1、54第12章压轴题之猜想证明类一、单选题1如图，ACB=90，AC=BC，CD平分ACB，点D，E关于CB对称，连接EB并延长，与AD的延长线交于点F，连接DE，CE对于以下结论：DE垂直平分CB；AD=BE；F不一定是直角；EF2DF2=2CD2其中正确的是()ABCD【答案】D【分析】根据点D，E关于CB对称，可得CB垂直平分DE，即可判断错误；根据CB垂直平分DE，连接BD，可得BD=BE，证明ACDBCD，可得AD=BD，即可判断；结合证明ACDBCDBCE，可得CAD=CEB=(180-45)=67.5，FED=67.5-45=22.5，进而证明角F的度数，即可判断；在RtFDE中，
2、根据勾股定理，得EF2+DF2=DE2，根据DCE=90，CD=CE，即可判断【解答】点D、E关于CB对称，CB垂直平分DE，所以错误；连接BD，如图，CB垂直平分DE， BD=BE，ACB=90，CD平分ACB，ACD=BCD=45，在ACD和BCD中，ACDBCD(SAS)，AD=BD，AD=BE，所以正确；CB垂直平分DE， BD=BE，CD=CE，在BCD和BCE中， BCDBCE(SSS)，ACDBCDBCE，ACD=DCB=ECB=45，CA=CD=CB=CE，CAD=CEB=(180-45)=67.5，CED=CDE=(180-DCB-ECB) =45，FED=67.5-45=2
3、2.5，CDE=ACD=45，DEAC，FDE=A=67.5，F=180-FDE-FED=90，所以错误；在RtFDE中，根据勾股定理，得：EF2+DF2=DE2，DCE=DCB+ECB=90，CD=CE，DE2=CD2+CE2=2CD2，EF2+DF2=2CD2，所以正确综上所述：正确的是故选：D【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识2如图，过的对角线上一点作分别交于点分别交于点，那么图中四边形的面积与四边形的面积的大小关系是（ ）ABCD不能确定【答案】B【分析】先证四边形BMKQ、四边形PKND是平行四边形得SABDSBCD
4、，SBMKSBQK，SPKDSNKD，据此可得【解答】四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，又MNBC，PQAB，四边形BMKQ、四边形PKND是平行四边形，SABDSBCD，SBMKSBQK，SPKDSNKD，S1S2，故选：B【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质及对角线将平行四边形面积平分的性质3已知的三条边长分别为6，8，12，过任一顶点画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）A6条B7条C8条D9条【答案】B【分析】不妨设AB=6，AC=8，BC=12，分别作三边的垂直平分线，则可得三条，再分
5、以AB、AC为腰和底进行讨论，可得出结论【解答】解：不妨设AB=6，AC=8，BC=12，分别作三边的垂直平分线，如图1，则BD=AD，EA=EC，FB=FC，可知AE、BF、AD满足条件；当AB为腰时，以点A为圆心，AB为半径画圆，分别交BC、AC于点G、H，以B为圆心，AB为半径，交BC于点J，如图2，则AB=AG，AB=AH，BA=BJ，满足条件；当AC为腰时，如图3，以点C为圆心，CA为半径画圆，交BC于点M，则CA=CM，满足条件；当A为圆心AC为半径画圆时，与AB、BC都没有交点，因为BC为最长的边，所以不可能存在以BC为腰的等腰三角形，综上可知满足条件的直线共有7条.故选B【点评
6、】本题主要考查等腰三角形的判定，利用垂直平分线的性质及圆的基本性质找到满足条件的直线是解题的关键4如图，在中，直角的顶点是中点，、分别交、于点、给出以下四个结论：；是等腰直角三角形；上述结论正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质可得PAE=BAC=45，B=C=45，PABC，可得C=PAE，根据直角三角形斜边中线的性质可得PA=PC，根据角的和差关系可得FPC=EPA，利用ASA可证明EPAFPC，根据全等三角形的性质可得AE=CF，PE=PF，由EPF=90，可得EPF是等腰直角三角形，可判定正确；根据全等三角形的性质可知SEPA=SFPC，可得S四边
7、形AEPF=SAPC，由SAPC=SABC可判定正确；只有当EF为ABC的中位线时，EF=PC=PA，可判定错误；综上即可得答案【解答】AB=AC，BAC=90，B=C=45，点P为BC中点，AB=AC，BAC=90，PAE=PAC=45，PA=PC，APBC，C=PAC，EPF=EPA+APF=90，FPC+APF=90，EPA=FPC，在EPA和FPC中，EPAFPC，AE=CF，PE=PF，故正确，EPF=90，EPF是等腰直角三角形，故正确，EPAFPC，SEPA=SFPC，S四边形AEPF=SEPA+SPAF=SFPC+SPAF=SAPC，PC=BC，SAPC=SABC，S四边形AE
