1、第2课时直线的方程(一)1.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程和两点式方程,归纳方程特点及其适用范围并能简单应用.2.能发现斜截式方程与一次函数间的联系与区别.“我想知道流星能飞多久,它的美丽是否值得去寻求,夜空的花散落在你身后,幸福了我很久,值得我去等待,于是我许了个愿保佑,在最美的时候,我许的愿”飞逝的流星形成一条美丽的弧线,这条弧线可以近似看作是什么图形呢?若在平面直角坐标系中,能否确定它的位置呢?问题1:(1)图片中飞逝的流星划出一条美丽的弧线,这条弧线可以近似看作直线.(2)经过点P0(x0,y0)的直线l有无数条,可分为两类:(i)斜率存在,设斜率为k,则直线方程为y-y0=k(x-
2、x0),这个方程是由直线上点P0(x0,y0)及其斜率k 确定的,所以叫作直线的点斜式方程.(ii)斜率不存在,则直线方程为x=x0.问题2:(1)已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),代入直线的点斜式方程,得y=kx+b,我们称b为直线l在y轴上的截距.这个方程是由直线l的斜率和它在y轴上的 截距确定的,所以叫作直线的斜截式方程.(2)直线的斜截式方程截距:b.一般形式:y=kx+b.适用条件:斜率存在.注意:当直线和x轴垂直时,斜率不存在,此时方程不能用点斜式方程和斜截式方程表示.问题3:已知两点坐标为P1(x1,y1),P(x2,y2)(其中x1x2,y1y2),则通过这两点
3、的直线方程为.与坐标轴平行或垂直的直线没有两点式方程,但其变形(y2-y1)(x-x1)=(x2-x1)(y-y1)可表示过任意两点的直线方程.问题4:若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则,此公式为线段P1P2的中点坐标公式.1.已知直线方程y-3=(x-4),则这条直线经过的定点,倾斜角分别是().A.(4,3),60B.(-3,-4),30C.(4,3),30D.(-4,-3),602.直线方程可表示成点斜式方程的条件是().A.直线不过原点B.直线的斜率不存在C.直线的斜率存在D.不同于上述答案3.经过点(-,2)且倾斜角
4、是30的直线的点斜式方程是.4.写出斜率为-2,且在y轴上的截距为t的直线的方程,当t为何值时,直线通过点(4,-3)?并作出该直线的图像.直线方程形式的选择根据条件写出下列直线的方程:(1)斜率为3,经过点(5,-4);(2)斜率为-2,经过点(0,2);(3)经过点(2,1)和(3,-4);(4)经过点(4,2),倾斜角为90.直线的两点式方程已知三角形的三个顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2).(1)求BC边所在的直线方程;(2)求BC边上的中线AM所在的直线方程.“截距”与“距离”的关系求过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.求满足下列条件的直线方程:(
5、1)斜率为2,经过点(2,0);(2)经过点B(2,3),倾斜角是45;(3)斜率为2,在y轴上的截距是5; (4)直线l与直线l1:y=2x+6在y轴上有相同的截距,且直线l的斜率与l1的斜率互为相反数,求直线l的方程.一条光线从点A(3,2)出发,经过x轴反射后,通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程.求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.1.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为().A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=02.已知直线的方程为y+2=-x-
6、1,则().A.直线过点(-1,2),斜率为-1B.直线过点(-1,2),斜率为1C.直线过点(-1,-2),斜率为-1D.直线过点(-1,-2),斜率为1 3.直线l过(-1,-1)、(2,5)两点,且点(1006,b)在l上,则b=.4.求过点A(1,3),斜率为直线y=-4x的斜率的的直线方程.(2010年安徽卷)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是().A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0考题变式(我来改编):第2课时直线的方程(一)知识体系梳理问题1:(1)直线(2)(i)y-y0=k(x-x0)点P0(x0,y0)斜率k
