1、押第22题 导数导数的应用也一直是高考的热点，尤其是导数与函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重点内容，有时也会考查导数的运算、导数的几何意义等，比较综合.1导数的几何意义的应用：（1）已知切点P(x0，y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f (x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k=f (x0)解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f (x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由
2、点斜式或两点式写出方程（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f (x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程（5）在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上2利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立一般步骤为：（1）求f (x)；（2）确认f (x)在(a，b)内的符号；（3）作出结论，时为增函数，时为减函数3由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在
3、某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.4（1）求函数极值的方法：确定函数的定义域求导函数求方程的根检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧
4、符号不变，则在这个根处没有极值（2）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.5求函数f (x)在a，b上最值的方法（1）若函数f (x)在a，b上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点1（2021浙江高考真题）设a，b为实数，且，
5、函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)【详解】(1)，若，则，所以在上单调递增；若，当时，单调递减，当时，单调递增.综上可得，时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为.(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，令，则，记，记，又，所以时，时，则在单调递减，单调递增，.即实数的取值范围是.(3)方法一【最优解】：有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，又
6、由知，要证，只需，且关于的函数在上单调递增，所以只需证，只需证，只需证，只需证在时为正，由于，故函数单调递增，又，故在时为正，从而题中的不等式得证.方法二：分析+放缩法有2个不同零点，不妨设，由得（其中）且要证，只需证，即证，只需证又，所以，即所以只需证而，所以，又，所以只需证所以，原命题得证方法三：若且，则满足且，由（）知有两个零点且又，故进一步有由可得且，从而因为，所以，故只需证又因为在区间内单调递增，故只需证，即，注意时有，故不等式成立2（2021天津高考真题）已知，函数（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围【详解
7、】（I），则，又，则切线方程为；（II）令，则，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，当时，当时，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，则，单调递增，当时，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；（III）由（II）知，此时，所以，令，若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，故，所以实数b的取值范围.3（2021北京高考真题）已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值【详解】（1）当时，则，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故
8、，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，.4（2021全国高考真题）已知函数（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点；【详解】(1)由函数的解析式可得：，当时，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，在上单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；(2)若选择条件：由于，故，则，而，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于，故，则，当时，而
9、函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.当时，构造函数，则，当时，单调递减，当时，单调递增，注意到，故恒成立，从而有：，此时：，当时，取，则，即：，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，题中的结论成立.5（2021全国高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【详解】(1)的定义域为由得，当时，；当时；当时，故在区间内为增函数，在区间内为减函数，(2)方法一：等价转化由得，即由，得由（1）不妨设，则，从而，得，令， 则，当时，在区间内为减函数，从而，所以，由（1）得即令，
