1、第2讲不等式选讲做高考真题明命题趋向做真题高考怎么考 1(2019高考全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明：(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且abc1，故有a2b2c2abbcca.所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.2(2019高考全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，
2、f(x)0，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1)(2)因为f(a)0，所以a1.当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0.所以，a的取值范围是1，)3(2019高考全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解：(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1
3、)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明：由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.明考情备考如何学 1不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合
4、问题的求解2此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用研考点考向破重点难点考点1 含绝对值不等式的解法典型例题 (2018高考全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围【解】(1)当a1时，f(x)可得f(x)0的解集为x|2x3(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，)规律方法绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对aR，|x|aaxaxa.(2)平方法：两
5、边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解 对点训练1(2019广州市调研测试)已知函数f(x)|xa|(aR)(1)当a2时，解不等式|x|f(x)1；(2)设不等式|x|f(x)x的解集为M，若，M，求实数a的取值范围解：(1)当a2时，不等式可化为|3x1|x2|3，当x时，不等式可化为13x2x3，解得x
6、0，所以x0；当x2时，不等式可化为3x12x3，解得x1，所以1xkxm的解集为(，)，求km的取值范围解：(1)f(x)f(x)|x2|x2|当x2时，2x6，所以x3.综上，x(，33，)(2)令g(x)f(x4)f(x1)|x2|x3|作出g(x)的图象，如图由f(x4)f(x1)kxm的解集为(，)，结合图象可知k0，m5，所以km0.(1)求m的值；(2)若a，bR，ab0，a2b2m2，求证：1.【解】(1)因为m0，所以f(x)|xm|x2m|所以当x2m时，f(x)取得最大值3m，所以3m3，所以m1.(2)证明：由(1)，得a2b21，2ab.因为a2b212ab，当且仅当
7、ab时等号成立，所以0ab.设tab，令h(t)2t，0t，则h(t)在(0，上单调递减，所以h(t)h()1.所以当0ab时，2ab1.所以1.规律方法证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法(2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的(3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛盾对点训练
8、1已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)f(a)f(b)解：(1)由题意，|x1|2x1|1，当x1时，不等式可化为x12x2，解得x1；当1x时，不等式可化为x12x2，此时不等式无解；当x时，不等式可化为x11.综上，Mx|x1(2)证明：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，即证a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0.因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立2已知函数f(x)|2x1|x
9、1|.(1)解不等式f(x)3；(2)记函数g(x)f(x)|x1|，且g(x)的值域为M，若tM，证明t213t.解：(1)依题意，得f(x)所以f(x)3或或解得1x1，即不等式f(x)3的解集为x|1x1(2)证明：g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，当且仅当(2x1)(2x2)0时取等号，所以M3，)t213t，因为tM，所以t30，t210，所以0，所以t213t.考点3 与绝对值不等式有关的取值(范围)问题典型例题 (2019重庆市七校联合考试)已知函数f(x)(aa2)x4，g(x)|x1|x1|.(1)当a时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式
