1、第3节 电磁感应规律的综合应用一、电磁感应中的电路问题1在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路相当于电源因此，电磁感应问题往往与电路问题联系在一起2解决与电路相联系的电磁感应问题的基本方法(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(右手定则)确定感应电动势的大小和方向；(2)画等效电路；(3)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路的性质、电功率等公式求解3与上述问题相关的几个知识点(1)电源电动势 EBlv 或 Ent.(2)闭合电路欧姆定律 I ERr；部分电路欧姆定律 IUR；电源的内电压 UrIr；电源的路端电压 UIREIr.(3)通过导体的电荷量
2、qItnR.(1)某段导体作为外电路时，它两端的电压就是电流与其电阻的乘积(2)某段导体作为电源时，它两端的电压就是路端电压，等于电流与外电阻的乘积，或等于电动势减去内电压当其电阻不计时，路端电压等于电源电动势(3)某段导体做电源，断路时电压等于电动势二、电磁感应中的动力学问题1通电导体在磁场中将受到安培力作用，电磁感应问题往往和力学问题联系在一起解决的基本方法如下：(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向；(2)求回路中的电流；(3)分析导体受力情况(包含安培力在内的全面受力分析)；(4)根据平衡条件或牛顿第二定律列方程2两种状态处理(1)导体处于平衡态静止或匀速直线运动
3、状态处理方法：根据平衡条件合外力等于零列式分析(2)导体处于非平衡态加速度不等于零处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析，或结合功能关系分析3电磁感应中的动力学临界问题(1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件三、电磁感应中的能量转化问题1电磁感应过程实质是不同形式的能量转化的过程电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力作用，因此要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功此过程中，其他形式的能转化为电能安培力做功的过程是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功，就有多少电能转化为其他形式的能2求解电能
4、的主要思路(1)利用克服安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；(2)利用能量守恒求解：机械能的减少量等于产生的电能；(3)利用电路特征来求解：通过电路中所产生的电能来计算3解决电磁感应现象中的能量问题的一般步骤(1)确定等效电源(2)分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化(3)根据能量守恒列方程求解四、电磁感应中的图象问题1.(2012 年福州模拟)如图所示，ab 和 cd 是位于水平面内的平行金属轨道，其电阻可忽略不计ac 之间连接一阻值为 R 的电阻ef 为一垂直于 ab 和 cd 的金属杆，它与 ab 和 cd 接触良好并可沿轨道方向无摩擦地
5、滑动ef 长为 l，电阻也为 R.整个装置处在匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度为 B，当施外力使杆 ef 以速度 v 向右匀速运动时，杆 ef 所受的安培力为()A.vB2l2R B.vBlRC.vB2l22R D.vBl2R解析：金属杆以速度 v 运动，电动势 EBlv，回路中电流 I E2RBlv2R，得 FB2l2v2R，C 正确答案：C2.如图所示，两个相邻的匀强磁场，宽度均为L，方向垂直纸面向外，磁感应强度大小分别为B、2B.边长为L的正方形线框从位置甲匀速穿过两个磁场到位置乙，规定感应电流逆时针方向为正，则感应电流i随时间t变化的图象是()解析：利用右手定则判断感应电
6、流的方向，首先为顺时针，A错；当进入2B区域时，右边框切割磁感线，感应电流方向为顺时针，左边框切割磁感线，感应电流方向为逆时针，两者反接总感应电流方向为顺时针，B、C错；当线框出磁场时，线框的左边切割磁感线，电流为逆时针方向，且电流大小应为原来的2倍，故D正确答案：D3.用均匀导线做成的正方形线框边长为0.2 m，正方形的一半放在垂直纸面向里的匀强磁场中，如图所示当磁场以10 T/s的变化率增强时，线框中a、b两点间的电势差是()AUab0.1 V BUab0.1 VCUab0.2 V DUab0.2 V解析：题图中正方形线框的左半部分磁通量变化而产生感应电动势，从而在线框中有感应电流，把左半