8、PF=SABC，故正确，只有当EF为ABC的中位线时，EF=PC=PA，故错误；综上所述：正确的结论有，共3个，故选：C【点评】本题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键5如图，在中，是边上的动点（不与点重合），将沿所在直线翻折，得到，连接， 则下面结论错误的是（ ）A当时，B当时，C当 时，D长度的最小值是1【答案】C【分析】A根据折叠性质和三角形内角和定理可证ABP=CPB，从而可证；根据折叠性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知PA=PB=PC=PB,A、B、C、B四点共圆，根据圆周角定理即可求出；C根据相似三角
9、形的判定证得PACCAB，再根据相似三角形的对应边成比例求得AP的值，即可判断错误；D. 根据两点之间线段最短，求得长度的最小值，即可判断此结论正确【解答】在ABC中，ACB=90，AP=BP，AP=BP=CP，BPC=由折叠的性质可得CP=BP，CPB=BPC=AP=BP，ABP=BAP=ABP=CPBAB/CP故A正确；AP=BP，PA=PB=PC=PB，点A,B，C，B在以点P为圆心，PA长为半径的圆上由折叠的性质可得BC=BC，BPC=2BAC故B正确；当CPAB时，APC=ACBPAC=CABPACCAB在RtABC中，AC=AP=故C错误；由轴对称的性质可知：BC=CB=3CB长度
10、固定不变，当AB+CB有最小值时，AB的长度有最小值根据两点之间线段最短可知：当A、B、C三点在一条直线上时，AB有最小值，AB=AC-BC=4-3=1故D正确故选：C【点评】本题考查折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆周角的定理，根据折叠性质得出相等的线段或相等的角是解决问题的关键6如图，中，是上一点，且，是上任一点，于点，于点，下列结论：是等腰三角形；，其中正确的结论是（ ）ABCD【答案】B【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ADBCDBC，然后求出CDBC，再根据等角对等边可得DCDB，从而判断正确；没有条件说明C的度数，判断出错误；连接PD，利用B
11、CD的面积列式求解即可得到PEPFAB，判断出正确；过点B作BGAC交FP的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得CPBG，GCFP90，然后求出四边形ABGF是矩形，根据矩形的对边相等可得AFBG，根据然后利用“角角边”证明BPE和BPG全等，根据全等三角形对应边相等可得BGBE，再利用勾股定理列式求解即可判断正确【解答】在BCD中，ADBCDBC，ADB2C，CDBC，DCDB，DBC是等腰三角形，故正确；无法说明C30，故错误；连接PD，则SBCDBDPEDCPFDCAB，PEPFAB，故正确；过点B作BGAC交FP的延长线于G， 则CPBG，GCFP90，PBGDBC，四边形ABG
12、F是矩形，AFBG，在BPE和BPG中，BPEBPG（AAS），BGBE，AFBE，在RtPBE中，PE2BE2BP2，即PE2AF2BP2，故正确综上所述，正确的结论有故选：B【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出矩形和全等三角形是解题的关键7横、纵坐标均为整数的点称为整点如图，一列有规律的整点，其坐标依次为，根据这个规律，第个整点的坐标为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据图像，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，计算即可得到答案【解答】补充作图，如下图，由图
13、可知，点是第1个点，点是第9个点，点是第25个点，观察图可知，直线上共有个点，又因为且，所以第2019个点在直线上且在点上方相距6个单位长度，所以第2019个点为故选A【点评】本题主要考查坐标的确定，能根据已知条件发现点的规律是解题的关键8如图，已知：在等腰中，BE平分，交AC于F，且于点E，BC边上的中线AD交BE于G，连接DE，则下列结论正确的是（ ）；ABCD【答案】B【分析】过点F作FPBC于点P，延长BA，CE交于点H，通过证明AGF=AFG判断；再证明ABE=BED，根据平行线的判定得到；再通过证明证明ABFACH得到BF=CH，从而证明HEBCEB，得到CE=EH，可判断；证明R
14、tABFRtPBF，得到AB+AF=BP+FP，再通过说明FPC是等腰直角三角形得到FP=CP，即可判断；最后证明ABFDBG，得到BG和BF的比，利用BF和CE的关系判断.【解答】解：过点F作FPBC于点P，延长BA，CE交于点H，BE平分，为等腰直角三角形，D为BC中点，ABF=CBF=22.5，AF=PF，BGD=AGF=AFG，AG=AF，故正确，BEC=90，D为BC中点，DE=BD=CD，BED=DBE=22.5=ABE，ABDE，故正确，CAH=BAF=BEC=90，ACH+H=90，ABF+H=90，ACH=ABF，在ABF和ACH中，ABFACH（ASA），BF=CH，BE平