7、点斜式(ii)x=x0问题2:(1)y=kx+b截距 截距斜截式(2)by=kx+b斜率存在问题3:=问题4:基础学习交流1.A由直线的点斜式方程可知,k=tan =,=60,直线过定点(4,3).2.C3.y-2=(x+)4.解:(1)由直线方程的斜截式,可得方程为y=-2x+t.(2)将点(4,-3)代入方程y=-2x+t,得-3=-24+t,解得t=5,故当t=5时,直线通过点(4,-3).直线y=-2x+5图象如右图所示.重点难点探究探究一:【解析】(1)k=3,经过点(5,-4),由点斜式方程得y-(-4)=3(x-5),即y+4=3(x-5).(2)k=-2,b=2,由斜截式方程得
8、y=-2x+2.(3)直线过点(2,1)和(3,-4),直线方程为=.整理得y=-5x+14.(4)由题意可知,直线垂直于x轴,直线方程为x=4.【小结】在求直线的点斜式方程时,要判断直线的斜率是否存在,若存在,要求出其斜率,再将条件中所给的点代入点斜式方程即可.如果已知纵截距,那么可直接利用直线的斜截式方程求解.探究二:【解析】(1)直线BC过点B(3,-3),C(0,2),由两点式得=,整理得5x+3y-6=0,所以BC所在的直线方程为5x+3y-6=0.(2)因为B(3,-3),C(0,2),所以由中点坐标公式可得BC边上中点M的坐标为x=,y=-.由两点式方程可得直线AM的方程为=,整
9、理得直线AM的方程为x+13y+5=0.【小结】本题利用直线的两点式求解直线方程,求解前要先观察横坐标是否相等,纵坐标是否相等,都不相等后才可以利用两点式方程求解.由于两点式方程比较复杂,所以在利用两点式方程时一定要细心.此外,本题也可以先求出直线的斜率,再利用点斜式或斜截式求直线方程.探究三:【解析】直线两坐标轴上的截距相等,则斜率k的值为1.若k=1,则直线方程为y-3=x-2,即x-y+1=0;若k=-1,则直线方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0.所求直线方程为x-y+1=0或x+y-5=0.问题当k=1时,直线在两坐标轴上的截距相等吗?结论截距是直线与y轴(或x轴)交点的纵坐
10、标(横坐标),它不是距离,是有向线段的数量,可正、可负、也可为0,错解中方程x-y+1=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,1,截距当然不相等,属于概念性错误.于是,正确解答如下:当截距不为0时,则k=-1,直线方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0.当截距为0 时,则k=,直线方程为y=x.故满足题意的直线方程为y=x或x+y-5=0.【小结】求直线在坐标轴上截距的方法:令x=0,所得y值是y轴上的截距;令y=0,所得x值是x轴上的截距.注意理解“截距”与“距离”的区别.思维拓展应用应用一:(1)由直线的点斜式方程,得y=2(x-2),所求直线方程为2x-y-4=0.(2)由题意得k=t
11、an 45=1,所求直线方程为y-3=x-2,即x-y-1=0.(3)由直线的斜截式方程,得所求直线方程为y=2x+5.(4)直线l1的斜率为2,在y轴上截距为6,直线l的斜率为-2,在y轴上的截距为6,直线l的方程为y=-2x+6.应用二:因为点A(3,2)关于x轴的对称点为A(3,-2),所以由两点式可得直线AB的方程为=,即2x+y-4=0.同理,点B关于x轴的对称点为B(-1,-6),由两点式可得直线AB的方程为=,即2x-y-4=0,所以入射光线所在的直线方程为2x-y-4=0,反射光线所在的直线方程为2x+y-4=0.应用三:由题意可知直线的斜率存在且不等于零,可设直线方程为y-2
12、=k(x+5).令x=0,则y=5k+2;令y=0则x=-5-.-5-=2(5k+2),解得k=-或k=-,直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.基础智能检测1.A由y-5=-(x+2),得3x+4y-14=0.2.C直线方程可化为y-(-2)=-x-(-1),故直线过点(-1,-2),斜率为-1.3.2013直线l的方程为=,整理得:y=2x+1,令x=1006,得b=2013.4.解:设所求直线的斜率为k,依题意有k=-4=-.又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.全新视角拓展A由题意可知,所求直线的斜率k=,又经过点(1,0),所求直线方程为y=(x-1),即x-2y-1=0.思维导图构建y-y0=k(x-x0)