1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.了解函数的极大值、极小值的概念.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.会用导数求函数的极大值、极小值.4.会根据函数的极值求参数.5.通过利用导数研究函数的极值,增强直观想象、运算求解与逻辑推理的数学素养.自主预习 新知导学一、极值点与极值【问题思考】1.如图,观察函数y=f(x)的图象,f(x)在x轴上的点d,e,f,g,h,i处的函数值与这些点附近的函数值大小关系是什么?y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律?提示:以d,e两点为例,函数y=f(x
2、)在点x=d的函数值f(d)比它在点x=d附近其他点的函数值都小,f(d)=0;而且在点x=d附近的左侧f(x)0.类似地,函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比它在点x=e附近其他点的函数值都大,f(e)=0;而且在点x=e附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.2.填空:(1)极小值点与极小值:若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f(x)0,就把 a 叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值:若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b
3、附近其他点的函数值都大,f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,即函数f(x)在R上是增函数.故0不是函数f(x)=x3的极值点.(2)极大值一定比极小值大吗?提示:极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值可能大于另一点的极大值.4.做一做:函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f(x)在区间(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)上有极小值点()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据极小值的定义,在极小值点的左右两侧,导函数的图象分别在x轴的下方和上方,由题图知,有1个点符合,故选A.答案:A二、函数极值的求法【问题
4、思考】1.函数的极值与函数的单调性有什么联系?提示:极值点两侧函数的单调性相反,欲研究函数的极值,需先研究函数的单调性.2.填空:求函数y=f(x)的极值:解方程f(x)=0,当f(x0)=0时:(1)如果在x0附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.3.做一做:函数f(x)=1+3x-x3有()A.极小值-1,极大值1B.极小值-2,极大值3C.极小值-2,极大值2D.极小值-1,极大值3解析:f(x)=3-3x2,令f(x)=3-3x2=0,解得x=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示
5、.所以,当x=-1时,函数f(x)有极小值-1;当x=1时,函数f(x)有极大值3.答案:Dx(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)函数的极大值一定大于极小值.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)可导函数f(x)在区间(a,b)上一定有极值.()(4)若可导函数f(x)在区间(a,b)上有极值,则方程f(x)=0在区间(a,b)上一定有解.()(5)函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值的充要条件是f(x)=3x2+2ax
6、+b=0有解,即0.()合作探究 释疑解惑探究一求函数的极值令f(x)=0,解得x=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:因此,当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=3,无极大值.x(0,1)1(1,+)f(x)-0+f(x)单调递减3单调递增反思感悟 求解函数的极值和极值点的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求方程f(x)=0的根;(3)用方程f(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列表格;(4)由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.【例2】已知a0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+ln x).
7、求函数f(x)的极值点和极值.若0a0,则函数f(x)单调递增;当x(a,1)时,f(x)0,则函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,所以函数f(x)在定义域(0,+)内单调递增,此时f(x)无极值点,故无极值.若a1,则当x(0,1)时,f(x)0,则函数f(x)单调递增;当x(1,a)时,f(x)0,则函数f(x)单调递增.此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,反思感悟 求含参数函数的极值注意事项(1)分类讨论,根据参数的取值范围,讨论函数的单调性;(2)在某区间上的单调函数不存在极值.【变式训练1】设函数f(x)=x3+a
8、x2-9x的导函数为f(x),且f(2)=15.(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)f(x)=3x2+2ax-9,且f(2)=15,12+4a-9=15,解得a=3.f(x)=x3+3x2-9x,f(x)=3x2+6x-9.f(0)=0,f(0)=-9,函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为y=-9x.(2)令f(x)=0,得x=-3或x=1.当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:因此,当x=-3时,f(x)有极大值27;当x=1时,f(x)有极小值-5.【变式训练2】已知函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-
9、x),其中a0.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.设g(x)=2ax2+ax-a+1.当a=0时,g(x)=1,此时f(x)0,函数f(x)在区间(-1,+)上单调递增,无极值点.当a0,设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1,x2(x10,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x(x2,+)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减.所以函数有一个极值点.综上,当a0)在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0,试确定a,b,c的值.解:函数f(x)的导数f(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b).由题意知,x=1是方程f(x)=0的根,故5a=3b,于是f(x)
