1、2017年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1已知集合A=x|y=lg（x+1），B=x|x|2，则AB=（）A（2，0）B（0，2）C（1，2）D（2，1）2已知zi=2i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）3已知Sn是等差数列an的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A66B55C44D334已知=（1，cos），=（sin，1），0，若，则=（）ABCD5函数的图象大致为（）ABCD6已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在1，1上随机选取
2、一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）ABCD7执行如图框图，已知输出的s0，4，若输入的tm，n，则实数nm的最大值为（A1B2C3D48某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A6+1BCD9已知D=，给出下列四个命题：P1：（x，y）D，x+y+10；P2：（x，y）D，2xy+20；P3：（x，y）D，4；P4：（x，y）D，x2+y22其中真命题的是（）AP1，P2BP2，P3CP2，P4DP3，P410已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为，则|AB|=（）A6B8C12D1611已知函数f（x
3、）=sinxcosx（0），若方程f（x）=1在（0，）上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（）A（，B（，C（，D（，12设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）ABCD二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13已知，若，则实数t=14已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为15已知三棱锥ABCD中，BCCD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为16已知数列an中，则其前n项和Sn=三、解答题17已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，bc（
4、1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A18某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵某汽车经销商推出A、B、C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，
5、求X的分布列与期望19如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且DF=2BE=2，EF=3（1）证明：平面ACF平面BEFD（2）若二面角AEFC是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值20已知椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l
6、的方程，若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=2lnx+ax（aR）在x=2处的切线经过点（4，2ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围四、解答题（共1小题，满分10分）22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（其中为参数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：=（0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围五、解答题（共1小题，满分0分）23已知函数（1）若不等式f（x）f（x+m）1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a时，函
7、数g（x）=f（x）+|2x1|有零点，求实数a的取值范围2017年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1已知集合A=x|y=lg（x+1），B=x|x|2，则AB=（）A（2，0）B（0，2）C（1，2）D（2，1）【考点】交集及其运算【分析】求解对数型函数的定义域化简集合A，然后直接利用交集运算求解【解答】解：由x+10，得x1A=（1，+），B=x|x|2=（2，2）AB=（1，2）故选：C2已知zi=2i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）【考点】复数代数形式的乘除运算【分
8、析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为a+bi的形式，从而求得z对应的点的坐标【解答】解：zi=2i，z=12i，复数z在复平面对应点的坐标是（1，2），故选：A3已知Sn是等差数列an的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A66B55C44D33【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列等差数列通项公式求出a1+5d=3即a6=3，由此能求出S11的值【解答】解：Sn是等差数列an的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，2（a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得a1+5d=3
9、a6=3，S11=11a6=33故选：D4已知=（1，cos），=（sin，1），0，若，则=（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，结合同角的商数关系，以及特殊角的三角函数值，即可得到所求值【解答】解： =（1，cos），=（sin，1），若，可得=sin+cos=0，即有tan=1，由0，可得=故选：B5函数的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的变化趋势【解答】解：f（x）=f（x），函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x=时，f（）=故选：D6已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（
10、x+2），在1，1上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据圆心到直线l的距离dr，列出不等式求出k的取值范围，利用几何概型的概率计算即可【解答】解：圆C：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为r=1；且圆心到直线l：y=k（x+2）的距离为d=，直线l与圆C相离时dr，1，解得k或k，故所求的概率为P=故选：C7执行如图框图，已知输出的s0，4，若输入的tm，n，则实数nm的最大值为（A1B2C3D4【考点】程序框图【分析】根据流程图所示的顺序知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件t的取值范围得分段函数的分类标准，由已知分