7、部分线框看成电源，其电动势为 E，内电阻为r2，画出等效电路如图所示则 a、b 两点间的电势差即为电源的路端电压，设 l 是边长，且依题意知Bt 10 T/s.由 Et 得EBSt Btl22100.222 V0.2 V所以 UIr2 Er2r2r20.2r r2 V0.1 V由于 a 点电势低于 b 点电势，故 Uab0.1 V，即 B 选项正确答案：B4(2012年泰安模拟)如图所示，水平放置的导体框架，宽L0.50 m，接有电阻R0.20，匀强磁场垂直框架平面向里，磁感应强度B0.40 T一导体棒ab垂直框边跨放在框架上，并能无摩擦地在框架上滑动，框架和导体棒ab的电阻均不计当ab以v4
8、.0 m/s的速度向右匀速滑动时，求：(1)ab棒中产生的感应电动势大小；(2)维持导体棒ab做匀速运动的外力F的大小；(3)若将外力F突然减小到F，简要论述导体棒ab以后的运动情况解析：(1)ab 棒切割磁感线，故EBLv0.400.504.0 V0.80 V.(2)回路电流 IER0.80.2 A4 A故 F 安BIL0.4040.50 N0.80 N因导体棒匀速运动，则 FF 安0.80 N.(3)当 F 突然减小为 F时，F 安F，导体棒 ab 所受合外力方向向左，导体棒做减速运动；由 F 合F 安FB2L2vRFma知，棒 ab 做加速度减小的减速运动，当 a0 时，导体棒做匀速直线
9、运动，速度为 vFRB2L2.答案：(1)0.80 V(2)0.80 N(3)见解析 对电磁感应电路问题的理解1对电源的理解电源是将其他形式的能转化为电能的装置在电磁感应现象里，通过导体切割磁感线和线圈磁通量的变化而将其他形式的能转化为电能2对电路的理解内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容等电学元件组成3解决电磁感应电路问题的基本步骤(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律或右手定则确定感应电动势的大小和方向，感应电流的方向是电源内部电流的方向(2)根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路，注意区别内外电路，区别路端电压和电动势(3)根据 EBLv 或
10、 Ent 结合闭合电路欧姆定律、串并联电路知识和电功率、焦耳定律等关系式联立求解(1)求解一段时间内的电量用电流平均值(2)求一段时间内的热量用电流的有效值(3)求瞬时功率要用瞬时值，求解平均功率要用有效值例1(2012年泰安模拟)两根光滑的长直金属导轨MN、MN平行置于同一水平面内，导轨间距为L，电阻不计，M、M处接有如图所示的电路，电路中各电阻的阻值均为R，电容器的电容为C，长度也为L、电阻值同为R的金属棒ab垂直于导轨放置，导轨处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，ab在外力作用下向右匀速运动且与导轨保持良好接触，在ab运动距离为x的过程中，整个回路中产生的焦耳热为Q，求：(1)
11、ab运动速度v的大小；(2)电容器所带的电荷量q.思路点拨 解题注意以下两点：(1)整个回路中产生的焦耳热即3个R和ab电阻上的焦耳热之和(2)焦耳热在数值上也等于金属棒克服安培力做功的数值自主解答(1)设 ab 上产生的感应电动势为 E，回路中的电流为I，ab 运动距离 x 所用时间为 t，三个电阻 R 与电源串联，总电阻为 4R，则 EBLv由闭合电路欧姆定律有 I E4R，tx/v由焦耳定律有 QI2(4R)t由上述各式得 v 4QRB2L2x.(2)设电容器两极板间的电势差为 U，则有 UIR，电容器所带电荷量 qCU解得 qCQRBLx.答案(1)4QRB2L2x(2)CQRBLx1
12、如图所示，直角三角形导线框 abc 固定在匀强磁场中，ab 是一段长为 l、电阻为 R的均匀导线，ac 和 bc 的电阻可不计，ac 长度为l2.磁场的磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里现有一段长度为l2、电阻为R2的均匀导体杆 MN 架在导线框上，开始时紧靠 ac，然后沿 ab方向以恒定速度 v 向 b 端滑动，滑动中始终与 ac 平行并与导线框保持良好接触当 MN 滑过的距离为l3时，导线 ac 中的电流是多大？方向如何？解析：MN 滑动的距离为l3时，设它与 bc 的接触点为 P，等效电路图如图所示由几何关系可知 MP 长度为l3，MP 中的感应电动势 E13BlvMP 段的电阻 r13