15、分ABC，HBE=CBE，BEC=90，BEC=BEH=90，在HEB和CEB中，HEBCEB（ASA），CE=EH，CH=2CE，BF=2CE，故正确，在RtABF和RtPBF中，RtABFRtPBF（HL），AB=PB，在PFC中，BCF=45，FPC=90，FP=CP，BP+CP=BP+FP=BC=AB+AF，故错误，ABG=CBG，BAF=GDB=90，ABFDBG，即BF=BG，又BF=2CE，BG=CE，故正确.故选B.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，综合性较强，解题的关键是结合所学知识逐项判定各选项，并且利用
16、已经证明的结论来证明未知的结论.9如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ）的面积的面积；ABCD【答案】B【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断；根据三角形内角和定理求出ABC=CAD，根据三角形的外角性质即可推出；根据三角形内角和定理求出FAG=ACD，根据角平分线定义即可判断；根据等腰三角形的判定判断即可【解答】解：BE是中线，AE=CE，ABE的面积=BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故正确；CF是角平分线，ACF=BCF，AD为高，ADC=90，BAC=90，ABC+ACB=90，ACB+CAD=90，ABC=CAD，AFG=A
17、BC+BCF，AGF=CAD+ACF，AFG=AGF，故正确；AD为高，ADB=90，BAC=90，ABC+ACB=90，ABC+BAD=90，ACB=BAD，CF是ACB的平分线，ACB=2ACF，BAD=2ACF，即FAG=2ACF，故正确；根据已知条件不能推出HBC=HCB，即不能推出BH=CH，故错误；故选：B【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型10如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作线段EF，使点E点F分别在边AD，BC上（不
18、与四边形ABCD顶点重合），连结EB，EC设EDkAE，下列结论：若k1，则BECE；若k2，则EFC与OBE面积相等：若ABEFEC，则EFBD其中正确的是（ ） ABCD【答案】B【分析】根据题意，不能证明BAECDE，则错误；根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，得到BF=2CF，结合面积的计算方法，即可判断；连接DF，不能证明四边形DEBF是菱形，则错误；然后得到答案【解答】解：当k1时，DE=AE，不能证明BAECDE，BECE；故错误；当k2时，DE=2AE，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，EDO=FBO，点O是BO的中点，OB=OD，EOD=FOB，EO
19、DFOB，DE=BF，ADDE=BCBF，AE=CF，BF=2CF，故正确；连接DF，如图：ABEFEC，AE=FC，DE=BF，DEBF，四边形DEBF是平行四边形，不能证明DEBF是菱形，EF与BD无法证明互相垂直，故错误；正确的选项只有；故选：B【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而分别进行判断二、填空题11如图，在RtABC中，BAC90，ABC的平分线交AC于D过点A作AEBC于E，交BD于G，过点D作DFBC于F，过点G作GHBC，交AC于点H，则下列结论：BAEC；SABG：SEBGAB：BE；ADF2
20、CDF；四边形AGFD是菱形；CHDF其中正确的结论是_【答案】【分析】根据余角的性质可判断即可；根据角平分线的性质判断即可；根据菱形的判定方法判断即可；证明ABGFBG（AAS），得出BAE=BFG，证出BFG=C，再证出四边形GFCH是平行四边形，得出GF=CH，因此CH=DF，可判断；当C=30时，ADF=2CDF；不正确；即可得出答案【解答】解：BAC=90，BAE+CAE=90，AEBC，C+CAE=90，BAE=C，正确；作GMAB交AB于M，如图所示：BD平分ABC，AEBC，GM=GE，SABG：SEBG=ABGM：BEGE=AB：BE；正确；AGD=ABD+BAE，ADG=C
21、BD+C，BAE=C，CBD=ABD，AGD=ADG，AG=AD，BAC=90，BD平分ABCDFBC，AD=DF，AG=DF，AEBC，AGDF，四边形AGFD是平行四边形，又AG=AD，四边形AGFD是菱形；正确；四边形AGFD是菱形；AGD=FGD，GF=DF，ADB=FDB，AGB=FGB，在ABG和FBG中，ABGFBG（AAS），BAE=BFG，BAE=C，BFG=C，GFCH，GHBC，四边形GFCH是平行四边形，GF=CH，CH=DF，正确；四边形AGFD是菱形ADF=2ADB，当C=30，CDF=60，则ADF=120，当C=30，ADF=2CDF；不一定正确；故答案为：【点