11、类讨论即可得解【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s0，4，当m=0时，n2，4，nm2，4，当n=4时，m0，2，nm2，4，所以实数nm的最大值为4故选：D8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A6+1BCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，即可求出该几何体的表面积【解答】解：由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为212+12+1=，故选D9已知D=，给出下列四个命题：P1：（x，y）D，x+y+10；P2：（x，y）D，2xy+20；P3：（x，y）
12、D，4；P4：（x，y）D，x2+y22其中真命题的是（）AP1，P2BP2，P3CP2，P4DP3，P4【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】画出约束条件不是的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可【解答】解：不等式组的可行域如图，p1：A（2，0）点，2+0+1=1，故（x，y）D，x+y0为假命题； p2：A（1，3）点，23+2=3，故（x，y）D，2xy+20为真命题；p3：C（0，2）点， =3，故（x，y）D，4为假命题； p4：（1，1）点，x2+y2=2故（x，y）D，x2+y22为真命题可得选项p2，p4正确故选：C10已知抛物线y2=4x的焦
13、点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为，则|AB|=（）A6B8C12D16【考点】抛物线的简单性质【分析】设出直线方程，求出A，B两点的纵坐标的差，利用AOB的面积求出直线的斜率，然后求解|AB|，【解答】解：抛物线y2=4x焦点为F（1，0），设过焦点F的直线为：y=k（x1），由可得y2y4=0，yA+yB=，yAyB=4，|yAyB|=AOB的面积为，可得： |yAyB|=，解得k=|AB|=，|yAyB|=故选：A11已知函数f（x）=sinxcosx（0），若方程f（x）=1在（0，）上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（）A（，B（，C
14、（，D（，【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】化简f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=1与y=f（x）在（0，+）上的交点坐标，则介于第4和第5个交点横坐标之间【解答】解：f（x）=2sin（x），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（x）=1得x=+2k，或x=+2k，x=+，或x=+，kZ，设直线y=1与y=f（x）在（0，+）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA=，xB=，方程f（x）=1在（0，）上有且只有四个实数根，xAxB，即，解得故选B12设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则
15、实数b的最大值为（）ABCD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设y=f（x）与y=g（x）（x0）在公共点（x0，y0）处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率最后利用两直线重合列出等式即可求得b值，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得【解答】解：设y=f（x）与y=g（x）（x0）在公共点P（x0，y0）处的切线相同、f（x）=3x2a，g（x）=，由题意f（x0）=g（x0），f（x0）=g（x0），即x022ax0=a2lnx0+b，3x02a=由3x
16、02a=得x0=a或x0=a（舍去），即有b=a22a2a2lna=a2a2lna令h（t）=t2t2lnt（t0），则h（t）=2t（1+lnt），于是当2t（1+lnt）0，即0t时，h（t）0；当2t（1+lnt）0，即t时，h（t）0故h（t）在（0，）为增函数，在（，+）为减函数，于是h（t）在（0，+）的最大值为h（）=，故b的最大值为故选A二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13已知，若，则实数t=1【考点】平面向量的坐标运算【分析】根据题意，由向量、的坐标，计算可得+与的坐标，又由，则有（1+t）（2）=（1t）0=0，即可得t的值，即可得答案【解答】解：根据题意，则
17、+=（1+t，0），=（1t，2），若，则有（1+t）（2）=（1t）0=0，解可得t=1；故答案为：114已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为x2=1【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为x2=m，又由其过点，将点的坐标代入方程计算可得m的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则可以设其方程为x2=m，（m0），又由其经过点，则有1=m，解可得m=1，则其方程为：x2=1，其标准方程为：x2=1，故答案为：x2=115已知三棱锥ABCD中，BCCD
18、，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为【考点】球的体积和表面积；球内接多面体【分析】证明ABD是直角三角形取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1，即O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，可得球的体积【解答】解：BCCD，BC=1，CD=，DB=2又因为AB=AD=，ABD是直角三角形取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，该三棱锥外接球的体积为，故答案为：16已知数列an中，则其前n项和Sn=2n+24【考点】数列的求和【分析】数列an中，可得：a2=0，n2时，an=2an1+3n4，作差可得an+1an=2an
19、2an1+3，化为an+1an+3=2（anan1+3），利用等比数列的通项公式可得anan1+3，利用“累加求和”方法可得an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1再利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出【解答】解：数列an中，a2=0，n2时，an=2an1+3n4，an+1an=2an2an1+3，化为an+1an+3=2（anan1+3），a2a1+3=2数列anan1+3是等比数列，首项为2，公比为2anan1+3=2n，即anan1=2n3an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2n3+2n13+2231=3（n1）1=2n+13n2Sn=32
20、n=2n+24故答案为：2n+24三、解答题17已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，bc（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由正弦定理和正弦函数的性质，即可证明A=2B成立；（2）由余弦定理和正弦、余弦函数的性质，化简求值即可【解答】解：（1）证明：ABC中，a=2bcosB，由，得sinA=2sinBcosB=sin2B，0A，B，sinA=sin2B0，02B，A=2B或A+2B=，若A+2B=，则B=C，b=c这与“bc”矛盾，A+2B；A=2B；（2）a2+c2=b2+2acsin
21、C，由余弦定理得cosB=sinC，0B，C，或，当时，则，这与“bc”矛盾，；当时，由（1）得A=2B，18某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵某汽车经销商推出A、B、C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该
