1、2021届新高考基地学校高三第二次大联考 数 学 2021年4月注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设全集为R，集合Ax|2则A(RB)Ax|4x5 Bx|4x5 Cx|2x4 Dx|2x42某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男
2、队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A小王的搭档一定是小芳 B小芳的搭档不可能是小张C小张的搭档不可能是小红 D小李的搭档可能是小丽3根据20102019年我国1659岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为0.74x1551，试据此估计我国约从哪一年开始1659岁人口比重低于50%A2023 B2026 C2029 D20324碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动若人推动木柄绕圆
3、盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A3：1 B3：2C1：3 D2：35若存在复数z同时满足|zi|1，|z33i|t，则实数t的取值范围是A0，4 B(4，6) C4，6 D(6，)6香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式CBlog2(1)来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W)已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A0.1W B1.0W C3.2W D5.
4、0W7已知椭圆C：的焦距为2c(c0)，右焦点为F，过C上一点P作直线的垂线，垂足为Q若四边形OPQF为菱形，则C的离心率为A B C D8已知函数且则Af(a)f(b)f(c) Bf(b)f(c)f(a)Cf(a)f(c)f(b) Df(c)f(b)f(a)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知无穷等差数列an的前n项和为Sn，a10，d0，则A数列an单调递减 B数列an没有最小值C数列Sn单调递减 D数列Sn有最大值10已知a，b均为正数，且ab1，则A2a2b1 Ba3b31C1 D
5、2log2alog2b211已知函数(，)，则Ax(，)，f(x)f(x)0Bx(，)，|f(x)|1C$x1，x2(，)，x1x2，f(x1)f(x2)D$x0(，)，x(，)，|f(x)|f(x0)12由倍角公式可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式一般地，存在一个n(nN*)次多项式Pn(t)a0a1ta2t2antn(a0，a1，a2，anR)，使得cosnxPn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(PLTschebyscheff)多项式则AP3(t)4t33tB当n3时，CDsin18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13某志愿者服务大队计划在今年“五一
6、”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_14已知正方形ABCD的边长为2，当点P满足_时，(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)15设(x)( x)6，则(a0a2a4a6)(a7a9a11a13)_16已知等边三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AC，BC上，且DE/AB，将CDE沿DE折起，则四棱锥CDABE的体积的最大值为_，此时四棱锥CDABE的外接球的表面积为_三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)在4asinBcosAb，bsin2Bcsin2C(bc) sin2A，si
7、nAcosA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cosB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18(12分)已知数列满足a12，(n2)an3(n1)an1(1)求数列的通项公式(2)设Sn为数列的前n项和，求证Sn19(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：规格中蟹大蟹特大蟹重量(单
8、位：克)160，180)180，200)200，220)220，240)240，260)260，280数量(单位：只)32152073(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间260，280上的大闸蟹数量为X，求X的概率分布和数学期望20(12分) 已知AB是圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A、B的一点，点P到A，B，C的距离均为设二面角PACB与二面角PBCA的大小分别为，(1)求的值；(2)若求二面角APCB的余弦值POCBA21(12分)在平面直角坐标系中，过点M(0，1)的直线交抛物于A，B
9、两点(1)设OA，OB的斜率分别为k1，k2，求的值；(2)过点A，B分别作直线x4的垂线，垂足为C、D，试探究AOB和COD的关系，并说明理由22(12分)已知函数f(x)x26x3logax(a0，且a1)为单调减函数，f(x)的导函数f(x)的最大值不小于0(1) 求a的值；(2)若f(x1)f(x2)9，求证：x1x222021届新高考基地学校高三第二次大联考 数 学 解析版 2021年4月注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回