10、则，当时，在区间内为增函数，从而，所以又由，可得，所以由得方法二【最优解】：变形为，所以令则上式变为，于是命题转换为证明：令，则有，不妨设由（1）知，先证要证：令，则，在区间内单调递增，所以，即再证因为，所以令，所以，故在区间内单调递增所以故，即综合可知方法三：比值代换证明同证法2以下证明不妨设，则，由得，要证，只需证，两边取对数得，即，即证记，则.记，则，所以，在区间内单调递减，则，所以在区间内单调递减由得，所以，即方法四：构造函数法由已知得，令，不妨设，所以由（）知，只需证证明同证法2再证明令令，则所以，在区间内单调递增因为，所以，即又因为，所以，即因为，所以，即综上，有结论得证1（202
11、2天津一模）已知函数，.(1)若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值；(2)当时，求的单调区间；(3)已知的导函数在区间上存在零点.求证：当时，.【解析】(1)函数的定义域为，由，可得，所以.(2)由（1）得，当时，令，解得或，令，解得.所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.当时，所以，函数的单调递增区间为，当时，令，解得或，令，解得，所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.(3)因为导函数在区间上存在零点，则，由（2）可知在上单调递减，在单调递增，所以在上的最小值为，设，令，因为，所以，在上单调递减，又，所以在上单调递减，又因为，所以，即，所以当时，.2（2022福建模拟预测）
12、已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)若曲线有，两个零点.（i）求的取值范围；（ii）证明：存在一组，（），使得的定义域和值域均为.【解析】(1)函数定义域是，当时，则，令，解得，列表可知1+0单调递增1单调递减的极大值为，无极小值；(2)（i）解：由题意可知，有两解，即有两解，设，则，令，解得（舍去），列表可知，+0单调递增极大值单调递减，因为有两个零点，所以，解得，当时，有，可得，令，有，时，时，可得函数的减区间为，增区间为，有，可得，当时，.所以存在，使得，所以；（ii）证明：因为，令，解得，列表可知，+0单调递增极大值单调递减在上单调递增，在上单调递减，若，则在上单调递增，因此，由
13、上可知取，此时，所以当时，存在一组，符合题意；若，则在上单调递减，所以，所以，即，不符题意；若， 在上单调递增，在上单调递减，所以，由得，又因为，所以，即，所以当时，存在一组，符合题意；综上，存在一组，符合题意.3（2022湖南雅礼中学二模）已知函数，且正数a，b满足(1)讨论f（x）的单调性；(2)若的零点为，且m，n满足，求证：.（其中是自然对数的底数）【解析】(1)令，则由题可知，即，所以，即，因为 ，令，则，且对称轴，易得当时，在单调递减，在单调递增，当时，在单调递减；(2)，由且知在单调递增，在单调递减，又，令，则，即，由（1）知，即有，两式相减得，即，整理得.4（2022重庆八中模
14、拟预测）已知函数.(1)若在单调递增，求a的取值范围.(2)若，且，求a.【解析】(1)解：因为定义域为，若时，所以在单调递增，满足条件；若时，令，则，所以当时，即在上单调递增，又，所以，当时，即，所以在上单调递减，当时，即，所以在上单调递增，不符合题意，综上可得(2)解：若，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，且，所以的最小值为，令，则，所以当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，所以，由，所以当且仅当，即时条件成立，所以5（2022江苏南京市第一中学三模）已知函数(1)证明：；(2)若，证明：【解析】(1)解：因为，所以，所以函数在上单调递减，所以，即.(2)解：由（1）知，故，所
15、以，所以，令，则，下面用数学归纳法证明.当时，故成立；假设时，即成立，当时，由于所以，当时，不等式成立.综上，不等式成立.（限时：30分钟）1记，为的导函数若对，则称函数为上的“凸函数”已知函数，（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；（2）若函数在上有极值，求的取值范围【详解】（1），若函数为上的凸函数，则，即，令，则当时，当时，；当时，；当时，单调递减；当时，单调递增，解得：，的取值范围为.（2），在上有极值，在有变号零点，令，则，在上单调递增，；当，即时，在上单调递增，即，在无零点，不合题意；当，即时，则，使得，当时，单调递减，又，当时，在上无零点；当时，单调递增，又时，在上有零点，且在
16、零点左右两侧符号相反，即该零点为的变号零点，在上有极值；综上所述：的取值范围为.2已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在的最小值.【详解】解：（1）当时，又得切点，所以切线方程为，即；（2），令，由，得，所以在上为单调增函数又，所以在上恒成立即在恒成立当时，知在上为减函数，从而当时，知在上为增函数，从而；综上，当时，；当时.3已知函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）若在定义域上存在极大值，求实数的取值范围.【详解】解：（1）时，定义域是，()所以，切线方程为即（2）的定义域是，求导得()记，当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增；有极小值没有极大值.当时，(负根舍去
17、)，当时，单调递减，当时，单调递增；有极小值没有极大值.当时，令得，则在恒成立，于是在恒成立，在定义域上单调递减，没有极大值.令得，令，有2个不相等正根，在上单调递减，在单调递增，在单调递减.所以在点取极大值.综上所述，在定义域上存在极大值时，实数的取值范围是.4已知函数，直线分别与函数，的图象交于，两点，为坐标原点（1）求长度的最小值；（2）求最大整数，使得对恒成立【详解】直线分别与函数，交于，两点，则，（1），记，当，单调递减；当，单调递增；所以，即长度最小值为1；（2）由，记，所以，显然单调递增，而，所以存在唯一，使得，即，当，单调递减；当，单调递增；时，又，所以，又，所以，所以要使得整数恒成立，只需即的最大整数为-15记，为的导函数若对，则称函数为上的“凸函数”已知函数，（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；（2）若方程在上且仅有一个实数解，求的取值范围【详解】（1），若为上的凸函数，则有对恒成立，即对恒成立，而在上单增，的取值范围为.（2）由得，令，当时，对恒成立，在上单调递增，又，在上有且仅有一个实数解，符合题意当时，令得，若即时对恒成立，在上单调递减，在上有且仅有一个实数解，符合题意若即在上单调递增，在上单调递减，故存在，即在上有两个零点综上，的取值范围为.
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