1、章末目标检测卷六平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:80分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020全国,文2)若z(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i2.已知O是ABC所在平面内一点,D为边BC的中点,且2OA+OB+OC=0,则()A.AO=2ODB.AO=ODC.AO=3ODD.2AO=OD3.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则ABBC=()A.-3B.-2C.2D.34.已知复数z=a+a+i3-i(aR,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部
2、为-12,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,如图所示,处于平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重(单位:kg)约为()(参考数据:取重力加速度大小为g=10 m/s2,31.732)A.63B.69C.75D.816.已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则BDCD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.32a27.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos ,2sin ),则向量OA与向量
3、OB的夹角的取值范围是()A.0,4B.4,512C.512,2D.12,5128.已知|OA|=|OB|=2,点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,则|OA-tOB|(tR)的最小值为()A.2B.3C.2D.5二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知复数z的共轭复数为z,且zi=1+i,则下列结论正确的是()A.|z+1|=5B.z的虚部为-iC.z2 020=-21 010D.z2+z=z10.已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数
4、,且(a-b)c,下列说法正确的是()A.a与b的夹角为钝角B.向量a在b方向上的投影向量的模为55C.2m+n=4D.mn的最大值为211.已知复数z=1+cos 2+isin 2-20)的等边三角形,P为ABC所在平面内一点,则PA(PB+PC)的值可能是()A.-2a2B.-32a2C.-43a2D.-a2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知i为虚数单位,且复数z满足(z-i)(1+i)2+i=2i,则|z|=.14.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使APBP有最小值,则点P的坐标是.15.若向量a,b满足a=(-3,1),(a+2b)
5、a,(a+b)b,则|b|=.16.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=1-x2上的一个动点,则BPBA的取值范围是.章末目标检测卷六平面向量、数系的扩充与复数的引入1.D由z(1+i)=1-i,知z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,则z=i.故选D.2.B由2OA+OB+OC=0,得OB+OC=-2OA=2AO,即OB+OC=2OD=2AO,所以OD=AO,故选B.3.C由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC=(1,0),即ABBC=(2,3)(1,0)=21+30=2.故选C.4.
6、A由题意,得z=a+a+i3-i=a+(a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=13a-110+(a+3)i10,即z=13a-110-(a+3)i10.复数z的共轭复数的虚部为-12,-a+310=-12,解得a=2.则z=52+12i,即复数z在复平面内对应的点位于第一象限.5.B设该学生两只胳膊的拉力分别为F1,F2,则|F1|=|F2|=400N,且F1,F2的夹角是60,则|F1+F2|=(F1+F2)2=4002+240040012+4002=4003(N),则该学生的体重m=4003g401.732=69.28(kg),故选B.6.D如图,设BA=a,BC=b,则BDCD=(BA
7、+BC)BA=(a+b)a=a2+ab=a2+a2cos60=a2+12a2=32a2.7.D由题意,得OA=OC+CA=(2+2cos,2+2sin),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.8.B依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,AOB=180-230=120,(OA-tOB)2=4+4t2-2t22cos120=4t2+4t+4=4t+122+3的最小值为3,因此|OA-tOB|的最小值为3.9.ACD由z
8、i=1+i可得,z=1+ii=1-i,虚部为-1,所以|z+1|=|2-i|=22+(-1)2=5;因为z2=-2i,z4=-22,所以z2020=(z4)505=-21010;z2+z=-2i+1+i=1-i=z.故选ACD.10.CD对于A,向量a=(2,1),b=(1,-1),则ab=2-1=10,则a,b的夹角为锐角,错误;对于B,向量a=(2,1),b=(1,-1),则向量a在b方向上的投影向量的模为ab|b|=22,错误;对于C,向量a=(2,1),b=(1,-1),则a-b=(1,2).若(a-b)c,则-n=2(m-2),变形可得2m+n=4,正确;对于D,由C的结论,2m+n
9、=4,而m,n均为正数,可得mn=12(2mn)122m+n22=2,当且仅当2m=n=2时,等号成立,即mn的最大值为2,正确.11.BC因为-22,所以-2,所以-1cos21,所以01+cos22,故A选项错误;当sin2=0-2,2时,复数z是实数,故B选项正确;|z|=(1+cos2)2+sin22=2+2cos2=2cos,故C选项正确;1z=11+cos2+isin2=1+cos2-isin2(1+cos2+isin2)(1+cos2-isin2)=1+cos2-isin22+2cos2,1z的实部是1+cos22+2cos2=12,故D选项错误.12.BCD如图,建立平面直角坐
10、标系.设点P(x,y),又点A(0,3a),B(-a,0),C(a,0),则PA=(-x,3a-y),PB=(-a-x,-y),PC=(a-x,-y),则PB+PC=(-a-x,-y)+(a-x,-y)=(-2x,-2y),即PA(PB+PC)=(-x,3a-y)(-2x,-2y)=2x2+2y2-23ay,即PA(PB+PC)=2x2+2y-32a2-32a2.故PA(PB+PC)-32a2.13.17由(z-i)(1+i)2+i=2i,得z=2i(2+i)1+i+i=1+4i,则|z|=12+42=17.14.(3,0)设点P的坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-
11、1),APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,APBP有最小值1.故点P的坐标为(3,0).15.2a=(-3,1),|a|=2.(a+2b)a,(a+b)b,(a+2b)a=0,(a+b)b=0,即|a|2+2ab=0,|b|2+ab=0.由-2,得|a|2=2|b|2,则|b|=2.16.0,2+1如图,作出函数y=1-x2的图象.这是以点O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.设BP与BA的夹角为,则0,2.当0,4时,cos4-=|BP|2;当4,2时,cos-4=|BP|2.因为y=cosx(xR)是偶函数,所以|BP|=2cos-4,0,2.BPBA=|BP|BA|cos=22cos-4cos=2cos2+2sincos=sin2+cos2+1=2sin2+4+1.因为0,2,所以2+44,54.当2+4=2,即=8时,BPBA取最大值2+1;当2+4=54,即=2时,BPBA取最小值0,故BPBA的取值范围是0,2+1.
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