22、汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由题意得：P（A）=0.35，P（B）=0.45，P（C）=0.2，利用对立事件概率计算公式能求出甲乙两人采用不同分期付款方式的概率（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，则X的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（1）由题意得：P（A）=0.35，P（B）=0.45，P（C）=0.2，甲乙两人采用不同分期付款方式的概率：p=1P（A）P（A）+P（B）P（B）+P
23、（C）P（C）=0.635（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，则X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X=2）=P（A）P（A）=0.350.35=0.1225，P（X=3）=P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.350.45+0.450.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（A）=0.350.2+0.450.45+0.20.35=0.3425，P（X=5）=P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.450.2+0.20.45=0.18，P（X=6）=P（C）P（C）=0.20.2=0.04X的分布列为： X 2 3 4
24、 5 6 P 0.1225 0.315 0.3425 0.18 0.04E（X）=0.12252+0.3153+0.34254+0.185+0.046=3.719如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且DF=2BE=2，EF=3（1）证明：平面ACF平面BEFD（2）若二面角AEFC是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）推导出ACBD，BEAC，从而AC平面BEFD，由此能证明平面ACF平面BEFD（2）设AC与BD的交点为O，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利
25、用向量法能求出直线AE与平面ABCD所成角的正切值【解答】证明：（1）四边形ABCD是菱形，ACBD，BE平面ABCD，BEAC，AC平面BEFD，AC平面ACF，平面ACF平面BEFD解：（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得ACBD，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，BE平面ABCD，BEBD，DFBE，DFBD，BD2=EF2（DFBE）2=8，BD=2设OA=a，（a0），由题设得A（a，0，0），C（a，0，0），E（0，），F（0，2），设m=（x，y，z）是平面AEF的法向量，则，取z=2，得=（），设是平面CEF的一个法向量，则，取，得=（，1，2），二面角A
26、EFC是直二面角，=+9=0，解得a=，BE平面ABCD，BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，AB=2，tan直线AE与平面ABCD所成角的正切值为20已知椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由椭圆的左右
27、焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，则直线QM的方程为y=3kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m23）=0，由，得（3+36k2）x224kmx+4（m23）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件，能求出直线l的方程【解答】解：（1）椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，由题意得，解得a2=4，b2=3，椭圆C的方程为（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，M（0，m），N（，0），PM=MN，P（，2m）
28、，Q（），直线QM的方程为y=3kx+m，设A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m23）=0，设B（x2，y2），由，得（3+36k2）x224kmx+4（m23）=0，x2+=，x2=，点N平分线段A1B1，=，k=，P（2m，2m），解得m=，|m|=b=，0，符合题意，直线l的方程为y=21已知函数f（x）=2lnx+ax（aR）在x=2处的切线经过点（4，2ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导，当x=2时，代入f（x），即可求得a=1，求得点斜
29、式方程，将（4，2ln2）代入点斜式方程，即可求得f（2），即可求得函数f（x）的单调区间；（2）由题意可知（2lnx+）m，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性及零点性质，求得（2lnx+）最小值，即可求得实数m的取值范围【解答】解：（1）由f（x）=2lnx+ax（aR），求导f（x）=+a+，当x=2时，f（2）=1+a+f（2），a=1，设切点为（2，2ln2+2a2f（2），则切线方程y（2ln2+2a2f（2）=f（2）（x2），将（4，2ln2）代入切线方程，2ln22ln22a+2f（2）=6f（2），则f（2）=，f（x）=1=0，f（x）在（0，+）单调递减；（2）由不等式
30、恒成立，则（2lnx+）m，令（x）=2lnx+，（x0）求导（x）=1=（1）20，（x）在（0，+）单调递减，由（1）=0，则当0x1时，（x）0，当x1时，（x）0，（2lnx+）在（0，+）恒大于0，m0，实数m的取值范围（，0四、解答题（共1小题，满分10分）22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（其中为参数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：=（0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）求
31、出普通方程，再求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，由（1）得，|OB|2=2=4sin2，即可求|OA|2+|OB|2的取值范围【解答】解：（1），由得曲线C1的极坐标方程为，x2+y22y=0，曲线C2的极坐标方程为=2sin；（2）由（1）得，|OB|2=2=4sin2，11+sin22，|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）五、解答题（共1小题，满分0分）23已知函数（1）若不等式f（x）f（x+m）1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a时，函数g（x）=f（x）+|2x1|有零点，求实数a的取值范围【考点】绝对值三角不等式；函数零点的判定定理【分析】（1）若不等式f（x）f（x+m）1恒成立，利用f（x）f（x+m）=|xa|x+ma|m|，求实数m的最大值；（2）当a时，函数g（x）=f（x）+|2x1|有零点，可得或，即可求实数a的取值范围【解答】解：（1），f（x）f（x+m）=|xa|x+ma|m|，|m|1，1m1，实数m的最大值为1；（2）当时， =，或，实数a的取值范围是2017年4月15日