10、f(x)g(x)在1，)上恒成立，求a的取值范围【解】(1)当a时，f(x)x4，在同一坐标系内分别作出f(x)x4，g(x)|x1|x1|的图象，如图所示，由，解得交点A的坐标为(6，2)，所以不等式f(x)g(x)的解集为6，)(2)当x1，)时，g(x)|x1|x1|2，因为不等式f(x)g(x)在1，)上恒成立，所以不等式(aa2)x42在1，)上恒成立，所以不等式aa2在1，)上恒成立，所以aa26，解得a3或a2.规律方法绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为af(x)或af(x)形式(2)转化最值：f(x)a恒成立f(x)mina；f(x)a恒成
11、立f(x)maxa有解f(x)maxa；f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa；f(x)a无解f(x)mina.(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值(4)得结论 对点训练1(2019贵州省适应性考试)已知函数f(x)|x5|x4|.(1)解关于x的不等式f(x)x1；(2)若函数f(x)的最大值为M，设a，b为正实数，且(a1)(b1)M，求ab的最大值解：(1)f(x)|x5|x4|x1等价于或或.解得x10或0x2，求实数x的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(ax)(a1)，若g(x)的最小值为，求a的值解：(1)f(x)2x2，即|x1|22x或x，所以实数x
12、的取值范围是(，)(2)因为a1，所以1，g(x)，易知函数g(x)在(，)上单调递减，在(，)上单调递增，则g(x)ming()1.所以1，解得a2.练典型习题提数学素养1(2019昆明市质量检测)已知函数f(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)f(x1)4；(2)当x0，xR时，证明：f(x)f()4.解：(1)不等式f(x)f(x1)4等价于|2x1|2x1|4，等价于或或，解得x1或x1，所以原不等式的解集是(，11，)(2)证明：当x0，xR时，f(x)f()|2x1|1|，因为|2x1|1|2x|2|x|4，当且仅当，即x1时等号成立，所以f(x)f()4.2(2019武汉市调研
13、测试)已知函数f(x)|2x1|x1|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若直线yxa与yf(x)的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值解：(1)由题意知f(x)，由f(x)3可知：当x1时，3x3，即x1；当x1时，x23，即x1，与x2.易得直线yxa与yf(x)的图象交于C(，)，D(，)两点，则|CD|a，平行线AB与CD间的距离d，|AB|，所以梯形ABCD的面积S(a2)(a2)，即(a2)(a2)12，所以a4，故所求实数a的值为4.3(2019南昌市第一次模拟测试)已知函数f(x)|xm2|x2m3|.(1)求证：f(x)2；(2)若不等式f(2)16恒成立，求实数m的取
14、值范围解：(1)证明：因为f(x)|xm2|x2m3|(xm2)(x2m3)|，所以f(x)|m22m3|(m1)222.(2)由已知，得f(2)m22|2m1|，当m时，f(2)16等价于m22m316，即(m1)214，解得1m1，所以m1；当m时，f(2)16等价于m22m116，解得3m5，所以3m.综上，实数m的取值范围是3，14(2019江西八所重点中学联考)已知不等式|ax1|x3|的解集为x|x1(1)求实数a的值；(2)求的最大值解：(1)|ax1|x3|的解集为x|x1，即(1a2)x2(2a6)x80的解集为x|x1，当1a20时，不符合题意，舍去当1a20，即a1时，x
15、1为方程(2a6)x80的一解，经检验a1不符合题意，舍去，a1符合题意综上，a1.(2)()2162162，当t4时，()2有最大值32.又0，所以的最大值为4.5(2019石家庄市模拟(一)设函数f(x)|1x|x3|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，正实数p，q满足p2qm，求的最小值解：(1)不等式可化为或或，解得x，所以f(x)1的解集为x|x(2)法一：因为|1x|x3|1xx3|4，所以m4，p2q4，所以(p2)2q6，()(p22q)(4)(42)，当且仅当p22q3，即时取“”，所以的最小值为.法二：因为|1x|x3|1xx3|4，所以m4
16、，p2q4，所以p42q，q(0，2)，因为q(0，2)，所以当q时，取得最小值.6(2019成都第一次诊断性检测)已知函数f(x)|2x1|1|.(1)求不等式f(x)30的解集；(2)若关于x的方程f(x)m22m0无实数解，求实数m的取值范围解：(1)由题意，知f(x)|2x1|1|由f(x)30，可得或或，解得x.所以原不等式的解集为(，)(2)由(1)知，函数f(x)的值域为，)若关于x的方程f(x)m22m无实数解，则m22m0，解得2m4；(2)对于任意正数m，n，求使得不等式f(x)2nm恒成立的x的取值集合M.解：(1)当x0时，不等式化为2x1x4，所以x1；当0x4，解得x3，无解；当x1时，不等式化为2xx14，所以x，综上，不等式f(x)4的解集为(，1)(，)(2)因为2mn2mn4，当且仅当mn1时“”成立，所以2|x|x1|4，由(1)知x的取值集合M为1，8(2019沈阳市质量监测(一)设ab0，且ab2，记的最小值为M.(1)求M的值，并写出此时a，b的值；(2)解关于x的不等式：|3x3|x2|M.解：(1)因为ab0，所以ab0，0，根据基本不等式有ab4，当且仅当，即时取等号，所以M的值为4，此时a1，b1.(2)当x1时，原不等式等价于(3x3)(2x)4，解得x；当1x4，解得x4，解得x2.综上所述，原不等式的解集为(，)(，)