1、北京市昌平区2020届高三数学第二次统一练习（二模）试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1. 已知集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】因为集合，故.故选：B.【点睛】本题主要考查了交集的基本运算,属于基础题.2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】由复数的乘法运算公式对已知式子进行整理，结合所给点的坐标即可求出.【详解】解：，由题意知，对应的点的坐标为，则，故选:D【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了已知复数对应点坐标求参数，属于基础题.3. 在（x2）5的
2、展开式中，x2的系数为（）A. 40B. 40C. 80D. 80【答案】C【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得x2的系数【详解】在（x2）5的展开式中，含x2的项为，故x2的系数为：80故选：C.【点睛】本题主要考查了利用二项式定理求指定项的系数，属于基础题.4. 已知向量，.若，则实数的值为（ ）A. 2B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出的值.【详解】解：向量，若，则，实数，故选：A.【点睛】本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题.5. 设，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指
3、数函数的性质，求得，再结合对数函数的性质，得到，即可求解.【详解】由指数函数的性质和 ，可得，即 根据对数函数的性质，可得，因为，所以，综上可得.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A. 4B. 8C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据几何体的三视图还原空间几何体的直观图，进一步求出三角形的最大面积【详解】根据几何体的三视图还原得到该几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体如图所示：由于，下底面为等腰直角三角形可得，所以该四面体四个
4、面的面积中，最大的是故选：C【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7. 已知点P是双曲线C：x21的一条渐近线ykx（k0）上一点，F是双曲线C的右焦点，若OPF的面积为5，则点P的横坐标为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件得到渐近线方程为：y2x，再由面积为5得到yP2，再带回渐近线方程即可得到横坐
5、标.【详解】由双曲线方程可得a1，b2，则c，则渐近线方程为：y2x，F（，0），又Sc|yP|5，则yP2，当y2时，x，当y2时，x，故点P的横坐标为，故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线渐近线方程的应用，求出的纵坐标是解题的关键，属于基础题.8. 已知函数f（x）sinx（0），则“函数f（x）在上单调递增”是“02”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由得出的取值范围，由正弦型函数的单调性列出不等式组可得范围，即可判断出关系.【详解】，由于函数f（x）在上单调递增，（）解得，（）故只能取，即，“函数f（
6、x）在上单调递增”是“02”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9. 点P在函数yex的图象上若满足到直线yx+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）A. B. C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】要满足到直线yx+a的距离为的点P有且仅有3个，则需要直线与函数yex的图象相交，而且点P在函数yex的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点从而解决问题【详解】过函数yex的图象上点P（x0，y0）作切线，使得此
7、切线与直线yx+a平行yex，于是，则x00，y01P（0，1），于是当点P到直线yx+a的距离为时，则满足到直线yx+a的距离为的点P有且仅有3个，解得a1或a3又当a1时，函数yex的图象与直线yx1相切，从而只有两个点到直线距离为，所以不满足；故a3故选：C【点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大.10. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分规定正确的画，错误的画甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为（）题号学生12345678得分甲30乙25丙25丁mA. 35B. 30C. 25D. 20【答案】B【解析】【分
8、析】根据乙、丙得分一样得到第2，5两题答案正确，再结合甲的答案推得正确答案为：，即可计算m【详解】因为乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确，又因为甲得分30分即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙丙不同，故其余6题答案均正确，故而这8道判断的答案分别是：，对比丁的答案，可知其2、8两题错误，故得分m6530，故选：B.【点睛】本题主要考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 已知，则的最小值为_【答案】5【解析】【分析】由，然后结合基本不等式即可求解【详解】因为，则，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.【点睛
9、】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，合理构造利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12. 设an是等差数列，且a13，an+1an2，则数列an的前n项和Sn_【答案】n2+4n【解析】【分析】由an+1an2，可得：an+1an2，利用等差数列的求和公式即可得出【详解】由an+1an2，可得：an+1an2，数列an为等差数列，公差为2则数列an的前n项和Sn3n（2）n2+4n故答案为：n2+4n【点睛】本题主要考查了等差数列前项和公式的应用，属于基础题.13. 已知点M在抛物线y24x上，若以点M为圆心的
