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.2.A如图,可知AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=c+23(b-c)=23b+13c.故选A.3.BBC=a+b,CD=a-2b,BD=BC+CD=2a-b.又A,B,D三点共线,AB,BD共线,存在实数,使得AB=BD,即2a+pb=(2a-b),2=2,p=-,解得=1,p=-1.4.B因为2OP=2OA+BA,所以2AP=BA.所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.5.B由OA+OB+OC=0,得点O为ABC的重心.因为点O为ABC外接圆的圆心,所以ABC为等边三角形,故A=60.6.CAD=A
6、B+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,ADBC.AB与CD不平行,四边形ABCD是梯形.7.C设AB的中点为D.由5AM=AB+3AC,得3AM-3AC=2AD-2AM,即3CM=2MD.如图,故C,M,D三点共线,且MD=35CD,得ABM与ABC对于边AB上的两高之比为35,则ABM与ABC的面积比为35,故选C.8.2-13根据题意,点P在线段P2P1的延长线上,画出示意图,如图所示.从图中可知,因为|PP1|P1P2|=2,所以=|PP1|P1P2|=2;因为|P1P2|P2P|=13,所以=-|P1P2|P2P|=-13.9.-2如图,由AP=PD,且PA+BP+C
7、P=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的顶点,因此AP=-2PD,则=-2.10.D如图,连接OC,OD,CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,可得AOC=COD=BOD=60,从而OAC和OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以AD=AO+AC=12AB+AC=12a+b,故选D.11.D因为a+b与c共线,所以存在实数1,使得a+b=1c.因为b+c与a共线,所以存在实数2,使得b+c=2a.由得b=1c-a.所以b+c=(1+1)c-a=2a,因为a,b,c中任意两个都不共线,所以1+1=0,2=-1,即1=-1,2=-1.故a+b+c=-c+c=0.1
8、2.B设AB的中点为M,则12OA+12OB=OM,所以OP=13(OM+2OC),即3OP=OM+2OC,OP-OM=2OC-2OP,即MP=2PC.因为MP与PC有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近点C的一个三等分点.13.A取BC的中点E,连接AE,因为ABC是边长为4的正三角形,所以AEBC,AE=12(AB+AC).又AD=14(AB+AC),所以点D是AE的中点,即AD=3.取AF=18BC,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知AP=AD+18BC=AD+AF.因为APD是直角三角形,且DP=AF=12,所以APD的面积为12123=34.14.12因为DE=DB+
9、BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC)=-16AB+23AC,所以1=-16,2=23,所以1+2=12.15.1由平面向量的运算可知BD=AD-AB.AD=2AE,AB=AH+HB=2AF-AE,BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF.AE,AF不共线,且BD=xAE+yAF,即xAE+yAF=3AE-2AF,x=3,y=-2,x+y=1.16.解由题设知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因为a,b不共线,所以有t-3+3k=0,t-2k=0,解得t=65.故存在实数t=65,使C,D,E三点在一条直线上.