22、评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度12已知：如图，ABCADC90，M、N分别是AC、BD的中点，AC10，BD8，则MN_【答案】3【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BMDM5，根据等腰三角形的性质得到BN4，根据勾股定理得到答案【解答】解：连接BM、DM，ABCADC90，M是AC的中点，BMDMAC5，N是BD的中点，MNBD，BNBD4，由勾股定理得：MN3，故答案为：3【点评】此题主要考查矩形性质、等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是熟知直角
23、三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半13如图，在中，平分，与的延长线交于，连接过作于，交于下列结论：；中，其中正确的有_（填序号）【答案】【分析】由，利用角平分线的性质可得，可得，四点共圆，由圆周角定理可得结论；证明，利用全等三角形的性质可得结论；由，易得，由等腰三角形的性质易得，得的面积；由为等腰三角形易得，可得结论【解答】解：平分，四点共圆，故此选项正确；在与中，故此选项正确；，故此选项正确；为等腰三角形，故此选项正确；正确的有故答案为：【点评】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质等，综合运用各性质定理是解答此题的关键14如图，矩形中，点在边上(不与重合)，将矩形沿折叠，使点分别
24、落在点处有下列结论：与互余；若平分则若直线经过点则若直线交边分别于当为等腰三角形时，五边形的周长为其中正确结论的序号是_【答案】【分析】根据折叠的性质知,转化相关角度进行判断；根据折叠的性质知,再根据平分从而得出，从而求算正切值；直线经过点，此时，从而求算,再根据相似求算EF，可得结论；当DMN时等腰三角形时，可得均为等腰直角三角形，从而计算相应长度，可得结论【解答】解：根据折叠的知设 ， 正确；根据折叠的性质知,再根据平分 即 即，错误；直线经过点D： 解得： ，正确；当DMN时等腰三角形时，可得均为等腰直角三角形，如图： 五边形的周长= 正确故答案为：【点评】本题考查矩形折叠问题，同时与相
25、似三角形、特殊角三角函数值、等腰三角形等相结合，转化相关的线段与角度之间的关系式解题关键15已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接.现有以下四个结论：；在点运动过程中，的面积始终不变；连接，则；不存在点，使得.其中正确的结论的序号是_【答案】【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，并找出点C坐标，根据AC=3CD，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论；根据得出A、C的坐标，由ABx轴找出B点的坐标，由此即可得出AB、AC的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论；已知B(,)，C(a,)，D(a,0)，E
26、(0,)四点坐标，B、C、D、E四点坐标，经过B、C两点的直线斜率k1=，经过D、E两点的直线斜率k2=，得出，即先假设，得到对应边成比例，列出关于a的等式，看a是否有解，即可求解【解答】A(a,b)，且A在反比例函数的图象上，ACy轴，且C在反比例函数的图象上，C(a,)又AC=3CD，AD=4CD，即k=2故正确由可知：A(a,)，C(a,)ABx轴，B点的纵坐标为，点B在反比例函数的函数图象上，解得：x=，点B(,)，AB=a=，AC=S=ABAC=在点A运动过程中，ABC面积不变，始终等于故正确连接DE，如图所示B(,)，C(a,)经过B、C两点的直线斜率k1=轴，轴D(a,0)，E(
27、0,)经过D、E两点的直线斜率k2=，即故正确假设解得当时，故错误故答案为：【点评】本题是反比例函数的综合题目，考查了反比例函数性质，相似三角形的性质，一次函数斜率求法三、解答题16已知在平面直角坐标系内的位置如图，、的长满足关系式（1）求、的长；（2）求点的坐标；（3）在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）OA=4，OC=3；（2）；（3）存在，【分析】（1）由平方的非负性、绝对值的非负性解题；（2）作轴与点D，再由全等三角形的对应边相等性质解题；（3）分三种情况讨论，当当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，或当点P在x轴的负半