13、RMacP 和 MbP 两电路的并联电阻为r 并13231323R29R，由欧姆定律得知 PM 中的电流 IErr并ac 中的电流 Iac23I，解得 Iac2Blv5R根据右手定则，MP 中的感应电流的方向由 P 流向 M，所以电流Iac 的方向由 a 流向 c.答案：2Blv5R 由 a 流向 c电磁感应图象问题分析1图象问题的特点考查方式比较灵活，有时根据电磁感应现象发生的过程，确定图象的正确与否，有时依据不同的图象，进行综合计算2解题关键弄清初始条件，正、负方向的对应，变化范围，所研究物理量的函数表达式，进出磁场的转折点是解决问题的关键3解决图象问题的一般步骤(1)明确图象的种类，即是
14、B-t图还是t图，或者E-t图、I-t图等(2)分析电磁感应的具体过程(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿定律等规律写出函数关系式(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等(6)画图象或判断图象对图象的理解，应做到“四明确一理解”：(1)明确图象所描述的物理意义；明确各种“”、“”的含义；明确斜率的含义；明确图象和电磁感应过程之间的对应关系(2)理解三个相似关系及其各自的物理意义：vvvt，BBBt，t.vt、Bt、t 分别反映了 v、B、变化的快慢例2 一矩形线圈位于一随时间t变化的磁场内，磁场方向垂直线圈所在的平面(纸面)
15、向里，如图甲所示磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示以I表示线圈中的感应电流，以图甲中线圈上箭头所示方向的电流为正，则图丙所示的It图中正确的是()思路点拨 先由楞次定律判定感应电流的方向，再根据法拉第电磁感应定律确定感应电动势和感应电流的大小情况自主解答 由图乙可知，在 01 s 的时间内，磁感应强度均匀增大，由楞次定律判断出感应电流的方向为逆时针方向，和图甲中所示电流方向相反，所以为负值，B 选项和 C 选项都错误；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势大小 Et BSt，IERBStR为一定值，在 2 s3 s 和 4 s5 s 时间内，磁感应强度不变，磁通量不变化，无感应电流生成，D
16、选项错，所以 A 选项正确.答案 A电磁感应图象问题，也与其他部分的图象问题一样，要从图象的坐标轴、点、线、截距、斜率、面积等方面挖掘解题信息不同的是，这部分的图象问题，除从图象挖掘信息之外，还要用楞次定律、法拉第电磁感应定律、右手定则、左手定则等加以分析判断.2(2010年高考上海单科)如右图，一有界区域内，存在着磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于光滑水平桌面向下和向上的匀强磁场，磁场宽度均为L.边长为L的正方形线框abcd的bc 边紧靠磁场边缘置于桌面上使线框从静止开始 沿x轴正方向匀加速通过磁场区域，若以逆时针方向为电流的正方向，能反映线框中感应电流变化规律的是图()解析：线框做匀加速
17、直线运动，则有 vat，v 2ax；由欧姆定律可得电流 IBLvR BLatR BL2axR，据此可知 A、C 两项正确，B、D 两项错误答案：AC 电磁感应中的动力学问题分析1两种状态处理(1)导体处于平衡态静止或匀速直线运动状态处理方法：根据平衡条件合外力等于零，列式分析(2)导体处于非平衡态加速度不为零处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析2电磁感应问题中两大研究对象及其相互制约关系 3电磁感应中的动力学临界问题(1)解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度求最大值或最小值的条件4两种常见类型 当导体切割磁感线运动存在着临界条件时：(
18、1)导体初速度等于临界速度时，导体匀速切割磁感线运动(2)初速度大于临界速度时，导体先减速，后匀速运动(3)初速度小于临界速度时，导体先加速，后匀速运动例3 如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；(2)在加速下滑过