10、答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设全集为R，集合Ax|2则A(RB)Ax|4x5 Bx|4x5 Cx|2x4 Dx|2x4【答案】C【考点】集合的运算、解指数不等式【解析】由题意可知，Bx|x4，所以RBx|x4，则A(RB)x|2x4，故答案选C.2某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A小王的搭档一定是小芳
11、 B小芳的搭档不可能是小张C小张的搭档不可能是小红 D小李的搭档可能是小丽【答案】D【考点】逻辑推理题【解析】由题意可知，小王的搭档可以是小芳、小丽，小张的搭档可以是小红、小芳，小李的搭档可以是小红、小丽，所以当小王的搭档是小芳时，小张的搭档是小红，小李的搭档是小丽，满足题意；当小王的搭档是小丽时，小张的搭档是小芳，小李的搭档是小红，满足题意；则选项A、B、C均错误，故答案选D.3根据20102019年我国1659岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为0.74x1551，试据此估计我国约从哪一年开始1659岁人口比重低于50%A2023 B2026 C2029 D2032【答
12、案】C【考点】线性回归方程的实际应用【解析】法一：由题意可令y50，即0.74x155150，解得x2028.38，则x2029，故答案选C.法二：可代入选项验证，即y0.742029155149.5450，即从2029年开始1659岁人口比重低于50%，故答案选C.4碌碡(li zhu)是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A3：1 B3：2 C1：3 D2：3【答案】B【考点】新情景问
13、题下的立体几何问题【解析】由题意可设圆柱形碌碡的高为h，其底面圆的直径为d，则有2hd3，所以h：d3：2，故答案选B.5若存在复数z同时满足|zi|1，|z33i|t，则实数t的取值范围是A0，4 B(4，6) C4，6 D(6，)【答案】C【考点】复数的运算【解析】由题意可设zabi，则有a2(b1) 21，又因为|z33i|t，即|a3(b3)i|t，所以t，可设acos，bsin1，(为任意角)，则t(tan)4，6，当时取到最大值；当时取到最小值，所以实数t的取值范围是4，6，故答案选C.6香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式CBlog2(1)来表示，其中C是信道支持
14、的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W)已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A0.1W B1.0W C3.2W D5.0W【答案】A【考点】新情境问题下的对数运算 【解析】由题意可得S1000W，N10W，则在信道容量未增大时，信道容量为C1Blog2(1)Blog2101，信道容量增大到原来的2倍时，C2Blog2(1)2C1，则log21012log2(1)，即11012，解得N0.1 W，故答案选A.7已知椭圆C：的焦距为2c(
15、c0)，右焦点为F，过C上一点P作直线的垂线，垂足为Q若四边形OPQF为菱形，则C的离心率为A B C D【答案】D【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质应用【解析】法一：由题意可知|PQ|OP|OF|c，而xPcc，所以yPc，则OPF为正三角形，设椭圆的左焦点为F1，则PF1PF，且PFc，PF1c，所以由椭圆的定义可得PFPF12a，即cc2a，解得离心率为1，故答案选D.法二：由题意可知|PQ|OP|OF|c，而xPcc，所以yPc，即P(c，c)，代入椭圆方程可得，又a2b2c2，则化简为，即e21，解得e242(1)2，则e1，故答案选D.8已知函数且则Af(a)f(b)f(c) Bf(
16、b)f(c)f(a)Cf(a)f(c)f(b) Df(c)f(b)f(a)【答案】A【考点】利用函数的单调性判断函数值大小【解析】由题意f(x)，所以f(x)在1a，)上单调递减，而所以ceaa1，becc1a2，则有bca1，又因为f(a)0，f(b)，f(c)均大于0，所以f(a)f(b)f(c)，故答案选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知无穷等差数列an的前n项和为Sn，a10，d0，则A数列an单调递减 B数列an没有最小值C数列Sn单调递减 D数列Sn有最大值【答案】ABD
17、【考点】等差数列的单调性与前n项和的最值【解析】由题意，对于无穷等差数列an，因为d0，所以数列an单调递减，且无穷递减，所以没有最小值，故选项A、B均正确；对于数列Sn，Snna1nd(n1)dn2(a1d)n，为关于n的二次函数，其对称轴为n，因为a10，d0，所以该二次函数的图象开口向下，则有最大值，所以选项C错误，选项D正确；故答案选ABD.10已知a，b均为正数，且ab1，则A2a2b1 Ba3b31C1 D2log2alog2b2【答案】AC【考点】不等关系、对数运算与应用【解析】由题意，对于选项A，因为ab1，所以2a2b2b2b(21)2b1，故选项A正确；对于选项B，a3b3