10、=5ax2(x2-1).令f(x)=0,解得x=0或x=1或x=-1.已知a0,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)f(x)+0-0-0+f(x)单调递增 极大值 单调递减 无极值 单调递减极小值单调递增已知5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.探究三函数极值的综合应用【例4】已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2.(1)若f(x)在x=1处有极值-1,求b,c的值;(2)在(1)的条件下,若函数y=f(x)的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的交点,求实数k的取值范围.解:(1)f(x)=x3+bx2+cx+2,f(x)=
11、3x2+2bx+c.由已知得f(1)=0,f(1)=-1,经验证,b=1,c=-5符合题意.(2)由(1)知f(x)=x3+x2-5x+2,f(x)=3x2+2x-5.令f(x)=0,解得x=-,或x=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:当x=1时,函数取得极小值,且极小值为f(1)=-1.函数f(x)=x3+x2-5x+2的大致图象如图所示.本例中的条件恰有三个不同的交点变为恰有一个交点,此时实数k的取值范围是什么?反思感悟 1.方程根的问题可以转化为相应函数的图象问题,一般地,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f
12、(x)与g(x)的图象的交点的横坐标.2.事实上利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.【变式训练4】已知a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a.(1)求函数f(x)的极值,并画出其大致图象;(2)当a为何值时,方程f(x)=0恰有两个实数根?解:(1)由f(x)=-x3+3x+a,得f(x)=-3x2+3,令f(x)=0,得x=1或x=-1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示.由表可知函数f(x)的极小值为f(-1)=a-2,极大值
13、为f(1)=a+2.由函数f(x)的单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象,如图所示.x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(x)-0+0-f(x)单调递减 a-2单调递增 a+2 单调递减(2)结合图象,当极大值a+2=0时,极小值a-20,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰有两个实数根,所以a=2满足条件.综上,当a=2时,方程恰有两个实数根.【易错辨析】对函数取极值的充要条件把握不准致错【典例】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求f(2)的值.错解:f(x)=3x2+2ax+b.当a=4,b=-11时,f(2)=18.当a=-
14、3,b=3时,f(2)=11.故f(2)=11或18.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:应注意f(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.如函数f(x)=x3,f(x)=3x2,尽管f(0)=0,但由于f(x)在R上是增函数,故f(x)在x=0处不存在极值.正解:f(x)=3x2+2ax+b.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:显然函数f(x)在x=1处取极小值10,与题意相符,此时f(2)=18.当a=-3,b=3时,f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)20,故f(x)没有极值,与题意不符.因此f(2)=18.
15、防范措施 在根据函数的极值条件求参数的值的问题中,应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验,检验每一组解对应的函数在该点处是否取得极值,从而进行取舍.【变式训练】已知f(x)=x3+ax2+bx+b2,当x=-1时,有极值8,则a+b=.解析:由f(x)=x3+ax2+bx+b2,得f(x)=3x2+2ax+b.当a=3,b=3时,f(x)=3x2+6x+3=3(x+1)20,故f(x)在R上为增函数,从而f(x)无极值,应舍去.随堂练习1.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)()A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点,两个极小值点C.
16、有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点解析:由导数与函数极值的关系知,f(x0)=0,而且在点x0的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x)在x=x0处取得极大值;若在点x0的左侧f(x)0,则f(x)在x=x0处取得极小值,设y=f(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值.答案:C2.若函数f(x)=x3-3x+m的极小值为-1,则函数f(x)的极大值为()A.3B.-1C.D.2解析:函数f(x)=x3-3x+m,则f(x)=3x2-3.令f(x)=0,解得x=-1
17、或x=1.由函数f(x)的单调性,得当x=-1时,f(x)取得极大值;当x=1时,f(x)取得极小值.由题意知f(1)=1-3+m=-1,解得m=1,所以函数的极大值为f(-1)=-1+3+1=3.故选A.答案:A3.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a=.4.设方程x3-3x=k有3个不等的实根,则实数k的取值范围是.解析:设f(x)=x3-3x-k,则f(x)=3x2-3.令f(x)=0,得x=1,由函数f(x)的单调性,得f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值,且f(1)=-2-k,f(-1)=2-k.由题意知f(x)的图象与x轴有3个交点,答案:(-2,2)解:函数f(x)的定义域为R.令f(x)=0,得x=-1或x=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减
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