1、溧阳市埭头中学2006年数学模拟考试一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 的值为（ ）ABCD2对于的一切值，恒成立的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3函数，则实数的取值范围是（ ）A（1,2）BC D4函数，给出下列四个命题：函数在区间上是减函数；直线是函数的图象的一条对称；函数的图象可以由函数的图象向左平移而得到。其中正确的是（ ）A B C D5已知一个平面与正方体的12条棱所成的角都等于的值为（ ）A BCD6已知成等差数列，成等比数列，且，则的取值范围是（ ）ABCD7已知
2、向量且则所在直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8设F1、F2为椭圆的两个焦点，A为椭圆上的点，且，则椭圆的离心率为（ ）AB CD9数列前n项的和为，如果，那么（ ）A B C D以上都不正确10在ABC中，,则ABC的形状一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形11，则的值为（ ）A3B3C2 D212定义在R上的函数y=，在上是增函数，且函数是偶函数，当，且时，有（ ）AB C D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.13已知的展开式中二项式系数之和为512，且展开式中的系数为9，则常数a的值为 .14
3、已知球O的一个截面的面积为, 球心O到这个截面的距离为1, 则该球的体积为 15已知实数满足不等式组那么目标函数的最大值是 .16曲线为参数）,如果曲线C与直线有公共点，那么实数a的取值范围是 .17抛一枚均匀硬币，正、反每面出现的概率都是，反复这样的投掷. 数列定义如下：若，则事件“”的概率为 ，事件“”的概率为 .18 对于各数互不相等的整数数组 (n是不小于2的正整数)，如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”。例如，数组(2,4,3,1)中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”，“3,1”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正整数
4、数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是_.三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19(本小题12分)已知函数。（）求函数的极值； （）若对任意的都有，求实数a的取值范围.20(本小题满分12分)某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂.质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格.已知某盒A产品中有2件次品.求：(1) 该盒产品被检验合格的概率；(2)若对该盒产品分别进行两次检验，则两次检验得出的结果不一致的概率.21（本小题满分14分）已知直四棱柱A
5、BCDA1B1C1D1的底面是菱形，且，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点. （1）求证：直线MF/平面ABCD； （2）求证：平面AFC1平面ACC1A1； （3）求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小.22（本小题满分14分）已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线C过点 （1）求双曲线C的方程； （2）设双曲线C的实轴左顶点为A，右焦点为F，在第一象限内任取双曲线C上一点P，试问是否存在常数，使得恒成立？并证明你的结论.23（本小题满分14分）设函数对任意都有. 求的值； 若数列满足，求数列的通项公式；若，证明：参考答案1. D 2. B 3. B
6、 4. B 5. C 6. C 7. A 8. D 9. C 10. B11.A 12.A.13. 16 4 14. 15. 16. 1318.解：(1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为种， 1分 其中次品数不超过1件的有种， 2分 被检验认为是合格的概率为 4分 =. 6分 (2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验， 7分 因两次检验得出该盒产品合格的概率均为， 故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为 10分 =. 11分答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为.19. 本小题满分14分解法一：（）延长C1F交CB的
7、延长线于点N，连结AN.因为F是BB1的中点，所以F为C1N的中点，B为CN的中点.1分又M是线段AC1的中点，故MF/AN.3分4分（）证明：连BD，由直四棱柱ABCDA1B1C1D1可知：平面ABCD, 又BD平面ABCD， 四边形ABCD为菱形，6分在四边形DANB中，DABN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形.故NABD，平面ACC1A1. ACC1A1. 8分（）由（）知BDACC1A1，又AC1 ACC1A1， BDAC1，BD/NA，AC1NA. 又由BDAC可知NAAC，C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角.10分在RtC1AC中，11分故C
8、1AC=30.平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30或150.12分（说明：求对一个角即给满分）21.解：（I） 解得当x变化时，的变化情况如下：x1+00+增函数极大值减函数极小值增函数 当x=-1时，取得极大值为； 当时，取得极小值为。6分 （II）设 8分 若9分 若 满足题意。13分 综上所述a的取值范围为14分22. 解：（1）由题意设双曲线方程为，把代入得.又双曲线的焦点是（2，0），由、得. 所以所求双曲线方程为 （2）假设存在适合题意的常数 此时F（2，0），A（1，0）.先来考查特殊情形下的值：当PF轴时，将代入双曲线方程，解得因为|AF|=3，所以PFA是等腰直角三角形.PFA=90，PAF=45，此时=2.以下证明当PF与轴不垂直时，PFA=2PAF恒成立. 设P（x1，），由于点P在第一象限内， 所以直线PA斜率也存在，为 因为PF与轴不垂直，所以直线PF斜率也存在，因为，所以，将其代入上式并化简得： 因为即因为，所以所以恒成立.综合、的：存在常数，使得对位于双曲线C在第一象限内的任意一点P，恒成立.23
