1、第二章平面解析几何2.1坐标法课后篇巩固提升必备知识基础练1.数轴上的三点M,N,P的坐标分别为3,-1,-5,则MP+PN等于()A.-4B.4C.12D.-12答案A解析MP+PN=MN=-1-3=-4.2.数轴上点P(x),A(-8),B(-4),若|PA|=2|PB|,则x等于()A.0B.-163C.163D.0或-163答案D解析因为|PA|=2|PB|,所以|x+8|=2|x+4|,解得x=0或-163.3.点P(2,-1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为()A.(1,5)B.(4,9)C.(5,3)D.(9,4)答案B解析设点Q的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得3=2+
2、x2,4=-1+y2,所以x=4,y=9,故点Q的坐标为(4,9).4.已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点不是()A.(9,-4)B.(1,8)C.(-3,0)D.(1,-3)答案D解析设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论.(1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有3+52=-1+x2,-2+22=4+y2,解得x=9,y=-4,即(9,-4);(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);(3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选D.5.在数轴上有点
3、A(1),若点A负向移动3个单位长度到达点B,则AB=.向量AB与以B为起点,终点坐标为的向量是相等向量.答案-3-5解析由于A(1)负向移动3个单位长度到达B点,所以B点坐标为-2,则向量AB的坐标为-3,若以B为起点的向量为-3,则终点坐标应为-5.6.已知A,B,C三点在数轴上,且点B的坐标为3,|AB|=5,|AC|=2,则点C的坐标为.答案-4或0或6或10解析由题意,设A,C的坐标分别为xA,xC,则|AB|=3-xA=5或|AB|=xA-3=5,xA=-2或xA=8,|AC|=xC-xA=xC-(-2)=2,或|AC|=xC-xA=xC-8=2,或|AC|=xA-xC=-2-xC
4、=2,或|AC|=xA-xC=8-xC=2,解得xC=0或xC=10或xC=-4或xC=6.7.已知四边形ABCD的顶点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),E,F分别为边AB,BC的中点,求CE,DE,AF,DF的长度.解设线段AB的中点为E(x,y),则x=-4+22=-1,y=3+52=4,则|CE|=(-1-6)2+(4-3)2=52,|DE|=-1-(-3)2+(4-0)2=25.即CE,DE的长度分别为52,25.设线段BC的中点为F(m,n),则m=2+62=4,n=5+32=4,则|AF|=4-(-4)2+(4-3)2=65,|DF|=4-(-3)2+(4
5、-0)2=65,即AF,DF的长度都为65.8.如图所示,ABD和BCE是在直线AC同一侧的两个等边三角形,求证:|AE|=|CD|.证明以B为原点,以直线AC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设ABD和BCE的边长分别为a,c,则有A(-a,0),C(c,0),D-a2,32a,Ec2,32c.于是|AE|=c2+a2+32c-02=c24+ac+a2+34c2=a2+ac+c2,|CD|=c+a22+0-32a2=c2+ac+a24+34a2=a2+ac+c2,所以|AE|=|CD|.关键能力提升练9.当数轴上的三个点A,B,O互不重合时,它们的位置关系共有六种情况,其中使AB=OB-O
6、A和|AB|=|OB|-|OA|同时成立的情况有()A.1种B.2种C.3种D.4种答案B解析AB=OB-OA恒成立,而要使|AB|=|OB|-|OA|成立,则点A应在点O和点B中间,共有2种可能.10.某县位于山区,居民的居住区域大致呈如图所示的五边形,近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成,若AB=60 km,AE=CD=30 km,为了解决当地人民看电视难的问题,准备建一个电视转播台,理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小,图中P1,P2,P3,P4是AC的五等分点,则转播台应建在()A.P1处B.P2处C.P3处D.P4处答案A解析以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则
7、P4(6,6),P3(12,12),P2(18,18),P1(24,24).设转播台的坐标为P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2=x2+y2+(x-60)2+y2+(x-30)2+(y-30)2+(x-30)2+(y-60)2+x2+(y-30)2=5x2-(120+120)x+5y2-(120+120)y+2602+4302,故当x=24,且y=24时,|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2最小,故P应在P1处.11.使得|x-3|+|x+1|a恒成立的a的取值范围为.答案(-,4解析设函数y=|x-3|+|x+1|,因为函数y=|x
