1、圆锥曲线中的证明与存在性问题建议用时：45分钟1(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：2|.证明(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点P在C上，所以m，从而P，|.于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|
2、.2(2019福州模拟)设抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，直线xp与E交于A，B两点，ABF的面积为8.(1)求E的方程；(2)若M，N是E上的两个动点，|MF|NF|8，试问：是否存在定点S，使得|SM|SN|？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由解(1)依题意得F.由得yp，不妨设A(p，p)，B(p，p)，则|AB|2p .又F到直线AB的距离为，所以SABF2pp2.依题意得，p28，解得p4，所以E的方程为y28x.(2)法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为C(x0，y0)，则x0，y0.由抛物线的定义，得|MF|NF|x12x22，因为|MF|NF
3、|8，所以x1x24，所以x02.当x1x2时，y1y20，kMN，线段MN的垂直平分线为yy0(x2)，即y(x6)，所以线段MN的垂直平分线恒过定点S(6,0)；当x1x2时，线段MN的垂直平分线为x轴，它也过点S(6,0)综上，存在定点S(6,0)，使得|SM|SN|.法二：假设存在定点S，使得对E上满足条件的动点M，N恒有|SM|SN|，由对称性可知，点S必在x轴上，故可设S(t,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由抛物线的定义，得|MF|NF|x12x22，因为|MF|NF|8，所以x1x24，由|SM|SN|，得，所以(x1t)28x1(x2t)28x2，即(x1x2)(82
4、t)(x1x2)0，所以(6t)(x1x2)0，因为对满足条件的任意M，N恒成立，所以t6.故存在定点S(6,0)，使得|SM|SN|.法三：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为C(x0，y0)由抛物线的定义，得|MF|NF|x12x22，因为|MF|NF|8，所以x1x24，故x02.当直线MN的斜率存在时，可设其方程为ykxb(k0)，由得ky28y8b0.6432kb，令0，得kb0)分别相交于A，B两点，且OAOB.(1)求抛物线C的方程；(2)试问：在x轴的正半轴上是否存在一点D，使得ABD的外心在抛物线C上？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设A(x1
5、，y1)，B(x2，y2)，由题意知，联立得x22px8p0，则x1x22p，x1x28p，从而y1y2(x14)(x24)x1x24(x1x2)16.OAOB，x1x2y1y22x1x24(x1x2)160，即16p8p160，解得p2，故抛物线C的方程为x24y.(2)设线段AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知，x02，y0x046，则线段AB的中垂线方程为y6(x2)，即yx8.联立得x24x320，解得x8或x4，从而ABD的外心P的坐标为(4,4)或(8,16)假设存在点D(m,0)(m0)，若点P的坐标为(4,4)，|AB|4，|PA|4，则|DP|4.m0，m44.若点P的坐标为(8,16)，则|PA|4，|DP|4，则点P的坐标不可能为(8,16)故在x轴的正半轴上存在一点D(44，0)，使得ABD的外心在抛物线C上
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