28、轴时，使CP=AC=5，或当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP时，根据等腰三角形的性质解题【解答】解：由.可知，.作轴与点D，存在.当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则为等腰三角形，P的坐标为；当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，则为等腰三角形，P的坐标为；当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，则为等腰三角形， ；所以存在，点P或或【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、绝对值的非负性、平方的非负性、勾股定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键17如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点为点，点在边上，将沿折叠，
29、点的对应点也为点（1）的度数为_（2）设，当为何值时，为等腰三角形？（3）能否为直角三角形？若能，请求出相应的值：若不能，请说明理由【答案】（1）；（2）或或；（3）或【分析】（1）根据等腰三角形和折叠的性质，算出的度数；（2）分情况讨论哪两个边是腰，用表示出的内角和，列式求出的值；（3）分情况讨论哪个角是直角，同（2）根据的内角和，列式求出的值【解答】解：（1），折叠，；（2）当时，在中，解得；当时，在中，解得；当时，则，在中，解得，综上：的值为或或；（3）当时，解得；当时，解得，综上：的值为或【点评】本题考查等腰三角形的性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质进行求解18问题提出：（
30、1）同一平面内的两条线段和，已知，则线段最大值是_；最小值是_问题探究：（2）如图，四边形中，且，问是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由问题解决：（自行作图并解决）（3）在中，以为一边作正方形，连接，问是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相应最值；若不存在，请说明理由【答案】（1）5，1；（2）存在，6；（3）存在最大值，【分析】（1）根据三角形的三边关系定理、线段的和差即可得；（2）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后分点不在同一条直线上和点在同一条直线上两种情况，分别利用三角形的三边关系定理、线段和差求解即可得；（3）如图（见解
31、析），先根据旋转的性质可得，再根据勾股定理可得，然后分点不在同一条直线上和点在同一条直线上两种情况，分别利用三角形的三边关系定理、线段和差求解即可得【解答】（1）由题意，分以下两种情况：当点不在同一条直线上时，由三角形的三边关系定理得：，即；当点在同一直线上时，点B在点的中间时，则，点C在点的中间时，则，综上，线段AC的取值范围为，则线段最大值是5，最小值是1，故答案为：5，1；（2）存在，求解过程如下：如图，连接AC，将绕点C逆时针旋转，点A的对应点为点E，连接AE、BE、CE，旋转后点D的对应点为点B，由旋转的性质得：，是等边三角形，当点不在同一条直线上时，即，；当点在同一条直线上时，综上
32、，当点在同一条直线上时，AC有最大值，最大值为6；（3）如图，将绕点B逆时针旋转，点E的对应点为点F，连接EF、BF、CF，四边形ABCD是正方形，旋转后点A的对应点为点C，由旋转的性质得：，在中，当点不在同一条直线上时，即；当点在同一条直线上时，综上，当点在同一条直线上时，有最大值，最大值为【点评】本题考查了三角形的三边关系定理、旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握利用旋转的性质作辅助线，构造等边三角形和直角三角形是解题关键19（1）阅读理解：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把，
33、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_；（2）问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：（3）问题拓展：如图3，在四边形中，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，之间的数量关系，并加以证明【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明ACDEBD，得出BE=AC=6，在ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得BMDCFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在BM
34、E中，由三角形的三边关系得出BE+BMEM即可得出结论；（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出NBC=D，由SAS证明NBCFDC，得出CN=CF，NCB=FCD，证出ECN=70=ECF，再由SAS证明NCEFCE，得出EN=EF，即可得出结论【解答】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图所示：AD是BC边上的中线，BD=CD，在BDE和CDA中，BDECDA（SAS），BE=AC=6，在ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BEAEAB+BE，10-6AE10+6，即4AE16，2AD8；故答案为：2AD8；（2）证明：延长至点，使，连接，如图所示同（1）得，在中