19、程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值思路点拨 杆ab由静止开始加速下滑，由于电磁感应现象，杆受到随速度增大而增大的安培力，方向沿斜面向上，当安培力大小等于重力沿斜面向下的分力时，杆ab速度达最大值自主解答(1)如图所示，杆 ab 受：重力 mg，竖直向下；支持力 FN，垂直于斜面向上；安培力 F，沿斜面向上(2)当 ab 杆速度 为 v 时，感应电动势EBLv，此时电路中电流 IERBLvRab 杆受到安培力 FBILB2L2vR根据牛顿运动定律，有mamgsin Fmgsin B2L2vRagsin B2L2v
20、mR.(3)当 a0 时，ab 杆有最大速度：vmmgRsin B2L2.答案(1)如自主解答图所示(2)BLvR gsin B2L2vmR (3)mgRsin B2L23均匀导线制成的单位正方形闭合线框abcd，每边长为L，总电阻为R，总质量为m，将其置于磁感强度为B的水平匀强磁场上方h处，如图所示线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行当cd边刚进入磁场时，求：(1)求线框中产生的感应电动势大小；(2)求cd两点间的电势差大小；(3)若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度h所应满足的条件解析：(1)cd 边刚进入磁场时，线框速度 v 2gh线框中产
21、生的感应电动势EBLvBL 2gh.(2)此时线框中电流 IERcd 两点间的电势差UI(34R)34BL 2gh.(3)安培力 FBILB2L2 2ghR根据牛顿第二定律 mgFma，由 a0解得下落高度满足 hm2gR22B4L4.答案：(1)BL 2gh(2)34BL 2gh(3)hm2gR22B4L4 电磁感应中的能量问题1电磁感应中的能量转化特点外力克服安培力做功，把机械能或其他能量转化成电能；感应电流通过电路做功又把电能转化成其他形式的能(如内能)这一功能转化途径可表示为：其他形式能-外力克服安培力做功 电能-电流做功其他形式能如内能2电能求解思路主要有三种(1)利用克服安培力求解
22、：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功(2)利用能量守恒求解：其他形式的能的减少量等于产生的电能(3)利用电路特征来求解：通过电路中所产生的电能来计算在利用能的转化和守恒定律解决电磁感应的问题时，要注意分析安培力做功的情况，因为安培力的功是电能和其他形式的能之间相互转化的“桥梁”简单表示如下：电能其他形式能例 4(2012 年镇江模拟)如图所示，一根电阻为 R12 的电阻丝做成一个半径为 r1 m 的圆形导线框，竖直放置在水平匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直，磁感应强度为B 0.2 T，现有一根质量为 m0.1 kg、电阻不计的导体棒，自圆形导线框最高点静止起沿线框下落，在下落过程中始
23、终与线框良好接触，已知下落距离为r2时，棒的速度大小为 v183 m/s，下落到经过圆心时棒的速度大小为 v2103m/s，(取 g10 m/s2)试求：(1)下落距离为 r/2 时棒的加速度的大小；(2)从开始下落到经过圆心的过程中线框中产生的热量思路点拨 解答本题可按以下思路进行：(1)利用电路知识确定导体棒在r2处的电流和安培力大小(2)用牛顿第二定律求加速度(3)运用能量守恒定律求线框中产生的焦耳热自主解答(1)棒下落距离为r2时，由几何知识得MON120，MN 3r，两段弧的阻值分别为R3、23R，电路中的总电阻 R 总R323RR29R83 此时棒内的电流 I ER总B 3rv1R
24、总安培力 FBILB2 3r2v1R总0.12 N由牛顿第二定律有 mgFma即 agFm8.8 m/s2.(2)由能量守恒知，导体棒重力势能的减少量等于回路中的焦耳热与棒动能之和，故有mgrQ12mv22Qmgr12mv220.44 J.答案(1)8.8 m/s2(2)0.44 J4如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1 m，导轨平面与水平面成37角，下端连接阻值为R的电阻匀强磁场方向与导轨平面垂直，质量为0.2 kg、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，他们之间的动摩擦因数为0.25.(1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；(2)