10、圆与x轴和其准线l都相切，则点M到其顶点O的距离为_【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出M的坐标，然后求解点M到其顶点O的距离【详解】点M在抛物线y24x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，设M（x，x+1），可得（x+1）24x，解得x1，所以M（1，2），点M到其顶点O的距离为：故答案为：【点睛】本题主要考查了抛物线简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.14. 在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上若，则_；x_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果【详解】解：在平面直角坐标
11、系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上，则在的终边上，则，解得，且.故答案为：；【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题.15. 曲线C：，点P在曲线C上给出下列三个结论：曲线C关于y轴对称；曲线C上的点的横坐标的取值范围是2，2；若A（1，0），B（1，0），则存在点P，使PAB的面积大于其中，所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】根据对称性的特点，用x代替x，代入曲线C中，若等式依然成立，则关于y轴对称；列出不等式，3，解之即可得横坐标的取值范围；采用分析法，|yP|，要使PAB的面积大于，则，即，再列出不等式，而3，解出y的取值范围，即可
12、进行判断【详解】解：用x代替x，有3成立，即正确；y20，3，故（x21）29，即3x213，即2x24，解得2x2，即正确；，若存在点P，使PAB的面积大于，则，即3，y22，故不存在点P符合题意，即错误故答案为：【点睛】此题考查曲线与方程的关系，考查点与曲线的位置关系，属于中档题三、解答题.共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 在ABC中，acosBbsinA（1）求B；（2）若b2，c2a，求ABC的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tanB，进而可求B；（2）由余弦定理及已知条件可求a，c的值，然后结
13、合三角形的面积公式可求【详解】解：（1）在ABC中，由正弦定理，因为，所以，因为sinA0，所以，所以tanB，因为0B，所以，（2）因为b2，c2a，由余弦定理b2a2+c22accosB，可得，所以a，c，所以【点睛】此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题17. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAADCD2，BC3，E为PB中点，_，求证：四边形ABCD是直角梯形，并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值从CDBC；BC平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答【答案】答案见解析.【解析】【分析】选择由PA平面A
14、BCD，可得PAAD，PACD求解三角形得CDPD再由直线与平面垂直的判定可得CD平面PAD，则CDAD进一步得到ADBC可得四边形ABCD是直角梯形过A作AD的垂线交BC于点M以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz求出平面PCD的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线AE与平面PCD所成的角的正弦值选择由PA平面ABCD，可得PAAD，PACD求解三角形得CDPD再由直线与平面垂直的判定可得CD平面PAD，则CDAD再由BC平面PAD，得BCAD，则四边形ABCD是直角梯形直线AE与平面PCD所成角的正弦值同【详解】选择先证四边形ABCD是直角梯形PA平面ABCD，PAAD，PA
15、CDPAADCD2，又，CD2+PD2PC2，得CDPD又PAPDP，CD平面PAD，则CDAD又CDBC，ADBC四边形ABCD是直角梯形再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值过A作AD的垂线交BC于点MPA平面ABCD，PAAM，PAAD如图建立空间直角坐标系Axyz则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）E为PB的中点，E（1，1），设平面PCD的法向量为，则，令y1，得设直线AE与平面PCD所成的角为，sin|cos|直线AE与平面PCD所成角的正弦值为选择先证四边形ABCD是直角梯形PA平面ABCD，PAAD，PACDPAADCD2，CD2+PD2PC
16、2，得CDPDPAPDP，CD平面PAD，则CDADBC平面PAD，BC平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BCAD，则四边形ABCD是直角梯形再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值同上【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之线面角的求法，属于中档题.18. 为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在2
17、，3），3，4），4，5），8，9），9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）（）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在5，6）的概率；（）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在2，3）和8，9）的人中任选3人，求其中在8，9）的人数X的分布列和数学期望；（）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）【答案】（）a0.2；0.2；（）