35、，由三角形的三边关系得，（3）证明如下：延长至点，使，连接，如图所示，在和中，在和中，【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键20八年级数学课上，老师出示了如图框中的题目如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答（1）特殊情况入手探索：当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系请你直接写出结论：_（填“”，“”或“”）（2）一般情况进行论证：对原题中的一般情形，二人讨论后得出（1）中的结论仍然成立，并且可以通过构
36、造一个三角形与全等来证明以下是他们的部分证明过程：证明：如图2，过点作，交于点（请完成余下的证明过程）图2（3）应用结论解决问题：在边长为的等边三角形中，点在直线上，且，点在直线上，则_（直接写出结果）【答案】（1）；（2）见解析；（3）或【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质得出D=BED=30，根据等角对等边得出BE=BD，即可证得AE=DB；（2）过点E作EFBC，先证得AEF是等边三角形，进而证得DBE=EFC=120，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出D=CEF，从而证得DBEEFC，得出AE=DB；（3）分两种情况：点E在线段AB上，点E在BA的延长线上，再判定三
37、角形全等，进而求出BD的长，即可求解【解答】（1）当点E为AB的中点时，如图1，结论：AE=DB，理由：ABC是等边三角形，点E为AB的中点，BCE=30，ED=EC，D=BCE=30，ABC=60，D=BED=30，BD=BE，AE=BE，AE=DB；（2）题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB，理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点FAEF=ABC，AFE=ACB，BCE=CEF，ABC=ACB=60，AEF=AFE=60，AEF是等边三角形，AE=EF，DE=CE，D=BCE，D=CEF，ABC=AFE=60，DBE=EFC=120，在DBE和EFC中，DBEEFC（AAS）
38、，EF=DB，AE=DB；（3），的边长为，点可能在线段上，也可能在的延长线上，当点在时，由（2）可知，则，当点在的延长线上时，如图3，过点作，交的延长线于点，是等边三角形，是等边三角形，在和中，【点评】考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形全等的判定和性质，本题关键是添加平行线，构造全等三角形，以及熟练掌握分类讨论思想21（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分MON，PCOM于C，PBON于B，则PB_PC（填“”“”或“=”）；（2）探索：如图2，小明发现，在ABC中，AD是BAC的平分线，则，请帮小明说明原因（3）应用：如图3，在小区三条交叉的道
39、路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为PDEP，问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？若BAC=30，SABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3）当APBC于P时，PD+DE+PE最小；4【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论；（2）过点D作DEAB于E，DFAC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式即可证出结论；（3）过点A作APBC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2即可
40、；根据三角形的面积公式即可求出AP，然后根据对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，DAP1=DAP，EAP2=EAP，从而证出P1AP2是等边三角形，即可得出结论【解答】解：（1）OP平分MON，PCOM于C，PBON于B，PB=PC故答案为：=；（2）理由：过点D作DEAB于E，DFAC于FAD是BAC的平分线，DE=DF；（3）过点A作APBC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2，由对称的性质可得AP1=AP=AP2，DP1=DP，EP2=EP，PD+DE+PE= DP1+DE+