18、(ab)(a2abb2)a2abb2(b1)2(b1)bb23b23b11，故选项B错误；对于选项C，()(ab)415()521，当且仅当，且ab1，即a2，b1时取等号，故选项C正确；对于选项D，2log2alog2blog2a2log2blog2log2log2(b2)log242，当且仅当b，即b1时取等号，故选项D错误；故答案选AC.11已知函数(，)，则Ax(，)，f(x)f(x)0Bx(，)，|f(x)|1C$x1，x2(，)，x1x2，f(x1)f(x2)D$x0(，)，x(，)，|f(x)|f(x0)【答案】BCD【考点】函数的性质综合应用【解析】法一：由题意可知，f(x)f
19、(x)，即函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)f(x)20，故选项A错误；对于选项B，|f(x)|1，故选项B正确；对于选项C，可取x10，x2，则f(x1)f(x2)，即满足题意，故选项C正确；对于选项D，当x(0，)时，f(x)0，而f(0)f()，所以|f(x)|存在最大值，故选项D正确；故答案选BCD.法二：由题意可知，f(x)f(x)，即函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)f(x)20，且|f(x)|1，故选项A错误，B正确；因为f(x)，所以f(x)，可设g(x)3cosx(x21)2xcosx，则g(x)3sinx(x21)6xcosx2sinx2cosx3sinx(
20、x21)4xcosx2sinx0在区间0，上恒成立，所以g(x)在0，上单调递减，且g(0)3，g()3(21)0，所以存在唯一的x0(0，)，使得g(x)0，而当0xx0时，g(x)0，即f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增；当x0x时，g(x)0，即f(x)0，所以f(x)在(x0，)上单调递减，则当x(0，)时，f(x)在xx0处取到唯一的极大值，也是最大值，故选项C、D正确；故答案选BCD.12由倍角公式可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式一般地，存在一个n(nN*)次多项式Pn(t)a0a1ta2t2antn(a0，a1，a2，anR)，使得cosnxPn(cos
21、x)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(PLTschebyscheff)多项式则AP3(t)4t33tB当n3时，CDsin18【答案】ACD【考点】新情境下问题下的三角函数的综合应用【解析】法一：，cos3xP3(cosx)，则P3(t)4t23t，故选项A正确；由，可得常数项为1不为0，故选项B错误；对于选项C，由，且故选项C正确；对于选项D，因为cos72sin18，所以2cos2361cos72sin18，所以2(12sin218)1sin18，可设sin18t，则2(12t 2)1t，解得t，故选项D正确；综上，答案选ACD.法二：因为cos3xcos2xcos，所以x，即选项A正确
22、；令，则，则，则即选项B错误；令x0，则tcosx1，可得，所以则选项C正确；设则将代入，方程成立，即选项D正确；综上，答案选ACD 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_【答案】 【考点】随机事件的概率求解【解析】由题意，由插空法得3天中恰有2天连排的概率为P，故答案选C.14已知正方形ABCD的边长为2，当点P满足_时，(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)【答案】点P在直线BD上(或点P在经过BD且垂直于平面ABCD的面上)【考点】平面向量的数
23、量积【解析】由题意，当点P为AC的中点时，22cos04，可满足题意，故答案可为：AC的中点.15设(x)(x)6，则(a0a2a4a6)(a7a9a11a13)_【答案】20 【考点】二项式定理展开式的应用【解析】法一：由题意可得，(x)(x)6a0x7a1x6a2x5a14，则(x)6(x)()66152012x26x4x6(x)x75x59x35x595，所以a01，a25，a49，a65，a7a9a11a130，所以(a0a2a4a6)(a7a9a11a13)20，故答案选20.法二：由题意可得，(x)(x)6a0x7a1x6a2x5a14，所以a01，a2，a4，a6，且a7a9a1
24、1a130，所以(a0a2a4a6)(a7a9a11a13)20，故答案选20.16已知等边三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AC，BC上，且DE/AB，将CDE沿DE折起，则四棱锥CDABE的体积的最大值为_，此时四棱锥CDABE的外接球的表面积为_【答案】【考点】立体几何的体积与外接球问题【解析】(1)设M，N分别为DE，AB的中点，DEx，则ADBE2x，等腰梯形DABECM其中0x2记f(x)，0x2，则f(x)(2x)(2x)，令f(x)0，得此时，所以四棱锥CDABE的体积的最大值为(2)设分别为CDE，等腰梯形DABE的外接圆的圆心，则为CM的三等分点(靠M)，在直线MN上
25、设过分别与CDE，等腰梯形DABE垂直的直线交于点O(四棱锥CDABE的外接球的球心)，连接O2A，O2D，O2O，O1O，由(1)知，等腰梯形DABE中，AB2，DE，则在线段MN的延长线上，设，由AO22DO22得，即，解得则所以四棱锥CDABE的外接球的表面积S三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)在4asinBcosAb，bsin2Bcsin2C(bc) sin2A，sinAcosA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cosB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