25、当金属棒的下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8 W，求该速度的大小解析：(1)开始下滑时，速度为零，安培力为零由受力分析知：ag(sin cos)4 m/s2.(2)金属棒下滑达到稳定时，合力为零，设速度为 vm.解法一 据功能关系，电磁感应中产生的电能等于克服安培力做的功(即电功率等于安培力做功的功率)：PFvm由平衡条件知：Fmgsin mgcos 由得：vmPmgsin cos 10 m/s解法二 据焦耳定律，QI2Rt，则有：PI2R由电路分析知：IBlvmR FBIlB2l2vmR由得：PB2l2v2mRB2l2vmRvmFvmvmPF10 m/s.解法三 据能的转化与守恒，金属
26、棒稳定下滑时，重力势能的减少转化为摩擦内能及电热内能它们相应的功率转化关系为 PGPFfPmgvmsin mgcos vmPvmPmgsin cos 10 m/s.答案：(1)4 m/s2(2)10 m/s1.(2011年高考海南单科)如图，EOF和EOF为空间一匀强磁场的边界，其中EOEO，FOFO，且EOOF；OO为EOF的角平分线，OO间的距离为l；磁场方向垂直于纸面里一边长为l的正方形导线框沿OO方向匀速通过磁场，t0时刻恰好位于图示位置规定导线框中感应电流沿逆时针方向时为正，则感应电流i与时间t的关系图线可能正确的是()解析：当线框左边进入磁场时，线框上的电流方向为逆时针，直至线框右
27、边完全进入磁场；当右边一半进入磁场，左边一半开始出磁场，此后线圈中的电流方向为顺时针当线框左边进入磁场时，切割磁感线的有效长度均匀增加，故感应电动势、感应电流均匀增加，当左边完全进入磁场，右边还没有进入时，感应电动势、感应电流达最大，且直到右边将要进入磁场这一段时间内均不变，当右边进入磁场时，左边开始出磁场，这时切割磁感线的有效长度均匀减小，感应电动势、感应电流均减小，且左、右两边在磁场中长度相等时为零，之后再反向均匀增加至左边完全出来，到右边到达左边界时电流最大且不变，直到再次减小，故B正确答案：B2(2011年高考山东理综)如图甲所示，两固定的竖直光滑金属导轨足够长且电阻不计两质量、长度均
28、相同的导体棒c、d，置于边界水平的匀强磁场上方同一高度h处磁场宽为3h，方向与导轨平面垂直先由静止释放c，c刚进入磁场即匀速运动，此时再由静止释放d，两导体棒与导轨始终保持良好接触用ac表示c的加速度，Ekd表示d的动能，xc、xd分别表示c、d相对释放点的位移图乙中正确的是()解析：c棒下落h过程为自由落体运动，ag.设进入磁场瞬间速度为v，则由匀速运动有F安mgBIL B2L2vR，a0.此时释放d棒，在d棒自由下落h的过程中，c棒在磁场中下落2h，此过程c一直做匀速运动，a0.当d棒进入磁场后，c、d两棒运动速度相同，穿过闭合回路磁通量不变，无感应电流，无安培力，二者都做匀加速直线运动共
29、同下落h后，此时c棒离开磁场，d棒进入磁场h的距离，此时c、d的速度都是v(vv)，d此时切割磁感线，产生感应电动势EBLv，F安BILBBLvRLF安mg，d棒做减速运动，d棒离开磁场后c、d两棒均以加速度ag做匀加速运动，故选项B、D正确答案：BD3.(2011年高考福建理综)如图，足够长的U型光滑金属导轨平面与水平面成角(090)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电量为q时，棒的速度大小为v，则金属棒ab在这一过程中()A运
30、动的平均速度大小为12vB下滑的位移大小为qRBLC产生的焦耳热为qBLvD受到的最大安培力大小为B2L2vRsin 解析：对棒受力分析如图所示F安BIL B2L2vR，故D错；F安随棒的速度的增大而增大，故棒做的不是匀加速直线运动因此运动的平均速度 v 12 v，A错；由qnR总 可得：qBLxR，故棒下滑的位移xqRBL，B正确；求焦耳热应该用有效值，故C错答案：B4.如图所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释放导体棒进入磁场后，流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为I.整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻求：(1)磁感应强度的大小B；(2)电流稳定后，导体棒运动速度的大小v；(3)流经电流表电流的最大值Im.解析：(1)电流稳定后，导体棒做匀速运动，则有BILmg解得BmgIL.(2)感应电动势EBLv感应电流IER由式解得vI2Rmg.(3)由题意知，导体棒刚进入磁场时的速度最大，设为vm由机械能守恒定律得12mv2mmgh感应电动势的最大值EmBLvm，感应电流的最大值ImEmR解得Immg 2ghIR.答案：(1)BmgIL (2)I2Rmg(3)mg 2ghIR