41、 EP2= P1P2，根据两点之间，线段最短和垂线段最短，即可得出此时PD+DE+PE最小，即P1P2的长即当APBC于P时，PD+DE+PE最小；SABC=10，BC=5，BCAP=10解得：AP=4由对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，DAP1=DAP，EAP2=EAPDAP1EAP2=DAPEAP=DAE=30P1AP2=60P1AP2是等边三角形P1P2= AP1=4即PD+DE+PE的最小值是4【点评】此题考查的是角平分线的性质、对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短的应用和等边三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、对称的性质、两点之间线段最短的应
42、用和等边三角形的判定及性质是解题关键22如图，钝角中，为上一点，为上一点，（1）作于，交的延长线于判断与的大小关系，并说明理由求证；（2）若，求的长【答案】（1）；证明见解析；证明见解析；（2）【分析】（1）由题意易得，作于，则有，进而问题得解；由题意易得，进而可得，由知，然后问题得证；（2）作交射线于，交的延长线于，则有，由（1）可知，进而根据勾股定理，得，然后可求，最后利用勾股定理可求解【解答】解：（1）,理由是：，于，作于，即，由知，（）（2）作交射线于，交的延长线于，由（1）可知，由勾股定理，得，的长为【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定、勾股定理及含30角的直角三角形的性质，熟
43、练掌握全等三角形的性质与判定、勾股定理及含30角的直角三角形的性质是解题的关键23在ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高问题发现：（1）如图1，若ACB=90，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A，B重合)，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90，得到线段CF，连接BF，我们会发现CD，BE，BF之间的数量关系是CD=(BE+BF)，请你证明这个结论；提出猜想：（2）如图2，若ACB=60，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A，B重合)，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60，得到线段CF，连接BF，猜想线段CD，BE，BF之间的数量关系是 ；拓广探索：（3）若ACB=，CD=kA
44、B(k为常数)，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A，B重合)，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转，得到线段CF，连接BF，请你利用上述条件，根据前面的解答过程得出类似的猜想，并在图3中画出图形，标明字母，不必解答【答案】（1）证明见解析；（2）CD=（BF+BE）；（3）图形见解析，CD=k（BF+BE）【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质证得CD=AB，根据同角的余角相等可得ACE=BCF，再由旋转的性质得CE=CF，然后根据SAS可证得ACEBCF，则有AE=BF，即AB=AE+BE=BF+BE即可得证；（2）根据等边三角形的性质可求得CD=AB，仿照（1）中证明方法即可得出线段
45、CD，BE，BF之间的数量关系；（3）根据题意画出图形，仿照（1）中证明过程即可得出结论【解答】（1）证明：ABC中，AC=BC，CDAB，ACB=90，CD=AB，由旋转的性质得：ECF=90，CE=CF，ACB=ACE+ECB=90，ECF=BCF+ECB=90，ACE=BCF，又AC=AB，ACEBCF（SAS），AE=BF，AB=AE+BE=BF+BE，CD=AB=（BF+BE）；（2）ABC中，AC=BC，ACB=60，ACB为等边三角形，又CDAB，AC=AB，AD=AB，在RtACD中，CD=，由旋转的性质得：ECF=60，CE=CF，ACB=ACE+ECB=60，ECF=BCF
46、+ECB=60，ACE=BCF，又AC=AB，ACEBCF（SAS），AE=BF，AB=AE+BE=BF+BE，CD=AB=（BF+BE）；（3）如图，由旋转的性质得：ECF=，CE=CF，ACB=ACE+ECB=，ECF=BCF+ECB=，ACE=BCF，又AC=AB，ACEBCF（SAS），AE=BF，AB=AE+BE=BF+BE，CD=kAB=k（BF+BE）【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，熟练掌握这些性质的运用，利用旋转的性质，借助全等三角形性质证明AE=BF是解答的关键24如图，在ABC中，BAC90，ABAC6，A