26、b，c，已知cosC， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用【解析】选：因为由正弦定理得 2分所以B(0，)，所以sinB0，所以 3分又A(0，)，2A(0，2)，所以或，即或 5分因为C(0，)，所以 6分当时，cosBcos(AC)()， 8分当时，cosBcos(AC)因此cosB的值为或 10分选：因为由正弦定理得 2分因为bc0，所以 4分所以因为A(0，)，所以 6分因为cosC，C(0，)，所以 7分所以cosBcos(AC)因此cosB的值 10分选：因为sinAcosA，所以2sin(A)， 2分 因为22 sin
27、(A)22， 4分 于是2，即ab；且2sin(A)2，即sin(A)1， 6分注意到A(0，)，A(，)，因此A，即A， 8分于是ABC为等边三角形，因此相矛盾，故ABC不存在 10分18(12分)已知数列满足a12，(n2)an3(n1)an1(1)求数列的通项公式；(2)设Sn为数列的前n项和，求证Sn【考点】数列求通项公式、利用数列错位相减法或裂项相消法求和证明不等式【解析】(1)法一：由(n2)an3(n1)an1，得 2分因为a12，所以所以所以是首项为1，公比为的等比数列， 4分所以即 6分法二：由(n2)an3(n1)an1， 2分所以，(n2)，所以()(n2)， 4分即an
28、(n1)()(n2)由于a12符合上式，所以an(n1)()(nN*) 6分(2)法一：由S得两式相减，得 9分所以得证 12分法二：由an(n1)()， 9分 所以Sn()()() ，得证 12分19(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：规格中蟹大蟹特大蟹重量(单位：克)160，180)180，200)200，220)220，240)240，260)260，280数量(单位：只)32152073(1)试用组中值来估计该批大闸
29、蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间260，280上的大闸蟹数量为X，求X的概率分布和数学期望【考点】随机变量的概率分布与期望【解析】(1)50只大闸蟹的平均重量为：2302025072703)224， 3分所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100000224446 5分(2)X的可能取值为0，1，2，3， 6分概率分别为：P(X0)； P(X1)； P(X2)； P(X3)X0123P 10分所以E(X)0123 12分20(12分) 已知AB是圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A、B的一点，点P到A，B，C的距
30、离均为设二面角PACB与二面角PBCA的大小分别为，(1)求的值；(2)若求二面角APCB的余弦值POCBA【考点】立体几何中位置关系的证明、求二面角、与三角函数的综合应用z【解析】P(1)连结PO，OC因为，O为AB的中点，所以POAB因为C是圆O上异于A，B的一点，AB是圆O的直径，所以ACBC，从而AOCOMAB又因为，Oyx所以PAOPCO，所以POCPOA，即因为AO，CO平面ABC，AOCOO，所以PO平面ABC 2分分别取AC，BC的中点M，N，连接PM，OM，PN，ON，则在圆O中，OMAC由PO平面ABC，得POAC又POOMO，故AC平面PMO，所以ACPM所以PMO同理，
31、PNO于是 6分(2)因为，所以在圆O中，CACB，以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系则C(0，0，0)，A(2，0，0)，又因为PO平面ABC，所以OP/z轴，从而则 8分设平面PAC的法向量为m(x，y，z)，则即不妨取则x此时同理，平面PBC的一个法向量0，1) 10分所以cosm，又二面角APCB为钝二面角，所以二面角APCB的余弦值为 12分21(12分)在平面直角坐标系中，过点M(0，1)的直线交抛物于A，B两点(1)设OA，OB的斜率分别为k1，k2，求的值；(2)过点A，B分别作直线x4的垂线，垂足为C
32、、D，试探究AOB和COD的关系，并说明理由【考点】圆锥曲线中双曲线与直线的位置关系解决斜率之和为定值、角度与斜率的关系【解析】(1)设A(，y1)，B(，y2)因为直线AB过点M(0，1)，所以，整理得， 2分所以 4分(2)当A，B两点在x轴的异侧时，AOBCOD；当A，B两点在x轴的同侧(只能同在下方)时，AOBCOD 6分理由如下： 当A，B两点在x轴的异侧时，不妨设直线OA，OB的斜率分别为tan(由题意，C(4，y1)，D(4，y2)，所以直线OC，OD的斜率分别为 tan(COD)所以tan(AOB)tan(COD)tanCOD因为AOB，COD(0，)，所以AOBCOD，即AO
33、BCOD 9分(2)当A，B两点在x轴的同侧(只能同在下方)时，不妨设tantanCOD，所以tanAOBtanCOD因为AOB，COD(0，)，所以AOBCOD 12分22(12分)已知函数f(x)x26x3logax(a0，且a1)为单调减函数，f(x)的导函数f(x)的最大值不小于0(1) 求a的值；(2)若f(x1)f(x2)9，求证：x1x22【考点】函数与导数：恒成立问题、利用单调性证明不等式【解析】(1)因为f(x)为单调减函数，所以f恒成立，所以在x(0，)上恒成立 2分由于当x1时，所以，解得 4分因为f，当时，f(x)的最大值为，由题意，所以综上， 6分(2)由(1)知，所以因为，f(x)为(0，)单调减函数，可设 8分令F(x)f(x)f(2x)，0x1所以F(x)f(x)f(2x)63(x)63(2x)0，所以F(x)在(0，1上单调递减，所以F(x)F(1)2f(1)9，所以f(x)f(2x)9，0x1 10分因为0x11，所以f(2x1)9f(x1)f(x2)因为f(x)为(0，)单调减函数，所以2x1x2，即x1x22 12分