8、-3|+|x+1|的最小值为4,即y4,所以使|x-3|+|x+1|a恒成立a的取值范围为(-,4.12.已知x,y(0,1),则x2+y2+x2+(y-1)2+(x-1)2+y2+(x-1)2+(y-1)2的最小值是.答案22解析x,y(0,1),x2+y2+x2+(y-1)2+(x-1)2+y2+(x-1)2+(y-1)2表示以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内部的动点(x,y)到四个顶点距离的和,根据两点之间线段最短,可得当(x,y)为正方形对角线的交点,即x=y=12时,x2+y2+x2+(y-1)2+(x-1)2+y2+(x-1)2+(y-1)2的最小值为
9、22.13.已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,-2),(3,1),(0,2),求这个平行四边形第四个顶点的坐标.解设A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),第四个顶点D的坐标为(x,y),(1)若四边形ABCD是平行四边形,则由中点坐标公式得x+32=-1+02,y+12=-2+22,解得x=-4,y=-1,点D的坐标为(-4,-1);(2)若四边形ABDC是平行四边形,则由中点坐标公式得x-12=3+02,y-22=1+22,解得x=4,y=5,点D的坐标为(4,5);(3)若四边形ACBD是平行四边形,则由中点坐标公式得-1+32=x+02,-2+12=y+22,解得x=2
10、,y=-3,点D的坐标为(2,-3).综上所述,满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(-4,-1)或(4,5)或(2,-3).14.用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.证明以线段BC的中点为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(a,b),C(c,0)(c0),则B(-c,0).线段AB的中点E的坐标是a-c2,b2.线段AC的中点F的坐标是a+c2,b2,则|EF|=a-c2-a+c22+b2-b22=c.因为|BC|=2c,所以|EF|=12|BC|.又E,F的纵坐标相同,所以EFBC.综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
11、15.河流的一侧有A,B两个村庄,如图所示,计划在河上共建一座水电站给两村供电.已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m,且两村相距500 m.为了使水电站到两村的距离之和最小,水电站P应建在什么位置?解如图所示,以河边所在直线为x轴,以AC为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,300),B(400,600).设A关于x轴的对称点为A,则A(0,-300),连接AB交OD于点P,此时|PA|+|PB|最小.设|OP|=x,则由OAPDBP,得x400-x=300600.解得x=4003,故水电站P应建在C,D之间距离点C4003m的地方.学科素养拔高练16.已知点A(-1,2)
12、,B(1,3),在直线y=2x上求一点P,使|PA|2+|PB|2取得最小值,并写出P点坐标.解设P点的坐标为(x,y),由于点P在直线y=2x上,所以y=2x.|PA|=(x+1)2+(y-2)2=(x+1)2+(2x-2)2=x2+2x+1+4x2-8x+4=5x2-6x+5,|PB|=(x-1)2+(y-3)2=(x-1)2+(2x-3)2=x2-2x+1+4x2-12x+9=5x2-14x+10,所以|PA|2+|PB|2=5x2-6x+5+5x2-14x+10=10x2-20x+15=10(x-1)2+5,因此,当x=1时,|PA|2+|PB|2取得最小值为5,y=21=2,所以所求
13、P点的坐标为(1,2).17.如图所示,在ABC中,C=90,P为三角形内一点,且SPAB=SPBC=SPCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2.证明如图所示,以CA所在的直线为x轴,点C为原点建立平面直角坐标系,设C(0,0),A(3a,0),B(0,3b),P(x,y).SPCA=SPCB=SPAB,SPCA=13SABC.即123ay=13123a3b,y=b.又SPBC=13SABC,即123bx=13123a3b,x=a.适合条件的点P的坐标为(a,b).此时,|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2,|PB|2=(3b-b)2+a2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2,|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2,结论成立.