47、DBC于点D点G是射线AD上一点（1）若GEGF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图所示，容易证明AE+AFAD当点G在线段AD外时，如图所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）AE+AFAG，证明见解析；（2）存在，最小值为3+3【分析】（1）如图，过点G作HGAG交AB延长线于点H，由等腰直角三角形可得DABDAC45，AGHG，由“ASA”可证AGFHGE，可得AFBH，可得结论；（2）如图，将ABG绕点A顺时针旋转60得到AB
48、G，连接GG，BC，过点B作BNAC，交CA的延长线于点N，由旋转的性质可得AG+BG+CGGG+BG+CG，则当点B，点G，点G，点C共线时，AG+BG+CG的值最小，最小值为BC的长，由30角所对直角边是斜边一半和勾股定理可求解【解答】解：（1）AE+AFAG，理由如下：如图，过点G作HGAG交AB延长线于点H，BAC90，ABAC6，ADBC，DABDAC45，AHGBAD45，AGHG，AHAG，EGFAGH90，AGFEGH，又AHGFAG45，AGFHGE（ASA），AFBH，AHAE+BHAE+AFAG；（2）如图，将ABG绕点A顺时针旋转60得到ABG，连接GG，BC，过点B作
49、BNAC，交CA的延长线于点N，ABAB6，AGAG，BAB60，GAG60，BGBG，AGG是等边三角形，AGGG，AG+BG+CGGG+BG+CG，当点B，点G，点G，点C共线时，AG+BG+CG的值最小，最小值为BC的长，BACBAB+BAC60+90150，BAN30，BN3，ANBN3，CN6+3，BC，AG+BG+CG的最小值为【点评】（1）考查综合运用旋转的知识作辅助线证明的能力对于与等腰直角三角形有关的证明题往往要进行图形的90旋转，把要证明的要素集中到一个熟悉的图形中进行（2）考查综合利用旋转的知识解决几何最值问题对于线段和或差的最值问题，常常要通过轴对称和旋转60把要求的线
50、段之和或差转化为俱有固定端点的折线，然后据两点之间线段最短来解决25已知ACAB，ADAE，CABDAE （090）（1）观察猜想如图1，当90时，请直接写出线段CD与BE的数量关系： ，位置关系： ；（2）类比探究如图2，已知60，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，写出GM与FH的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）解决问题如图，已知：AB2，AD3，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，将ABC绕点A旋转，直接写出四边形FGHM的面积S的范围（用含的三角函数式子表示）【答案】（1）BECD，BECD；（2）GMFH，GMFH，证明见解析；（3）sinSsin【
51、分析】（1）由“SAS”可证ACDABE，可得CDBE，ACDABE，由余角的性质可证BECD；（2）结论：GMFH，GMFH利用全等三角形的性质证明四边形FGHM是菱形即可解决问题；（3）证明四边形FGHM是菱形，SGH2sin，求出GH的取值范围即可解决问题【解答】解：（1）如图，设CD与AB交于点N，与BE交于点O，CABDAE90DACEAB，又ACAB，ADAE，ACDABE（SAS），CDBE，ACDABE，ANCBNO，CANBON90，BECD，故答案为：BECD，BECD；（2）如图，结论：GMFHGMFH，理由：连接CD，BE，CD交BE于O，连接FG，GH，HM，MF，C
52、ABEAD60，CADBAE，ACAB，ADAE，ACDABE（SAS），CDBE，ACDABE，BOCCAB60，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，GFBE，HMBE，FMCD，GHCD，GFHMBE，FMGHCD，FGH60，GFFMMHHG，四边形FGHM是菱形，GFH是等边三角形，FHGM，GFH60，tanGFH，GMFH；（3）如图，连接CD，BE，CD交BE于J，交AB于O，过点F作FTGH于T，BE交GH于K，CABEAD，CADBAE，ACAB，ADAE，ACDABE（SAS），CDBE，ACDABE，AOCBOJ，BJCCAB，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，GFBE，HMBE，FMCD，GHCD，GFHMBE，FMGHCD，GFFMMHHG，四边形FGHM是菱形，FGHAKHCJB，四边形FGHM的面积GHFGsinGH2sin，AC2，AD3，1CD5，GHCD，GH，sinSsin【点评】本题考查几何证明题，涉及全等三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，中位线定理和锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握这些性质定理并结合题目条件进行证明求解
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