18、分布列见解析，；（）5，6）.【解析】【分析】（）由频率和为1，可求出a的值，然后结合频率/组距、组距和样本总量，求出该天居家自主学习和锻炼身体总时间在5，6）的学生人数，即可求得对应的概率；（）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在2，3）和8，9）的人分别为5人和3人，所以X的所有可能取值为0，1，2，3然后根据超几何分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（III）根据平均数的含义进行估量即可得解【详解】解：（）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）11，所以a0.2因为0.2110020，所以该天
19、居家自主学习和锻炼身体总时间在5，6）的学生有20人所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在5，6）的概率为（）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在2，3）和8，9）的人分别为5人和3人所以X的所有可能取值为0，1，2，3P（X0），P（X1），P（X2），P（X3）所以X的分布列为：0123所以数学期望E（X）（III）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在5，6）【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图求参数的值，古典概型的应用以及离散型随机变量的分布列，属于中档题.19. 已知椭圆离心率为，椭圆M与y轴交于A，B
20、两点（A在下方），且过点直线l与椭圆M交于C，D两点（不与A重合）.（）求椭圆M的方程；（）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（1）由，解方程组可得；（2）分直线l的斜率和两类求解，当时，设直线l的方程为，联立方程组，利用韦达定理求，化简可得.【详解】（）解：由题意得，解得.椭圆M的方程为；（）证明：由题意，直线l的斜率存在，当时，直线l的方程为，代入椭圆方程有，则， ，当时，则直线l的方程为.由，得.设，则，又，即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.【点晴】（1）第一问是常规题型，求解时注意椭圆的焦点位置；（2）第二问采用“设而不求”，利用韦
21、达定理直接计算，考运算能力，化简时要细心，另因为时已求出，第二问化简时可简略书写.20. 已知函数f（x）ax+a，aR（）当a1时，求曲线yf（x）在点（0，1）处的切线方程；（）求函数yf（x）单调区间；（）当x（0，2）时，比较f（x）与的大小【答案】（）；（）答案见解析；（）.【解析】【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（II）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论即可求解；（III）结合（II）中对单调性的讨论，可求f（x）的最值，进而可比较大小【详解】解：（）当时，因为，所以，所以曲线在点（0，1）处的切线方程为，即
22、（II）定义域为R因为，当a0时，恒成立，所以函数在R上单调递增，当a0时，恒成立，所以函数在R上单调递增当a0时，令，则或，所以当时，或，当时，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，综上可知，当时，函数在R上单调递增；当a0时，函数在和上单调递增，在上单调递减（III）由（）可知，（1）当时，函数在R上单调递增，所以当时，因为，所以，（2）当a0时，函数在和上单调递增，在上单调递减当，即时，所以当时，函数在上单调递减，上单调递增，所以当，即1a4时，由上可知，因为，设因为，所以在上单调递增所以所以所以，当，即时，因为函数在上单调递减，所以当时，所以综上可知，时，.【点睛】本题考查利用导数求切
23、线方程，考查利用导数求函数单调区间，考查利用导数比较大小，属于较难题.21. 已知有限数列an，从数列an 中选取第i1项、第i2项、第im项（i1i2im），顺次排列构成数列ak，其中bkak，1km，则称新数列bk为an 的长度为m的子列规定：数列an 的任意一项都是an 的长度为1的子列若数列an 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列an 为完全数列设数列an满足ann，1n25，nN*（）判断下面数列an 的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列（1）：3，5，7，9，11；数列 （2）：2，4，8，16（）数列an 的子列ak长度为m，且bk为完全数列，证明：m的最大值为6；（）
24、数列an 的子列ak长度m5，且bk为完全数列，求的最大值【答案】（）数列（1）不是an的完全数列；数列（2）是an的完全数列；理由见解析（）证明见解析；（）【解析】【分析】（）直接利用信息的应用和定义的应用整理出结果（）根据定义的应用求出子列的长度假设长度为m7，不妨设m7，得出矛盾，再说明长度为6时满足条件.（）利用信息的应用和关系式的恒等变换的应用求出最大值【详解】（）数列 （1）不是an的完全数列；数列 （2）是an的完全数列理由如下：数列 （1）：3，5，7，9，11中，因为3+95+712，所以数列（1）不是an的完全数列；数列 （2）：2，4，8，16中，所有项的和都不相等，数列
25、（2）是an的完全数列（）假设数列bk长度为m7，不妨设m7，各项为b1b2b3b7考虑数列bk的长度为2，3，7的所有子列，一共有2717120个记数列bk的长度为2，3，7的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a，最大值为A所以ab1+b2，Ab1+b2+25+24+23+22+21b1+b2+115所以其中必有两个子列的所有项之和相同所以假设不成立再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意所以子列bk的最大长度为6（）数列an 的子列bk长度m5，且bk为完全数列，且各项为b1b2b3b5所以，由题意得，这5项中任意i（1i5）项之和不小于2i1即对于任意的1i5，有，即对于任意的1i5，设（i1，2，3，4，5），则数列ci的前j项和Dj0（j1，2，3，4，5）下面证明：因（）（），0所以，当且仅当（i1，2，3，4，5）时，等号成立所以求最大值为【点睛】本题考查数列的新定义，考查反证法的应用，考查关系式的恒等变换的应用，属于难题.